Основы научных исследований. Учебное пособие-2

где k – число параллельных опытов, проводимых при одина- ковых условиях (обычно k = 2 ÷ 4);

По найденным значениям рассчитывают критерий Кох- рена, в числителе берут максимальную из найденных оценок дисперсий, а в знаменателе – их сумму:

где N – общее количество оценок дисперсий, j – число степеней свободы, причем j = k – 1.

Полученное значение сравнивают с G, приведенным в табл. 2 приложения.

Если G p ≤ G , то опыты считаются воспроизводимыми, а

оценки дисперсий однородными. В противном случае экспери- мент следует прекратить или изменить условия его проведения.

Оценки однородных дисперсий можно усреднить:

и получить оценку дисперсии воспроизводимости. С ней связано число степеней свободы j = N(k –1).

Таким образом, по критерию Кохрена делается вывод о воспроизводимости эксперимента, а погрешность эксперимента

в целом характеризуется sвоспр2 .

Простое увеличение числа опытов N увеличит знаменатель в формуле для расчета критерия Кохрена, и, казалось бы, тем самым будет достигнуто условие G p ≤ G . Однако табличное

значение G также изменится как зависящее от N. Следовательно, воспроизводимость должна достигаться выявлением и устране- нием источников нестабильности эксперимента, повышением

21

числа параллельных опытов n.

Число параллельных опытов, образцов или наблюдений в однофакторных экспериментах можно определять с учетом ва- риационного коэффициента v и критерия Стъюдента (табл. 3 приложения):

n = 100vt , P

где Р – показатель точности, обычно принимаемый равным 5 (расчет v приведен в главе 3).

2.3. План эксперимента

Общее требование к наилучшему плану можно сформули- ровать так: максимум информации при минимуме эксперимента.

Выбор значений для переменной х обычно производят, ис- пользуя постоянный шаг x . Область исследуемых значений х (или пределы изменения х) назначают на основании ли- тературных сведений либо после поисковых опытов. Иногда ог- раничения устанавливают исходя из физики, химии или фи- зико-химии изучаемого явления. Например, нельзя изучать объ- емное расширение воды в открытом бассейне в интервале тем- пературы от +20 до +1200С или скорость термодеструкции цел- люлозы при этих же значениях.

Используют также и переменный шаг, задавая значения х таким образом, чтобы обеспечить повышенную точность на оп- ределенных участках (области перехода, области нахождения критических точек или оптимума и др.). Шаг в этих случаях мо- жет монотонно убывать или монотонно возрастать. Иногда вы- деляют участки с шагом, составляющим определенную долю от основного.

На выбор плана влияет также способ обработки данных, что рассматривается в следующей главе. Здесь же отметим, что схема эксперимента, приведенная на рис. 1, предполагает также

22

обратную связь по всем этапам. В частности, выбранный план диктует необходимость использования аппаратуры с некоторы- ми определенными параметрами. Если в нашем распоряжении такой аппаратуры нет, мы должны внести коррективы в перво- начально избранный план эксперимента. В отдельных случаях согласование плана и возможностей аппаратуры достигается рандомизацией порядка проведения опытов. Наличие интенсив- ного шумового поля делает необходимым увеличение числа па- раллельных опытов. Результаты обработки данных также могут привести к принятию решения о неприемлемости выбранного плана.

В любом случае проведение эксперимента должно быть спланировано и выполнено таким образом, чтобы изменение или дополнение плана не приводило бы к необходимости все начинать заново. Нужно предусмотреть возможность получения в идентичных условиях дополнительных данных.

Планирование многофакторных экспериментов и связан- ная со спецификой плана обработка данных рассматриваются в главе 4.

23

Глава 3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

Анализ экспериментальных результатов включает стадию формальной обработки данных, мало зависящей от объекта ис- следования, и стадию содержательной интерпретации, опре- деляющуюся уровнем знаний научного работника, его пара- метрами. Технику обработки результатов необходимо освоить настолько, чтобы свободно пользоваться необходимым арсе- налом приемов и методов. Каждый прием, пока он не освоен, служит в определенной мере помехой, источником ошибок. На- чинающий исследователь должен проявить настойчивость в преодолении этого барьера.

Встречаются отчеты о научно-исследовательской работе и статьи с изложением экспериментального материала, обрабо- танного поверхностно и не вполне корректно. Выбор приемов для обработки данных в таких работах производился интуи- тивно или по аналогии со случайными источниками с давним сроком публикации. Это в целом обусловливает медленное про- никновение математических методов в исследования по перера- ботке древесины. Здесь проявляется сформулированный С.Я. Френкелем «парадокс опережения», суть которого состоит в том, что человек начал использовать различные процессы и материалы задолго до того, как познал их природу. Наука вы- растала из технологии, а это, в свою очередь, определяло ее ме- тодологию, когда разработка и обоснование усовершенствова- ний, объяснение тех или иных закономерностей процессов мог- ли быть выполнены без строгого математического аппарата. Иначе обстоит дело в новых отраслях знания, например в ядер- ной физике.

Следует отметить еще одно обстоятельство, связанное с неоднородностью такого объекта исследования, каким являются древесина и ее основные компоненты. Выразить результаты в виде классической функциональной зависимости представляется

24

далеко не всегда возможным. Поэтому понятие «закон» уступа- ет место новому понятию – « модель», а для установления зави- симостей вероятностного характера используется ма- тематическая статистика. В основе лежит убеждение, согласно которому все законы имеют вероятностный характер и все явле- ния природы протекают под сильным воздействием случая.

Согласно детерминированному подходу если выполнен не- который комплекс условий, то событие А неизбежно наступает. Согласно же закономерностям статистического или вероят- ностного характера, наличие комплекса условий не влечет за со- бой неизбежного появления события А, а только определяет не- которую вероятность (Р) его появления.

Вероятность является объективной числовой характери- стикой, дающей представление о том, как часто при большом числе наблюдений появится событие А. В теории вероятностей о случайном событии предполагают, что оно не произвольно, а подчинено некоторым своеобразным законам, которые называ- ют вероятностными или стохастическими: во-вторых, оно тако- во, что, в принципе, его можно повторить неограниченное чис- ло раз; в-третьих, оно имеет определенную вероятность поя- виться при каждом данном испытании в заданных условиях.

Внастоящее время разработаны методы, позволяющие ис- пользовать математическую статистику для достаточно малого объема выборки.

Вобщем виде формальный анализ экспериментального ма- териала (считаем, что погрешность эксперимента оценена до на- чала опытов) начинается с рассмотрения отдельного точечного определения. Затем рассматривается вся совокупность точек, образующих закономерность, результаты наносятся на график. Графические данные преобразуются с целью получения так на- зываемого «удобного графика» и эмпирического уравнения.

25

3.1. Статистическая обработка экспериментальных данных

Результат единичного измерения определяется случайной ошибкой. Гауссом был открыт закон распределения случайных величин. Этот закон справедлив почти для любых измерений. На рис. 2а графически показана зависимость числа измерений n, в которых встречается та или иная ошибка m, от ее величины при достаточно большом числе измерений.

Рис. 2. Распределение ошибок:

а – кривая распределения; б – схема опыта, поясняющего

распределение ошибок

Физический смысл закона распределения ошибок иллюст- рирует опыт, показанный на рис. 2б. В вертикально располо- женную доску забито большое число тонких стержней. Сверху через узкое отверстие воронки падают одинаковые дробинки. При ударах о стержень дробинки отклоняются случайным об- разом в ту или другую сторону. Дробинки, получившие оди- наковое отклонение, собираются вместе, причем распределение количества дробинок в зависимости от их отклонения совпадает с законом распределения случайных величин.

26

Рассмотрим результаты наблюдений за интересующими нас явлениями. Они записываются в рабочий журнал и пред- ставляют собой ряд цифр. Для получения обозримых и удобных для обработки данных наблюдений весь интервал разбивают на части и подсчитывают число наблюдений, попавших в каждый из отрезков. Соответствующий график называют гистограммой. На рис. 3 изображена гистограмма для распределения образцов

Обработка экспериментальных данных имеет значение для исключения шумового поля (возмущающих факторов). Ясно, что чем большее число раз проведено определение, тем более точен результат. От того, каким образом будут обработаны со-

27

ответствующие замеры, зависит объективность, точность и на- дежность определения истинного значения измеряемой харак- теристики. Статистические выводы относятся к процессу полу- чения какого-либо заключения относительно всей совокупности по свойствам выборки из этой совокупности. Например, оценка прочности бумаги, выработанной за смену, по результатам трех серий замеров, оценка выхода основного продукта по данным анализа пяти проб и др.

Среднее арифметическое значение y , полученное по ре-

зультатам испытаний выборки, и среднее квадратическое откло- нение s являются приближенными оценками соответствующих параметров генеральной совокупности – математического ожи-

дания μ и дисперсии σ2 :

μ y, σ2 s2 .

Рассмотрим смысл и способы расчета y , s. Среднее ариф-

метическое значение выборки, то есть ограниченного и равного n количества показателей образцов партии, которое рас- сматривается как генеральная совокупность всех значений по- казателей, определяют по формуле

= 1 n

y ∑ yi .

n i=1

Среднее квадратическое отклонение, которое также назы- вают выборочной дисперсией или эмпирическим стандартом, характеризует рассеивание (вариацию) изучаемых случайных величин вокруг среднего значения. Формула для расчета:

Для оценки изменчивости случайных величин используют вариационный коэффициент, который связан с абсолютными значениями и выражается в процентах:

28

v = 100s . y

Ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле

m = ± s .

n

Практически при y ± 3m во всех случаях в указанном ин- тервале будет находиться математическое ожидание данного показателя. Более правильно учитывать заданную вероятность и число параллельных образцов n, используя для этой цели крите- рий Стьюдента (или t-критерий), приведенный в табл. 3 прило- жения.

Вероятность нахождения истинного значения параметра генеральной совокупности в некоторых пределах называют до- верительной вероятностью Р. Пределы, соответствующие до- верительной вероятности, называют доверительными граница- ми, а образуемый ими интервал – доверительным интервалом:

Уровень значимости q = 1– Р называют вероятностью ошибки, которой допустимо пренебречь в данном исследовании. Обычно в исследованиях принимают Р в пределах от 0,80 до 0,95, а в технологических расчетах величину доверительной ве- роятности повышают до 0,99.

Р = 0,95 означает, что если подсчитано 100 доверительных интервалов по приведенной формуле, то приблизительно 95 ин- тервалов из них будут включать значение μ . Если построен

только один интервал по выборке из n наблюдений, как это обычно и бывае, то можно утверждать, что с 95%-ной достовер- ностью этот интервал включает μ . И только имеется один шанс

из 20, что этого не произойдет.

Может оказаться, что при параллельных определениях по

29

тем или иным причинам была допущена грубая ошибка. Лучше всего сразу же проверить, не нарушены ли условия экспе- римента или условия измерения результатов. Если же такая про- верка не была сделана вовремя, то вопрос о целесообразности браковки одного «выскакивающего» значения решается путем сравнения его с остальными результатами измерения.

Пусть величина σ заранее неизвестна. Тогда рассчитыва- ют по формуле величину s и абсолютную величину разности

между средним значением y и «выскакивающим» значением y* , выраженную в долях s, сравнивают ее с критическим значе- нием t:

t p = y - y* / s .

При этом расчет выполняют без учета величины y* . Если t p ³ t ,

то с надежностью вывода, соответствующей табличному (табу- лированному), можно считать, что «выскакивающее» значение содержит грубую ошибку. Его исключают из дальнейшей обра- ботки результатов [6].

С другой стороны, условие t p < t само по себе не свиде-

тельствует об отсутствии грубой ошибки. Здесь можно говорить лишь об отсутствии достаточных оснований для исключения подозреваемого значения.

Математическая статистика преимущественно основана на допущении существования нормального распределения от- носительно среднего значения. Однако в практике встречается и асимметричное распределение (рис. 4).

Анализ форм кривых распределения, построенных по экс- периментальным данным, оказывается очень полезным. На- пример, двухвершинное распределение может служить указа- нием, что выборка образцов оказалась неоднородной и могла принадлежать двум партиям материала. Скошенность кривой распределения может рассматриваться в некоторых случаях как

30