Основы научных исследований. Учебное пособие-2

показатель существования дефектов в образцах.

Таким образом, обработка данных, относящихся к точеч- ному определению, сводится к оценке математического ожи- дания и дисперсии, к определению доверительного интервала, к исключению «выскакивающего» значения, если таковое ока- жется. Указанные расчеты находят также применение для ре- шения разнообразных практических задач.

3.2.Использование статистических расчетов

впрактических задачах

Рассмотрение практических задач позволяет получить представление о диапазоне статистических решений и дополня- ет основные представления. В частности, данные текущих испы- таний выборки используют для оценки соответствия всей пар- тии требованиям стандарта.

31

При организации статистического (выборочного) приемоч- ного контроля используют несколько типов планов. Наиболее распространен план однократной выборки. Из партии с числом изделий m назначают объем выборки n для испытания, а также приемочное число с. Если число обнаруженных в выборке де- фектных изделий оказалось меньше с или равно ему, то вся пар- тия принимается, если же больше, то партия бракуется. Естест- венно, что при такой системе нельзя дать гарантии невозможно- сти ошибочных решений. Ошибки могут быть совершены в обе стороны: забракована хорошая партия (ошибка первого рода) или принята плохая (ошибка второго рода). На вероятность ошибки первого и второго рода влияют выбором приемочного числа с. В варианте, когда партия должна браковаться, иногда назначают дополнительные испытания выборки с числом изде- лий 2n, но приемочное число с оставляют без изменений.

Используют также методику оценки качества с определе- нием процента вероятного брака в данной партии [3]. Сущность ее состоит в сравнении среднего арифметического значения по-

казателя y , найденного при испытании выборки из n образцов, со стандартным значением показателя yст . Предположим, что показатель стандартизован с односторонним ограничением, в частности показатель прочности не менее yст . На рис. 5 приве- дены три варианта кривых нормального распределения, постро-

енных по yк и sк . Ясно, что вариант 1 не имеет брака: вся сово- купность показателей лежит вправо от yст . В варианте 2, не-

смотря на то что y1 = y2 , имеются изделия (образцы), не соот-

ветствующие стандарту. Доля таких образцов от общего числа может быть найдена как заштрихованная площадь под кривой нормального распределения. Методика заключается в определе- нии показателя качества и нахождении соответствующей пло- щади при решении интеграла вероятностей Ф(t) или по таблице

32

должно превышать 7,1 мг/м3. Заводская лаборатория установила yi : 6; 7; 5; 4; 7; 6. Превысят ли результаты арбитражного анали-

за допустимое значение? Если да, то с какой вероятностью? Решение связано с нахождением одностороннего довери-

тельного интервала. Если y =5,8 мг/м3, s = l,37 мг/м3, то

Воспользовавшись данными табл. 3 приложения, для f = n– 1 = 6–1=5 найдем, что 7,1 ≤ 5,8 + 0,56t при t ≤ 2,32, то есть с ве-

роятностью 0,93 возможно получить значение, превышающее допустимое. Иными словами, если число анализов превысит 15, то руководство предприятия ожидает штраф. При меньшем чис- ле испытаний вероятно, что в отдельных определениях не ока- жется значения, превышающего критическое.

3.3. Проверка статистических гипотез

После того как обработаны данные, относящиеся к точеч- ному определению, можно переходить к обработке данных, ха- рактеризующих изучаемое явление в целом. Промежуточным этапом может оказаться сравнение двух рядом лежащих точек, если их сравнительные значения являются существенными для характера устанавливаемой закономерности. В основе сравнения лежит вероятностный характер данных, в определенной мере распространяющийся и на среднее арифметическое значение выборки.

Поясним это на примере. Экспериментальные данные (средние из шести) нанесены на график (рис. 6). Перед тем как проводить плавную кривую, нам необходимо выяснить, являет- ся ли зависимость экстремальной, либо превышение значения показателя прочности в точке 2 над значением в точке 1 являет- ся случайным и ход кривой должен иметь монотонный характер.

34

Согласно общей оценке ситуации, когда по мере на- гревания образцов прочность снижа- ется, можно было бы принять гипоте- зу о монотонном характере кривой. Чтобы проверить гипотезу такого

казателя к записи в общем виде). Для сравнения предполагаем, что дисперсии ошибок в обеих сериях определений одинаковы, например определения производились в одних и тех же услови- ях, на одном и том же приборе и т. д. Тогда подсчитаем отноше- ние:

где f1 и f2 – число степеней свободы первой и второй выборок

(f = n –1).

Далее задаем желаемую вероятность вывода Р и по табл. 3 приложения находим значение критерия Стьюдента для f = n1 + n 2 - 2 . Если t p превосходит найденное значение t, то

расхождение средних значений y1 и y 2 можно считать неслу-

35

чайным ( значимым) с надежностью вывода Р. В этом случае за- висимость оказывается экстремальной (сплошная линия). Если t p ≤ t , расхождение случайно, зависимость оказывается моно-

тонной, через точки проводим пунктирную линию.

Вреальном эксперименте было установлено, что модифи- кация образцов приводит к тому, что нагревание в течение 30 мин углубляет взаимодействие модифицирующей добавки с древесным комплексом, повышает прочность образцов, но при дальнейшем нагревании из-за процессов деструкции прочность падает. Поводом для углубленных исследований послужил ста- тистически надежный вывод, полученный с использованием вышеприведенной формулы. В противном случае соединяющая точки линия проходила бы так, как это показано на рисунке пунктиром.

Вобщем случае статистическая гипотеза есть некоторое предположение относительно свойств совокупности, сделанное на основе выборки. Проверка гипотезы – это правило, по кото- рому гипотеза принимается или отвергается. В рассмотренном случае использовали оценку значимости различия выборочных средних (или средних арифметических значений) по t-критерию. Рассмотрим еще один пример проверки статистической гипоте- зы.

Вцехе декоративного бумажно-слоистого пластика фикси- ровали срок службы глянцевых прокладочных листов, полу- чаемых с двух предприятий. Оказалось, что листы первого предприятия пригодны для 960 запрессовок, листы второго предприятия – для 1020 запрессовок. Было выдвинуто предпо- ложение о более высоком качестве листов второго предприятия,

поскольку y 2 > y1 . Однако данные были получены по ограни-

ченному количеству листов и расхождение между ними могло оказаться незначимым. Было выдвинуто второе предположение

о том, что y1 и y 2 являются оценками одного и того же матема-

36

тического ожидания μ . Второе предположение является нуле-

вой гипотезой относительно двух выборочных средних. Принять эту гипотезу – значит отклонить первое предположение.

Для проверки нулевой гипотезы относительно y1 и y 2 не-

обходимо, чтобы выборочные дисперсии были однородны. Про- верка производится по критерию Фишера

s 2

Fp = 12 .

s 2

В числителе берется большее значение. По табл. 4 приложения при данном значении Р находим значение критерия Фишера. Если Fp ≤ F , то выборочные дисперсии однородны и являются

оценками одной и той же дисперсии σ2 . В противном случае сравнение невозможно.

Дальнейший расчет производим, как в приведенном ранее примере. Определяем s и t p . В случае, если t p ≤ t , принимаем

гипотезу о том, что y1 и y 2 есть оценки одного и того же мате- матического ожидания μ . Тогда принимается нулевая гипотеза

и, в частности, делается вывод об одинаковом качестве про- кладных листов.

3.4. Линейная корреляция

Графическое представление данных преследует цель уста- новить связь между переменными. Характер зависимости оп- ределяется видом функции. Функциональная зависимость не- обязательно причинно-следственная, поэтому говорят, что функ- ции – это законы, управляющие соответствиями переменных. Однако если мы попытаемся экспериментально проверить про- стой закон линейного расширения тел при нагревании l = l0 + kT , то окажется, что равным в пределах точности изме-

37

рения значениям Т соответствует разное l. Из-за погрешности измерения влияния случайных факторов функциональная зави- симость проявляется как статистическая.

Наиболее простой случай статистической связи представ-

ние светлости древесины в значительной мере обусловлено влиянием времени термомодификации.

Равномерное распределение точек вокруг некоторого гео- метрического центра привело бы нас к выводу об отсутствии корреляции между двумя переменными. Такие переменные не связаны друг с другом. Их изменение обусловлено влиянием невыявленных факторов.

Для установления зависимости между переменными опре- деляют коэффициент корреляции. Он характеризует корреляци- онную зависимость изменения среднего значения одной вели- чины с изменением среднего значения другой. Примером кор- реляционной зависимости, кроме рассмотренного случая, явля- ется связь между плотностью и прочностью картона, динамиче-

38

ским модулем сдвига и прочностью на разрыв бумаги и др. Пусть имеется выборка из N пар значений двух величин

x i и yi . Степень линейной связи между ними может быть оп- ределена эмпирическим коэффициентом корреляции r:

где x, y – средние значения переменных x i и yi ; s x , s y – их

средние квадратические отклонения; N – число пар точек. Коэффициент линейной корреляции по своей величине мо-

жет изменяться от –1 до +1. Значение r = 0 указывает на от- сутствие линейной корреляции между случайными величинами, значение же r = ±1 – на строгую функциональную линейную связь.

Вывод о наличии корреляционной зависимости важен для исключения того или иного фактора при исследовании. Для от- вета на вопрос, указывает ли найденное значение r на какую- либо корреляцию между случайными величинами, применяют t-распределение Стьюдента.

Сначала выдвигаем гипотезу, что случайные величины х и у являются некоррелированными. Затем по формуле находим значение t p с числом степеней свободы f = N – 2:

Если t p > t , найденного из табл. 3 приложения, то гипотеза не-

коррелированности случайных величин – необоснованная. В расчете используем абсолютную величину эмпирического ко- эффициента корреляции. Знак коэффициента указывает на ха- рактер связи: если с возрастанием одной величины возрастает и вторая, то знак положительный, в противном случае – отрица- тельный.

Если r значим, то между переменными можно установить

39

зависимость в виде эмпирической прямой регрессии. Примем у в качестве зависимой переменной, х – в качестве независимой переменной. Тогда прямая регрессия у на х выражается уравне- нием

y - y = r s y × (x - x) s x

или

y = y + r s y × (x - x) . s x

В уравнение подставляют r с тем знаком, который полу- чился при расчете. После подстановки соответствующих зна-

чений y, x, s y , s x , r получим уравнение прямой y = b + kx, в ко-

тором k не имеет смысла r. Поэтому в конечных результатах следует указать как степень коррелированности величин (r), так и уравнение линии регрессии, графически изображающую функцию регрессии.

Отметим, что параметры найденного уравнения удовлетво- ряют принципу наименьших квадратов по у: сумма квадратов отклонений yi , от рассчитанных по уравнению прямой регрес-

сии меньше, чем сумма квадратов отклонений их от любой дру- гой прямой.

Средняя ошибка уравнения определяется по формуле

m yx = s y 1 - r 2 .

Это значит, что значение у, найденное по уравнению, будет ко- лебаться в пределах y ± m yx в 68,3 случаях из 100, в пределах

y ± 2m yx в 95,4 случаях из 100.

Прямая регрессии х на y выражается уравнением

x = x + r s x × (y - y) . s y

40