Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы в задачах математического моделирования и исследования математических моделей объектов. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

928 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

4.ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

ИИНТЕГРИРОВАНИЕ

Численное дифференцирование. Пусть функция y f (x) задана
таблицей своих значений
yi f (xi ) , 0 i n .	(4.1)
Простейший способ построения формул численного дифференци-

рования состоит в следующем. По табличным данным приближаем

функцию интерполяционным многочленом с остаточным членом									Rn ,
так что
			f (x) Gn (x) Rn (x) .					(4.2)
Дифференцируя равенство (4.2) необходимое число раз, можно
найти значения производных				f (x) ,	f (x) ,…,	f (k ) (x)	( k n ):
						(k )	(k )	(k )
						f (x) Gn		(x) Rn	(x) .
f (x) Gn		(x) Rn (x) ,	f (x) Gn (x) Rn (x) ,			f (x) Gn		(x) Rn	(x) .
(4.3)
В	качестве приближенного				значения	производной		порядка k

функции y f (x) можно принять соответствующее значение производ-

ной многочлена Gn (x) , т. е. f (k ) (x) Gn(k ) (x) .

Величина Rn(k ) (x) f (k ) (x) Gn(k ) (x) , характеризующая отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения, называется погрешностью аппроксимации производной.

При вычислениях на ПК, когда мы заинтересованы скорее не в малом количестве арифметических операций, а в экономии элементов памяти и в простоте программирования, достаточно выгодно использовать представление интерполяционного многочлена Gn (x) в форме Лагранжа. При счете на микрокалькуляторах более рационально, повидимому, воспользоваться многочленом Gn (x) в форме Ньютона. Наиболее простой вид принимают формулы численного дифференци-

рования при	использовании	таблиц	(4.1)	с постоянным шагом
( xi x0 i h )	или xn 1 xn h	( 0 i n ).	Если,	например, исходить из

правила Ньютона для интерполирования в начале таблицы, получатся следующие выражения для производных:

y (x0 t h)

dG (x) dt 1

2t 1

3t2 6t 2

... ;

y (x0 t h)

2 y0

(t 1) 3 y0

... ,

x x0

h const .

(4.4)

Если x x0 и t 0 , то

( 1)n 1

( 1) j 1

y (x0 )

2 y0

3 y0

...

n y0

j y0 ;

j 1

y (x0 t h)

2 y0

(t 1) 3 y0

... ,

x x0

h const ;

(4.5)

( 1)n 1

( 1) j 1

y (x0 )

2 y0

3 y0

...

n y0

j y0 ;

j 1

y (x0 )

... .

(4.6)

Если для интерполирования в конце таблицы воспользоваться многочленом Ньютона, то получим следующие выражения для производных:

y (xn

2t 1

3t2

6t 2

t h)

yn 1

2 yn 2

3 yn 3

...

;

y (xn t h)	1	2 yn 2	(t 1) 3 yn 3	... , t	x x0	.
	2
	h				h
Очень простые формулы			численного	дифференцирования для

функции (4.1) можно получить из формулы Тейлора, которую запишем для функции y f (x) , полагая ее достаточно гладкой в окрестности точки x:

f (x)

(n) (x)

(n 1)

f (x h) f (x) f (x) h

...

O(h

) . (4.7)

Если ограничиться первыми двумя слагаемыми в правой части

(4.7), т.е. аппроксимировать y f (x) в окрестности точки x

линейной

функцией, то получим формулу правой разностной производной

f (x) f (x h)

f (x)

(4.8)

Погрешность такой аппроксимации является величиной O(h) .

Заменив в последней формуле h

на h ,

получим левую разност-

ную производную

f (x) f (x h)

f (x)

(4.9)

f (x h) f (x) f (x) h

Вычитая из приближенного равенства

приближенное равенство f (x h) f (x) f (x) h , получим центральную разностную производную

	f (x h) f (x h)
f (x)		,	(4.10)
f (x)	2h	,	(4.10)
	2h

порядок погрешности которой O(h2 ) .

Если в формуле Тейлора оставить на одно слагаемое больше, т.е. аппроксимировать функцию многочленом второй степени по h , то получим центральную разностную производную второго порядка, по-

грешность которой является величиной O(h2 ) :

	f (x h) 2 f (x) f (x h)	.	(4.11)

f (x)	h2

Одним из источников погрешности численного дифференцирования является погрешность аппроксимации. Она определяется величиной остаточного члена. Погрешности, возникающие при численном дифференцировании, определяются также неточными значениями функции yi f (xi ) в узлах (неустранимая погрешность) и погрешно-

стями округлений при проведении расчетов. Погрешность метода численного дифференцирования тем меньше, чем меньше шаг h , а вычислительная погрешность с уменьшением шага увеличивается. С учетом этого обстоятельства выбирают оптимальный шаг дифференцирования, при котором суммарная погрешность была бы минимальной.

Численное интегрирование. Рассмотрим способы приближенного вычисления определенных интегралов вида

	b	b
	F (x)dx f (x) p(x)dx ,		(4.12)
где a, b	a	a
где a, b	любой конечный или бесконечный отрезок числовой оси;
	f (x) вещественная	произвольная функция	некоторого

класса, а p(x) некоторая фиксированная функция, которую называют весовой.

Если F (x) имеет какие-нибудь особенности, то их выделение обычно делается при помощи разложения F (x) на два сомножителя F (x) f (x) p(x) , где p(x) имеет особенности того же типа, что и F (x) , а f (x) есть гладкая функция.

Наиболее часто приближенное значение интеграла (4.12) ищут в
виде линейной комбинации значений функции f (x)		на отрезке a, b :
b	n
f (x) p(x)dx Ak f (xk ).		(4.13)
a	k 0
Приближенное равенство (4.13)	называют квадратурной форму-

лой. Выражение в правой части (4.13) называют квадратурной суммой,

точки xk узлами квадратурной формулы, а числа Ak		коэффициента-
ми квадратурной формулы. Разность
b	n
rn f (x) p(x)dx Ak f (xk )
a	k 0

называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов. Будем говорить, что квадратурная формула (4.13) точна для многочленов степени m, если для любого многочлена степени не выше m эта формула дает точное значение интеграла, т. е.

b	n
rn m (x)dx Ak m (xk ) .
a	k 0

Интерполяционное квадратурное правило

Пусть узлы xk ( 0 k n ) избраны каким-либо образом и фиксированы.

По заданной системе узлов xk и таблице значений f (xk ) ( 0 k n ) построим интерполяционный многочлен Лагранжа и положим в инте-

грале (4.12) f (x) Ln (x) .

Получим правило приближенного вычисления интеграла, которое характеризуется определенным законом выбора коэффициентов Ak . В

связи со способом получения оно названо интерполяционным квадратурным правилом:

b	n
f (x) p(x)dx Ak f (xk ),
a	k 0
b	(x)
Ak p(x)	(x)	dx .	(4.14)

	(x xk ) (x)
a	(x xk ) (x)

Правила Ньютона Котеса

Отрезок интегрирования a, b разделим на n одинаковых частей длины, h (b a)n и точки деления a k h ( 0 k n ) примем за узлы

интерполяционного квадратурного правила.

Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами и конечным отрезком интегрирования будем применять для вычисления интеграла

f (x)dx с постоянной весовой функцией p(x) 1.

Для этого случая интерполяционное квадратурное правило (4.14) может быть записано в виде

			n
f (x)dx (b a) Bk f (a k h) ;
		k 0
	( 1)n k n		t (t 1)...(t n)
				dt .	(4.15)
	n k! (n k)!		t k	dt .	(4.15)
0

Квадратурные формулы (4.15) называют формулами Ньютона Котеса.

Положим n 1. Тогда приближенное равенство (4.15) преобразуется в известную элементарную формулу трапеций

b	(b a)	f (a) f (b) .
f (x)dx			(4.16)
	2
a

Формула трапеций получается путем замены подынтегральной функции f (x) интерполяционным многочленом первой степени.

Если n 2 , то квадратурная формула (4.15) принимает вид

b	(b a)		a b
f (x)dx
		f (a) 4 f			f (b)	,	(4.17)

a	6			2
который получается путем замены подынтегральной функции							f (x) ин-

терполяционным многочленом второй степени (параболой). Эту формулу называют элементарной квадратурной формулой Симпсона или формулой парабол.

Для уменьшения погрешности предварительно разбивают отрезокa, b на достаточно большое число интервалов и к каждому из них

применяют простейшую квадратурную формулу.

Так, разбивая отрезок a, b на m равных частей длиной h (b a)n и применяя к частичному отрезку a k h, a (k 1) h фор-

мулу (4.16), после суммирования по всем частичным отрезкам получаем так называемую составную формулу трапеций

f (x ) f (x

)

f (x)dx

k 1

h h

f0 f1 ... fn 1

, (4.18)

k 0

где f(x) = f(xk), 0 k n .

, то оценка погрешности формулы

Если

a, b

f (x) непрерывна на

трапеций имеет вид

(b a)3

max

f (x)

(4.19)

12m2

a x b

Пусть m четное число m 2l . Возьмем удвоенный частичный отрезок a k h, a (k 1) h и применим к нему формулу Симпсона; в

результате после суммирования по всем удвоенным частичным отрезкам найдем

2 f

4 f

f (x)dx

... f

(4.20)

2l 2

2l 1

Приближенную формулу (4.20) называют составной формулой Симпсона. Для оценки погрешности имеем неравенство

(b a)5

max

f (4) (x)

(4.21)

180m4

a x b

Для практической оценки погрешности квадратурной формулы можно использовать правило Рунге. Для этого проводят вычисления на сетках с шагом h и h2 , получают приближенные значения интеграла Ih и за окончательные значения интеграла принимают величины:

4 I h Ih

	2		– для формулы трапеций;
	3

16 I h Ih

				2		– для формулы Симпсона.
				2
			15
При этом за погрешность приближенного значения интеграла
принимают величину:
	I h		Ih
	I h		Ih
		2			– для формулы трапеций;
			3		– для формулы трапеций;
			3
	I h		Ih
	I h		Ih
		2			– для формулы Симпсона.
			15		– для формулы Симпсона.
			15
						Квадратурные формулы Гаусса
В квадратурных формулах типа формулы Гаусса
						b	n
						f (x) p(x)dx	Ak f (xk ) .	(4.22)
						a	k 1

Коэффициенты Ak и узлы xk (1 k n ) подбирают так, чтобы прибли-

женное равенство (4.22) было точным для всех многочленов возможной наивысшей степени N (обратим внимание, что здесь для удобства изложения нумерация узлов начинается со значения k 1).

Если p(x) 0 , a x b , N 2n 1 , то, как показано в работе [4],

коэффициенты и узлы определяются однозначно при выполнении условий:

1) квадратурная формула (4.22) должна быть интерполяционной; 2) многочлен n (x) должен быть ортогонален по весу p(x) на от-

резке a, b ко всем многочленам степени меньше n.

Квадратурная формула Гаусса p(x) 1 имеет вид

f (x)dx Ak f (xk ) ,

(4.23)

k 1

имеет своими узлами корни многочлена Лежандра

P (x)

d n (x2 1)

2n n!

dxn

При вычислении интеграла f (x)dx следует сделать замену пере-

менной интегрирования x

b a

. Тогда

f (x) p(x)dx

Ak f (xk ) ;

k 1

b a

(4.24)

Вопросы для самопроверки

1.В чем заключается постановка задачи численного дифференцирования?

2.Как получить формулы численного дифференцирования из правила Ньютона для интерполирования?

3.Как получить формулы численного дифференцирования (левые, правые и центральные разности) из формулы Тейлора? Каков порядок погрешности?

4.В чем заключается задача численного интегрирования?

5.Какая функция называется весовой?

6.Что называется квадратурной формулой, квадратурной суммой, квадратурными узлами, квадратурными коэффициентами?

7.В чем заключается точность квадратурного правила?

8.Что такое погрешность квадратурного правила?

9.Какие ограничения накладываются на квадратурное правило, чтобы получить интерполяционное квадратурное правило?

10.Какие дополнительные ограничения накладываются на квадратурное правило, чтобы получить правила Ньютона-Котеса?

11.Каков геометрический смысл правила трапеций?

12.В чем смысл составной формулы трапеций и ее геометрический смысл?

13.Каков геометрический смысл формулы Симпсона?

14.В чем смысл составной формулы Симпсона?

15.На чем основано квадратурное правило Гаусса?

ВЫЧИСЛЕНИЯ И ОПЕРАЦИИ В MATHCAD

Рассмотрим примеры выполнения типовых математических задач. К таким задачам, в первую очередь, относятся упрощение алгебраических, тригонометрических выражений, вычисление значений функций при различных значениях аргументов, преобразование алгебраических выражений в многочлены и выполнение обратных операций, связанных с разложением алгебраических выражений на множители, вычисление производных и интегралов, решение дифференциальных уравнений, а также ряд других задач.

Примечание. Решение задачи в каждом случае завершаем щелчком левой кнопки мыши, предварительно уводя курсор за пределы выделенной области набора примера.

Пример 1. Упростить алгебраическое выражение a2 b2 . a b

Решение. В окне редактирования (далее на экране) набираем исходное выражение.

Курсор подводим к опции «Символы» в главном меню и щелчком левой кнопки мыши один раз вызываем опцию «Символы» (далее входим в «Символы»). В открывшемся меню подводим курсор к опции «Упростить» и щелчком левой кнопки мыши активизируем указанную опцию. На экране монитора отображается введенное выражение, но уже в выделенном виде. Повторяем наши действия: входим в опцию «Символы» (подводим курсор, щелкаем левой кнопкой мыши) и активизируем опцию «Упростить». На экране появляется ответ: x a b .

Пример 2. Вычислить значение выражения 10 x2 5 y2 при следующих значениях переменных: x 1,5 , y 1,6 .

Решение. На экране с клавиатуры набираем знак присвоения : , (компьютер сам поставит знак ).

x : 1,5 , y : 1,6 .

Далее набираем само выражение, значение которого необходимо вычислить: 10 x2 5 y2

рядом со знаком равенства читаем ответ: 9.7. Пример 3. Преобразуйте в многочлен

(a 2 b) (a 2 b) (a2 4 b2 ) .

Решение. На экране набираем исходное выражение

(a 2 b) (a 2 b) (a2 4 b2 ) .

Входим в меню «Символы» и активизируем опцию «Расширить». На экране читаем ответ: (a4 16 b4 ) .

Пример 4. Разложите на множители: (4 z4 25 k 2 ) . Решение. На экране набираем исходное выражение

(4 z4 25 k 2 ) .

Входим в меню «Символы» и активизируем опцию «Фактор». На экране читаем ответ: (5 k 2 z2 ) (5 k 2 z2 ) .

Пример 5. Разложите на множители: 12 x3 3 x2 y 18 x y2 . Решение. На экране набираем исходное выражение

12 x3 3 x2 y 18 x y2 .

Входим в меню «Символы» и далее активизируем опцию «Фактор». На экране читаем ответ: 3 (4 x2 x y 6 y2 ) .

Пример 6. Сократите дробь: x2 2 m x 3 x 6 m . x2 2 m x 3 x 6 m

Решение. На экране набираем исходное выражение.

Входим в меню «Символы» и активизируем опцию «Упростить».

На экране читаем ответ: x 2 m . x2 2 m

				1
Пример 7.	Вычислите значение выражения:		36	2		.
			36	2

		1		1
		1		1

		273	814		5
Решение. На экране набираем искомый пример. Ставим знак ра-
венства и читаем ответ: -0,014.
Пример 8.	Решите уравнение с одной переменной:
	2 (5 x 1)2 35 x 11 0 .

Решение. Аналитическое решение. Набираем ключевое слово given (дано).

Вводим уравнение 2 (5 x 1)2 35 x 11 0 . Здесь при вводе

знака вводится знак логическое равно из палитры «Булева алгебра», а не с клавиатуры.

Набираем find (x) , рядом читаем решение: 0,6 0,3 . Пример 9. Решите уравнение: y3 6 y2 16 y 0 . Решение: Численный поиск корней уравнения.

Для поиска корней искомой переменной, надо присвоить начальное значение переменной, а затем при помощи вызова функции root( f (x), x) находим корень.

Набираем на экране y : 1.

root( y3 6 y2 16 y, y) .

Читаем ответ: .

Если в качестве начального значения возьмем y : 2 , то получим ответ: Оба этих значения являются корнями данного уравнения.

		x2	y 8 x y	.
Пример 10. Решите систему уравнений:				.
		y 2 x 0
Решение. Набираем ключевое слово given и систему уравнений
x2	y 8 x y	.
		.
y 2 x 0

Между левыми и правыми частями уравнений ставим знак логическое равно = , который набирается из палитры «Булева алгебра». Набираем вызов функции find (x) , читаем на экране ответ:

2	4 ,
4	8 .

Пример 11. А) Решите неравенство: 5 x 3 4 .

Решение. На экране набираем данное неравенство, входим в палитру «Символические операторы» и затем активизируем « solve ». Набираем обозначение переменной x

5 x 3 4 solve, x

На экране читаем ответ: x 75 .

Б) Решите неравенство: 2 a2 5 15 .

На экране набираем неравенство и входим в палитру «Символические операторы», активизируем опцию « solve ». Набираем обозначение переменной а

2 a2 5 15 solve,	a
на экране читаем ответ:			a a
на экране читаем ответ:		10	a a	10

Пример 12. Вычислите значения тригонометрических функций: cos34 cos56 sin 34 sin124 .

Решение. Набираем на экране выражение

cos(34 deg) cos(56 deg) sin(34 deg) sin(124 deg)

и читаем ответ: 0.

Примечание. Набираем deg , если угол задан в градусах; rad – в радианах.

Пример 13. Построить график функции y 2 sin(2 x) .

Решение. Набираем на экране y 2 sin(2 x) . Отводим курсор от выделенной части и щелкаем левой кнопкой мыши. Указатель мыши подводим к опции «Построение графиков» и входим, активизируем «Декартов график». Появляется шаблон для построения графика. На

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]