Основы научных исследований. Учебное пособие-2

8,0; 9,0; 8,8. Тогда y =8,6 и sвоспр2 =0,28 (в данном случае полу-

чено одно значение среднего квадратического отклонения, по- этому усреднение не производится):

Оценим значимость коэффициентов по критерию Стью- дента:

b j ³ sb j t или b j ³ 0,19 × 2,92 = 0,55 .

Табличное значение критерия Стьюдента для Р=0,90 и числа степеней свободы f=n–1=2 t=2,92. Тогда коэффициенты b2 , b12 ,

b13 , b123 незначимы, и их следует исключить из уравнения. Окончательный вид уравнения регрессии

y = 8,5 + 2,5x1 + 3,5x 3 -1,5x 2 x 3 .

но, уравнение адекватно описывает эксперимент.

Процедура вычисления и формулы для расчета сохраняют- ся для любого полного факторного эксперимента. Отметим лишь особенность составления матрицы планирования: для пер- вого фактора нижний уровень чередуется с верхним, для второ- го фактора два нижних уровня чередуются с двумя верхними, для третьего фактора четыре нижних уровня чередуются с че- тырьмя верхними и так далее.

Критерии для расчета используются с вероятностью 0,90, если выполняется учебно-исследовательская или поисковая на- учная работа. В экспериментах, имеющих цель производ- ственной разработки процесса, вероятность повышают до

0,95¸0,98.

61

После завершения данной вычислительной процедуры представляется возможным дать смысловую интерпретацию по- лученных результатов, а само уравнение выразить и нату- ральных величинах, если предполагается использовать его в ка- честве интерполяционного. Для этого в уравнение регрессии подставляем вместо кодированных переменных их выражение через значение факторов в натуральном масштабе. Например, вместо x1 подставляем ( z1 –150)/50 и после преобразований по-

лучаем уравнение с переменными в натуральном масштабе. Любое планирование эксперимента завершается вполне

определенными выводами относительно влияющих факторов. Выводы – это концентрированное выражение доказанного

результата. Они не допускают двоякого толкования и не про- должают доказательства. Не следует их смешивать со своеоб- разным перечнем проделанной работы типа «проверено влияние температуры на выход продукта», «изучено поведение материа- ла в условиях динамической нагрузки» и т.д. Частным выводом из ПФЭ может быть решение об использовании полученного уравнения регрессии для оптимизации процесса с использовани- ем метода крутого восхождения.

4.3. Метод крутого восхождения

Один из влияющих факторов принимают за базовый и для него вычисляют произведение соответствующего коэффициента регрессии на шаг варьирования. Например, для первого фактора это произведение имеет вид b1 z1 . Затем для базового фактора

выбирают шаг движения z1* , с которым будет осуществляться

оптимизация. Обычно z1* ≤ z1 . После этого вычисляют от- ношение

62

g = Dz1* . b1Dz1

Для всех остальных факторов шаги движения к оптимальным значениям рассчитывают по формуле

Dzi* = gbi Dzi .

Движение к оптимуму начинают из центра плана, который использовался для получения математического описания функ- ции отклика. Значения факторов на каждом новом шаге находят

путем прибавления Dzi* к соответствующим предыдущим зна-

чениям.

Движение к оптимуму прекращают в следующих случаях:

1)значения (одного или нескольких) факторов или функ- ций отклика вышли на границы допустимых значений;

2)достигнут экстремум критерия оптимальности у. Рассмотрим пример из работы [7], в которой при изучении

процесса с помощью ПФЭ 22 было получено простое адекватное уравнение регрессии

y1 = 35,6 +1,95x1 -1,35x 2 ,

где y1 – выход продукта реакции; x1 – температура; x 2 – кон- центрация реагента.

Введем также в рассмотрение функцию отклика y 2 , харак- теризующую скорость химической реакции (моль×м-3×с-1). Пусть требуется выполнение условия y 2 ³ 25 .

Допустим, что ограничения на влияющие факторы имеют

вид

300 £ z1 £ 1200 ;

10% £ z 2 £ 70% .

В качестве базового фактора возьмем температуру и примем шаг движения на крутом восхождении 40, тогда

63

Шаг по концентрации на крутом восхождении:

Dz 2* = gb2 Dz 2 = 0,41(-1,35) ×1 = -0,5% .

Результаты опытов, выполненных по методу крутого вос- хождения, приведены в табл. 4. Здесь y1p и y1э – соответственно расчетные и экспериментальные значения выхода продукта ре- акции, y э2 – экспериментально найденные скорости реакции.

Таблица 4

Результаты опытов по методу крутого восхождения

Как видно из табл. 4, в опыте № 4 достигнут максималь- ный выход продукта реакции, однако скорость процесса в этом случае меньше допустимого значения. По-видимому, оптималь- ным режимом процесса следует считать условия опыта № 3.

Ограничения на z1 и z2 в ходе оптимизации не нарушены.

64

Глава 5. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ В ПРОГРАММЕ MICROSOFT EXCEL

В предыдущих главах ознакомились с основными метода- ми математической обработки данных, полученных в ходе экс- периментов. Однако эти методы имеют громоздкий характер математического аппарата, используемого в процессе вычисле- ний. В данной главе рассмотрим, как решаются сложности ма- тематической обработки данных эксперимента с помощью ЭВМ в специализированных компьютерных программных средах.

Существует большое количество различных программ, предназначенных для обработки экспериментальных данных, обладающих различным набором функций. Среди них можно выделить такие программы, как SPSS for Windows, TableCurve 2d, ReMax SoftWare 2000, Microsoft Excel 2003 и др. Принцип работы во всех программах примерно одинаков, поэтому в каче- стве примера рассмотрим способ обработки экспериментальных данных в наиболее известной, распространенной и простой в использовании программе Microsoft Excel. Однако, несмотря на это, она предоставляет довольно мощный набор инструментов для обработки данных. Вместе с тем программа Microsoft Excel удобна для составления различных таблиц, графиков и служит мощным средством для проведения очень сложных вычислений.

5.1. Начало работы

Запуск программы Microsoft Excel осуществляется стан- дартным путем. Через главное меню, открываемое кнопкой Пуск, переходим в раздел Программы, затем – в раздел Microsoft Office и ярлык Microsoft Excel. Рабочее окно программы во мно- гом напоминает известное всем окно Microsoft Word. Оно со- стоит из строки заголовка, в которой написано Книга1 (доку- менты Excel называются книгами), строки меню, панели инст-

65

рументов. Под панелями инструментов находятся два поля, одно из которых, в котором написано А1, называется полем адреса, а другое, длинное, – строкой формул. Основная рабочая область окна представляет собой не страничку, как в Word, а таблицу, состоящую из множества ячеек. Заголовки колонок таблицы обозначены буквами английского алфавита, а строчки – числа- ми. Сочетание буквы и числа – это и есть адрес любой ячейки, и один из них мы видим в адресном поле, в котором отражается адрес активной ячейки, которая выделена в таблице жирной черной рамкой. Сделать ячейку активной можно, щелкнув по ней мышкой, при этом в адресном поле появится новый адрес.

В нижней части окна Microsoft Excel находятся ярлыки с надписями Лист 1, Лист 2 и т.д. Как уже отмечалось, докумен- ты Microsoft Excel называются книгами, а книги состоят из лис- тов. Если на ярлыке листа щелкнуть правой кнопкой мышки, от- кроется контекстное меню, из которого можно узнать о других действиях над листами. В частности, можно их переименовы- вать. Для удобства работы можно переименовать, например, Лист 1 в Расчеты. На нем рассмотрим ввод данных и примеры простейших вычислений.

Строка формул показывает содержимое активной ячейки и может использоваться для ввода и коррекции содержимого этой ячейки. Ввод текста в ячейку заканчивается нажатием клавиши Enter. Ввод текста помогает оформлять заголовки таблиц, запи- сывать определенные пояснения. Допустим, необходимо рас- считать объем раствора по его массе 10 г и плотности 1,25 г/мл, используя простейшую формулу V=m/d. Введем в ячейки В5, С5, D5 заголовки столбцов будущей таблицы, обозначения ве- личин m, d и V и приступим к вводу чисел. В ячейку В6 введем численное значение массы 10, в ячейку С6 – дробное число 1,25, в ячейку D6 – формулу, по которой Excel будет производить вы- числения. Ввод формулы начинается со знака равенства (=). За- тем вводятся координаты первого числа – это ячейка В6. Для

66

этого нужно щелкнуть по нужной ячейке, и ее адрес будет вве- ден автоматически (=В6). Далее надо ввести знак арифметиче- ского действия: сложения (+), вычитания (-), умножения (*) и деления (/). После чего необходимо указать место, где находится делитель, щелкнув мышкой по ячейке С6. В результате получа- ется окончательный вид формулы (=В6/С6). Нажимаем Enter, и, если все было набрано правильно, получаем в ячейке D6 резуль- тат (8). Таким образом, формулы возвращают в ячейку результат вычислений, число. Но если щелкнуть по ячейке и посмотреть на строку формул, мы увидим, что на самом деле находится в ней.

На практике часто необходимо вводить не единичные зна- чения, а массивы данных. Для этого используют приемы копи- рования и автоматического заполнения ячеек методом «протя- гивания». Пусть у нас 10 порций раствора массой 10 г, и в ячей- ки В6, В7 … В16 надо ввести 10, 10 … и т.д. Щелкнем по ячейке В6, где число 10 уже введено. При наведении на него указателя мыши последний меняет форму. После этого необходимо растя- нуть ячейку вниз, до ячейки В16, и десять ячеек окажутся авто- матически заполнены нужным числом.

В случае, когда необходимо ввести значения, отличаю- щиеся на некоторую постоянную величину, например 10, 12,5, 15… 35 и т.д., необходимо ввести два значения: число 10 в ячейку В6 и число 12,5 в ячейку В7. Далее, выделив эти две ячейки и растянув их вниз, можно получить ряд значений от 10

до 35.

Таким же способом можно заполнить ячейки с формулами. Так как при копировании формул Excel автоматически меняет адреса ячеек, откуда он берет данные для расчетов, для этого используются такие понятия, как относительный и абсолютный адрес. Адрес в абсолютной форме сопровождается знаками дол- лара и выглядит как $C$6.

67

5.2. Формулы с функциями

Для расчетов более сложных операций, чем просто ариф- метические, нужно использовать встроенные функции.

Рассмотрим использование встроенных функций на при- мере статистической обработки результатов опытов (рис. 14). В колонках D и Е указывается, какие характеристики рассчиты- ваются. В колонку F заносятся формулы расчета этих характе- ристик.

Рис. 14 Статистическая обработка результатов

Предположим, что мы проделали серию из 10 опытов, из- меряя некоторую величину Х (здесь не важно, что это – время, температура или объем раствора). Номера опытов от 1 до 10 легко ввести протягиванием, а вот численные значения Х надо ввести последовательно.

Обработку результатов начнем с расчета числа опытов n. Казалось бы, это очевидное число, но в ходе работы какой-то

68

результат мы можем отбросить или провести еще пару опытов. Желательно, чтобы нам не пришлось при этом переделывать все формулы. Для определения числа значений используется специ- альная функция, которая называется СЧЕТ. Для ввода формулы с функциями используется Мастер функций, который запуска-

ется командой Вставка функции через меню Вставка – Функция

или кнопкой на панели инструментов с обозначением fx.

Все функции разделены в зависимости от своего назначе- ния на несколько категорий (математические, логические и др.). Для обработки данных эксперимента используются в основном статистические функции. Поэтому прежде всего в списке кате- горий выбираем категорию Статистические. Во втором окне появляется список статистических функций. Если щелкнуть по любой из них, внизу появляется краткое описание функции. Специальной ссылкой можно вызвать систему помощи Excel, в которой данная функция будет разобрана подробно, с примера- ми. Список функций упорядочен по алфавиту.

Далее необходимо задать аргументы функции (рис. 15). Функции СЧЕТ надо указать, какие числа ей надо пересчиты- вать или в каких ячейках находятся эти числа. Диапазон ячеек указывается адресами первой и последней ячеек, записанными через двоеточие. После ввода в основном окне диапазона ячеек в окне аргументов появляется запись диапазона адресов, а рядом с ней – значения чисел из первых ячеек. Предварительное значе- ние функции отображается после ввода ее аргументов. Это по- зволяет избежать ошибок. Помогает работе с Мастером функ- ций и подсказка под полем для ввода аргументов, в которой разъясняется их смысл и возможные значения. Заканчивается работа с мастером функций нажатием кнопки Ok или клавиши

Enter.

Аналогично вводятся и другие функции обработки серии опытов. В ячейке F7 c помощью функции СРЗНАЧ рассчитыва- ется среднее значение выборки, в ячейке F8 – стандартное от-

69

клонение выборки с помощью функции СТАНДОТКЛОН. Ар- гументами этих функций служит диапазон ячеек.

Для расчета доверительного интервала необходимо опре- делить коэффициент Стьюдента. Он зависит от вероятности ошибки (при обычно задаваемой надежности 95% вероятность ошибки составляет 5%) и от числа степеней свободы n-1. Для нахождения коэффициента Стьюдента используется статистиче- ская функция Excel СТЬЮДРАСПОБР (Стьюдента распреде-

Рис. 15. Окно ввода аргументов функции

ление обратное). Для нахождения доверительного интервала используется обычная формула умножения, в которой должны быть указаны адреса ячеек, где находятся коэффициент Стью- дента и стандартное отклонение среднего. Как правило, значе- ние доверительного интервала округляется до одной значащей цифры, такой же порядок окружения должен быть и у среднего.

Таким образом, описанная процедура обработки данных эксперимента позволяет статистически обработать результаты некоторой серии экспериментов.

70