Основы научных исследований. Учебное пособие-2

Средняя ошибка уравнения

m xy = s x 1 − r 2 .

Степень влияния переменных друг на друга может изме- няться в зависимости от их значений. Такая связь называется нелинейной. Выбор уравнения нелинейности регрессии доста- точно сложен.

3.5. Графическое представление данных

Графиком называют геометрическое изображение функци- ональной зависимости на координатной плоскости. С легкой ру- ки Декарта точки соединяют непрерывной линией («природа не терпит разрывов»). График служит не только для наглядного изображения, обеспечивающего концентрацию информации на минимальном пространстве, его используют для быстрого на- хождения значений функции по значениям аргумента для уста- новления самого вида функции.

Развитие графического представления результатов экспе- римента относится к хорошо организованным системам, в ко- торых можно было выявить явления одной физической приро- ды. Предполагалось, что исследователь мог (не только мог, но должен был обязательно это сделать) стабилизировать все неза- висимые переменные изучаемой системы. Затем, варьируя по- очередно некоторые из них, установить интересующие его зави- симости. Последние представлялись функциональными связями, и им приписывалась роль законов. Графики как «продукт» ис- следования получили распространение благодаря возможности представить данные в наглядной форме при минимальной их обработке.

Графический метод широко применяется для представле- ния не только детерминированных, но также и случайных яв- лений, благодаря чему легче интерпретировать и воспринять ре- зультаты изучения. Вместо функциональной зависимости на ко-

41

ординатной плоскости может быть нанесена линия регрессии. Техника построения графиков известна из предыдущих

курсов. Она включает разметку шкал, выбор интервала между делениями шкалы с целью обеспечения равноточности, оформ- ление надписей на графике, проверку плавности соединяющей точки кривой и др. Эти аспекты отрабатываются на лаборатор- ных занятиях, начиная с первого курса. Особое внимание по- строению графиков уделяется при оформлении отчетов по лабо- раторным работам, выполняемым в рамках настоящей дисцип- лины. Рассмотрим научные вопросы графического анализа: нормирование данных, исключение резко отклоняющихся зна- чений, построение удобных графиков и наилучшей прямой.

Данные перед нанесением на график обрабатывают с це- лью исключения «вы- скакивающих» значе- ний, нахождения сред- него арифметического

v на некотором участке. Интерпретировать эти данные можно следующим образом: чем выше скорость, тем безопаснее дви- жение. Это ошибочный вывод. Следует нормировать данные,

42

относя их к тому количеству автомобилей, которые двигались на участке с данной скоростью. Кривая 2 показывает уровень опас- ности движения при различной скорости и существенно отлича- ется от кривой 1, а вывод носит противоположный характер.

При модифицировании целлюлозных материалов повыша- ют их прочность путем введения специальных добавок. Стрем- ление удешевить продукцию или ути- лизировать отходы производства приво- дит к использованию для этих целей мало- активных и неактив- ных добавок. В част- ности, на рис. 9 при- ведены данные по влиянию модифици-

древесноволокнистых плит, на их прочность. Кривая 1 указыва- ет на некоторый рост прочности и приводит к выводу о сущест- вовании активного взаимодействия между добавкой и волокна- ми. А вывод, в свою очередь, предопределяет направление уг- лубленных исследований по выявлению влияния добавок на рост энергии этого взаимодействия. Дальнейшее рассмотрение данных показало, что с введением добавки растет также и плот- ность образцов. Тогда правильнее вместо прочности анализиро- вать изменение удельной прочности, проведя нормирование данных путем отнесения их к соответствующей плотности плит. Полученная кривая 2 приводит к другому выводу, согласно ко-

43

Ранее мы рассмотрели правило исключения «выскакиваю- щих» значений при обработке результатов параллельных ис- пытаний, полагая при этом, что причина связана с грубой ошиб- кой. При построении графиков нам приходится встречаться с резко отклоняющимися точками, которые также подозреваются как ошибочные. Например, на рис. 10 точка А имеет большое отклонение, и, возможно, ее следует исключить, воспользовав- шись статистическим критерием. Исключать точку можно толь- ко в том случае, если она находится в средней части графика. Точка В, возможно, представляет собой начало нового участка, и, исключив ее, можем потерять ценную информацию. Даже точка С может оказаться точным значением. По крайней мере, необходимы дополнительные точки в области малых значений х.

Исключение точки таит в себе риск потерять ценную ин- формацию, но даже одно ошибочное значение, если его сохра-

44

нить как достоверное, может привести к ошибочным оконча- тельным результатам.

Основанием для исключения резко отклоняющихся точек может служить неудовлетворительный контроль. Например, имело место кратковременное увеличение напряжения в сети, падение температуры в реакционной смеси или несоблюдение других параметров. Если последние несколько точек, получен- ные в определенный день или в определенной серии испытаний, резко отклоняются от общей тенденции, то можно ожидать яв- ной неисправности прибора. При подтверждении этого точки необходимо исключить.

Существуют статистические критерии, в частности крите- рий Шовене. Какой-либо отсчет (например, точка А на рис. 10) из ряда отсчетов можно исключить в том случае, если отно- шение максимально допустимого отклонения к среднему ква- дратическому отклонению s превышает критериальное. Значе- ния критерия при различном числе данных следующие:

Критерием пользуются при числе точек не менее 4, приме- няют это правило только один раз. Если же точки имеют на- столько большой разброс (в пределах одной и той же законо- мерности), что необходимо массовое исключение данных, тогда необходима переоценка эксперимента, новое его приборное ос- нащение.

Предположим, что точки нанесены на график. Можно ожи- дать прямо пропорциональной зависимости. Как в этом случае провести наилучшую прямую? Наилучшей называют линию, проходящую через множество точек таким образом, что она за- нимает положение, при котором сумма квадратов отклонений точек от этой линии минимальна. Это правило объясняет проис- хождение термина «метод наименьших квадратов».

45

Быстрый графический метод построения прямой разрабо- тал Асковиц для случая, когда интервалы между значениями пе- ременной одинаковы. Соединим точки 1 и 2 отрезком пунк- тирной прямой, отложим на нем расстояние, равное 2/3s (рис. 11). Полученную точку соединим с точкой 3. Двигаясь в сторону точки 3, снова проходим расстояние, равное 2/3s, и де- лаем новую отметку. Повторяем эту процедуру, пока не будет получена последняя точка. Эта последняя точка лежит на пря- мой наименьших квадратов. Затем начинаем построение с дру- гого конца и повторяем весь процесс, двигаясь в противополож- ном направлении. Находим вторую точку, лежащую на прямой.

Рис. 11. Пример построения прямой графическим методом наименьших квадратов: светлые кружки – экспериментальные точки, черные кружки – точки на прямой, построенной методом наименьших квадратов

46

Чтобы не усложнять чертеж, на рисунке показано нахождение только одной из двух точек.

При построении предполагается, что только переменная у может иметь ошибку, а все подлежащие обработке данные по- лучены с одинаковой точностью. Если требуется дать оценку точности, тогда находим величину отклонения точек от прямой

как разницу экспериментальных и расчетных значений ( yiэ − yip ) и вычисляем среднее квадратическое отклонение:

В этом случае если одна точка известна заранее (это может быть начало координат), то ошибку могут иметь как у, так и х. Применяют метод группировки, позволяющий найти лишь угло- вой коэффициент прямой. Для нахождения используют коорди- наты m точек, сгруппированных в одной части графика (у и х), и координаты такого же числа точек в другой части графика

( y' и x'):

b = ∑ y − ∑ y'. ∑ x − ∑ x'

Средние точки опускают. Данные, приведенные на рис. 11, сгруппируем для двух последних и для двух первых точек. Точ- ку 3 опустим. Тогда

= (12,5 + 20,0) − (5,0 + 7,5) =

b 3,3 . (5 + 6) − (2 + 3)

Метод пригоден даже тогда, когда интервалы между зна- чениями х не являются одинаковыми. Этот метод относится к приближенным.

47

3.6. Нахождение эмпирических уравнений

Представление зависимости в виде прямой оказывается удобным для обеспечения равной точности на всех участках графика (идеально, когда наклон прямой 45°). Кроме того, это удобно при экстраполяции, применении метода наименьших квадратов, нахождении эмпирического уравнения. Последнее получают на основе экспериментальных данных при изучении явлений или процессов, еще не имеющих прочной теоретиче- ской базы. Анализ таким образом полученных уравнений вскрывает некоторые закономерности и способствует углублен- ному пониманию явления, сами уравнения могут использоваться для расчетов и других практических целей.

Методика заключается в нанесении данных на график ли- нейных координат, затем через точки проводится плавная кри- вая. Плавность обеспечивается использованием лекал. Проверка состоит в наблюдении за ходом кривой при взгляде на нее в плоскости листа на уровне глаз (напоминает уходящие вдаль рельсы). Если плавность нарушена, мы обнаружим четкий из- лом. После этого выбирается наиболее подходящая функция, и на кривой берут произвольные точки для проверки соответствия принятой функции.

Проверку производят для «специфических» значений аргу- мента. Предположим, необходимо построить график функции

причем х может принимать как положительные, так и отрица- тельные значения. Выберем несколько значений аргумента, най- дем соответствующие значения функции:

По полученным координатам построим точки и соединим их пунктирной линией (рис. 12). Проверим, правильно ли мы

48

провели кривую линию между найденными точками графика. Возьмем х=0,5. Тогда у=0,8 и соответствующая точка ложится выше пунктирной кривой. Значит, на участке 0<х<1 график идет не так, как мы предполагали. На «сомнительном» участке возь- мем еще значения х=0,25 и х=0,75. Соединив полученные точки, получим правильную кривую без излома, что весьма сущест- венно при обсуждении изучаемого явления.

Рис. 12. Проверка правильности построения кривой: черные точки – пер- воначальные значения аргумента; светлые кружки – дополнительные точки при значениях аргумента, меньших единицы

Начинающие исследователи выбор и преобразование си- стемы координат производят методом проб и ошибок до тех нор, пока полный набор данных не даст в пределах разумного отклонения прямую линию. Распространено представление дан- ных в логарифмических координатах (или наносят логарифмы значений х и у на линейную графическую бумагу). Тогда график простой, но важной функции

y = kx n

49

имеет вид прямой. Логарифмированием получим log y = log k + a log x ,

где k и а – согласующие постоянные.

Используют также полулогарифмическую бумагу: одна шкала является логарифмической, другая – линейной. Прямая получается в том случае, если данные подчиняются закону

y = k(10)ax или у = kenx

После преобразования этой функции имеем log y = log k + ax .

Чтобы получалась прямая, шкала по оси у должна быть лога- рифмической, а по оси х – линейной.

Гиперболическую функцию

можно представить в виде прямой, построив в линейных коор- динатах зависимость х/у от х пли 1/у от 1/х.

Иногда в линейных координатах получают колоколообраз- ную кривую. Это свидетельствует о том, что функция парабо- лическая или более общая полиномиальная

y= a + bx + cx 2 .

Вэтом случае строят в линейных координатах график за- висимости (у − у1 ) /(х − х1 ) от х, где х1 и у1 – координаты про-

извольной точки на гладкой исходной кривой.

Существуют и другие преобразования, приводящие к полу- чению на графике прямой, а на этой основе – к получению цен- ной информации. Для неустановившихся тепловых процессов часто строят график зависимости температуры от логарифма времени. При расчете энергии активации химических реакций прямую получают, откладывая по оси абсцисс величину, обрат- ную абсолютной температуре, а по оси ординат – логарифм кон- станты скорости реакций. Кинетическая природа прочности ма- териалов иллюстрируется на графиках зависимости логарифма

50