Численные методы в задачах математического моделирования и исследования математических моделей объектов. Учебно-методическое пособие

Нормой вектора X называется число, обозначаемое X и удовлетворяющее условиям:

1. X 0 , X 0 X 0 ,.

3.X max xi – равномерная норма.

1 i n

Пространство с введенной в нем нормой называют нормированным. Одновременно такое пространство является метрическим, так как норма определяет метрику расстояние между элементами пространства:

X,Y X Y .

Замечание. Для введенных определений нормы вектора справедливы неравенства

X X 2 X1 n X ,

указывающие на то, что в определенном смысле все три введенные нормы эквивалентны: каждая из них оценивается любой из двух других норм с точностью до множителя, зависящего от числа уравнений n .

Абсолютная и относительная погрешность вектора

Пусть в пространстве Rn , элементами которого являются n- мерные векторы, введена и фиксирована некоторая норма X , напри-

мер одна из норм, определенных в (2.2). В этом случае в качестве меры степени близости векторов X и X естественно использовать величину X X , являющуюся аналогом расстояния между точками X и X .

Введем понятие абсолютной и относительной погрешности вектора X с помощью формул

11

Выбор той или иной конкретной нормы в практических задачах диктуется тем, какие требования предъявляются к точности решения. Выбор нормы X1 фактически отвечает случаю, когда малой должна

быть суммарная абсолютная ошибка в компонентах решения; выбор нормы X 2 соответствует критерию малости среднеквадратичной

ошибки, а принятие в качестве нормы X означает, что малой долж-

на быть максимальная из абсолютных ошибок в компонентах решения. Расширим понятие нормы на случай матриц. Прежде всего, отме-

тим, что понятие нормы может быть введено только применительно к квадратным матрицам.

Нормой квадратной матрицы A называется число, обозначаемое A и удовлетворяющее свойствам:

3. A B AB .

4. A B AB .

Норма матрицы A называется согласованной с нормой вектора X , если выполняется условие A X A X . Норма матрицы A называется подчиненной норме вектора X , если A вводится следующим образом:

A max A X .

X 0 X

Как следует из этого определения, каждой из векторных норм X соответствует своя подчиненная норма матрицы A . Известно, в частности, что нормам X1 , X 2 и X подчинены нормы A 1 , A 2 и A , вычисляемые по формулам:

нормой матрицы A .

12

на только для квадратной матрицы и существует в том и только в том случае, если A 0 . Однако матрица A системы уравнений и вектор B

– правая часть системы уравнений – во многих случаях могут быть заданы только приближенно. Причины погрешности могут быть самые разные, начиная от ошибок округления при вводе чисел в ПК до ошибок измерения, если система связана с обработкой экспериментальных данных. Кроме того, неточное задание матрицы A и вектора B могут быть также обусловлены неточностью модели, обусловленной принятыми допущениями. Ошибки возникают также при проведении вычислительного процесса.

В случае если элементы матрицы A заданы приближенно, возможно, что даже сам вопрос о том, имеет ли матрица A отличный от нуля определитель или нет, лишен смысла. Может случиться, что при точном вычислении определителя, исходя из приближенных значений элементов матрицы, принятых за точные, определитель оказывается отличным от нуля, но изменение элементов в пределах точности их задания или измерения может привести к матрице с нулевым определителем. Ясно, что система с матрицей, обладающей указанным свойством, не может быть решена со сколько-нибудь удовлетворительной точностью. Система практически оказывается несовместной.

Будем называть обратную матрицу устойчивой, если малым изменениям в элементах матрицы будут соответствовать малые изменения в элементах обратной матрицы.

Будем называть матрицу плохо обусловленной, если соответствующая ей обратная матрица будет неустойчивой.

Чувствительность решения к возмущению (погрешностям) вход-

Таким образом, число обусловленности зависит от выбора нормы векторов в пространстве Rn .

В частности, выбору нормы X1 отвечает 1 A A1 A 1 1 ; eсли

13

Всегда справедливо неравенство A 1 . Таким образом, числоA выступает в качестве характеристики системы уравнений

A X B .

Теорема 2.1. Пусть правая часть линейного уравнения (2.1), где

зультата хуже оценки относительной погрешности правой части. Если

велико, то малые ошибки правой части приводят к большим ошибкам результата, что приводит к неустойчивости получаемого решения.

Метод исключения Гаусса

Рассмотрим один из самых распространенных прямых методов решения СЛАУ – метод Гаусса. Этот метод (который называют также методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Типичная схема реализации метода Гаусса разделяется на два этапа: прямой ход и обратный ход. Прямой ход метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из системы (2.1) для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисление значений неизвестных производят на этапе обратного хода. Если точно выполнить все требуемые в нем действия, то мы получим точное решение системы. В этом смысле способ Гаусса называют точным. Практически, впрочем, поскольку арифметические действия приходится выполнять с округлением, точного решения получить не удается.

Опишем простой метод Гаусса (схема единственного деления). Для удобства изложения ограничимся рассмотрением системы четвертого порядка. Запишем рассматриваемую систему линейных алгебраических уравнений в виде

j 1

14

где все члены перенесены в левую часть равенства. Из первого уравне-

Исключим из оставшихся уравнений (2.1) x1 , для этого достаточно подставить значение x1 из (2.10) во второе, третье и четвертое уравнения системы (2.1). Переменную x1 называют ведущей переменной первого шага, а коэффициент a11 – ведущим элементом первого шага.

В результате такой подстановки придем к СЛАУ из трех уравнений, не содержащих x1 :

j 2

Из способа получения этой системы видно, что

Полученную систему (2.11) можно подвергнуть тому же преобразованию, что и первоначальную. Продолжая этот процесс дальше, приходим к уравнению x4 b45 .

Таким образом, получаем четыре уравнения вида (2.10), которые объединяем в систему:

Из уравнений (2.12) последовательно находим все значения xi

1 i 4 .

Указанный алгоритм может оказаться нереализуемым из-за деления на нуль или дать грубую ошибку в результате округлений.

Сформулируем достаточное условие, гарантирующее вычислительную устойчивость метода Гаусса. Матрица

15

называется матрицей с диагональным преобладанием (величина 0 ), если

Теорема 2.2. Пусть матрица A системы (2.1) является матрицей с диагональным преобладанием (величина 0 ). Тогда в алгоритме простого метода Гаусса не встречается деления на нуль.

Напомним «механизм» возникновения больших погрешностей:

1)деление на малые числа;

2)появление больших (по величине) промежуточных результатов;

3)потеря точности при вычитании больших (близких друг к другу) чисел.

Таким образом, порядок последовательности исключения неизвестных может сильно сказаться на результатах расчетов (тем более для систем высокого порядка такой исход весьма вероятен). Уменьшить опасность подобного рода, т. е. уменьшить в процессе выкладок вероятность деления на малые числа, позволяют варианты метода Гаусса с выбором главного элемента.

Перед исключением ведущей переменной отыскивается max ai, j .

i, j

Допустим, максимум соответствует i i0 , j j0 . Тогда первое уравнение в исходной системе (2.1) меняем местами с i0 -м уравнением. Для ЭВМ эта процедура связана с перестановкой двух строк расширенной матрицы (2.1). Далее поменяем взаимно номера у неизвестных x1 и x j0 . Максимальный по величине из коэффициентов окажется в позиции a1,1 . Приступим к процедуре исключения x1 . Далее при необходимости эта процедура повторяется.

Метод исключения с выбором главного элемента по всей матрице коэффициентов на каждом шаге исключения является наиболее надежным и позволяет, как правило, существенно уменьшить неблагоприятное влияние погрешностей округления на результаты расчета.

Метод простых итераций (метод Якоби) состоит в том, что система уравнений (2.1) преобразуется к виду

16

К виду (2.15) систему можно привести, например, выделив диагональные элементы:

(2.15) необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы C по абсолютной величине были меньше единицы.

Теорема 2.4. Для сходимости итераций (2.16) к решению системы (2.15) достаточно, чтобы в какой-либо норме выполнялось условие

Метод Зейделя

Пусть система (2.1) приведена к виду (2.17). Метод Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея

найденные (k 1) -е приближения к неизвестным x1,..., xi 1 , а не k -е приближения, как в методе Якоби.

17

На (k 1) -й итерации компоненты приближения x(k 1) вычисляются по формуле

Простота вычислительных схем и однообразие производимых операций делают эти методы удобными при использовании вычислительной техники. Привлекательным является и свойство самоисправляемости таких методов. Это свойство делает их менее чувствительными по сравнению с точными методами к отдельным ошибкам, допущенным в процессе вычислений. Если при использовании точных методов отдельный сбой в вычислениях неизбежно ведет к ошибке в окончательном результате, то в случае сходящегося итерационного процесса такой сбой влечет за собой только лишние приближения. Ошибка, допущенная в каком-то приближении, будет в дальнейшем исправлена последующими приближениями. Однако итерационные методы не являются универсальными. Их сходимость существенным образом зависит от элементов матрицы, определяющих данную задачу. Быстрота сходимости каждого итерационного процесса зависит также и от удачного выбора вектора начального приближения.

18

Вопросы для самопроверки

1.Какие методы называются точными или прямыми?

2.Какие методы называются итерационными?

3.Сформулируйте определение нормы вектора.

4.Сформулируйте определение нормы квадратной матрицы.

5.Что характеризует конкретная норма вектора?

6.Что понимают под согласованием нормы матрицы с нормой вектора?

7.Что значит, что норма матрицы подчинена норме вектора?

8.Какая обратная матрица называется неустойчивой?

9.Какая матрица называется плохо обусловленной?

10.Чем характеризуется чувствительность решения системы к возмущению входных данных?

11.Почему оценка относительной погрешности результата хуже оценки относительной погрешности правой части системы?

12.Какие коэффициенты называются ведущими в простом методе

Гаусса?

13.В чем заключается прямой ход при решении СЛАУ методом

Гаусса?

14.Что такое обратный ход метода Гаусса?

15.Каковы недостатки схемы единственного деления?

16.Сформулируйте теорему о достаточном условии сходимости простого метода Гаусса.

17.Является ли метод Гаусса точным или приближенным?

18.Чем отличается схема единственного деления от схемы главного элемента?

19.Каковы достоинства итерационных методов решения СЛАУ?

20.В чем заключаются преобразования исходной системы для проведения итераций?

21.Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии сходимости метода простых итераций.

22.Сформулируйте теорему о достаточном условии сходимости метода простых итераций.

23.В чем заключается критерий окончания итерационного про-

цесса?

24.Чем отличается метод простых итераций от метода Зейделя?

19

3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Постановка задачи о приближении (аппроксимации) функции.

Данную функцию f (x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией G(x) так, чтобы отклонение (в некотором смысле) G(x) и f (x) в заданной области было наименьшим. Функция G(x) при этом называется аппроксимирующей.

В процессе численной реализации этого подхода необходимо рассмотреть следующие четыре основных вопроса:

1.Об имеющейся информации относительно функции f (x) , т.е. о виде, в котором задана функция f (x) .

2.О классе аппроксимирующих функций, т.е. о том, какими функциями G(x) будет аппроксимирована функция f (x) .

3.О близости аппроксимируемой и аппроксимирующей функций, т. е. о выборе критерия согласия, которому должна удовлетворять

функция G(x) .

4. О погрешности, т.е. об определении разности между точным и приближенным значениями.

В вопросе об информации относительно функции f (x) различают

два основных случая: либо функция задана аналитически, либо в виде таблицы. Графический способ задания функции относят либо к первому, либо ко второму случаю в зависимости от конкретной задачи.

Ввопросе о классе аппроксимирующих функций следует руководствоваться двумя главными факторами. Во-первых, аппроксимирующая функция должна отражать характерные особенности аппроксимируемой, а во-вторых, быть достаточно удобной в обращении, т. е. при выполнении над ней необходимых операций.

Вчисленном анализе широкое применение имеют три группы ап-

проксимирующих функций. Первая – это функции вида 1, x,..., xn , ли-

нейные комбинации которых порождают класс всех многочленов степени не выше n. Вторую группу образуют тригонометрические функции sin ai x и cosai x , порождающие ряды Фурье, и интеграл Фурье.

Наконец, третья группа состоит из экспоненциальных функций exp(ai x) ,

определяющих явления типа распада и накопления, часто встречающиеся в реальных ситуациях.

Вопрос о критерии согласия, по существу, заключается в том, чтобы определить некоторым образом «расстояние» между аппроксимируемой функцией и аппроксимирующими функциями. Затем из всего

20