Численные методы в задачах математического моделирования и исследования математических моделей объектов. Учебно-методическое пособие
.pdf
Погрешность выполняемых вычислений может быть вычислена по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
T |
m h2 , |
|
|
(6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где m1 max |
|
f |
(4) |
(x) |
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
, при 0 t T , 0 |
x s . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(t) |
|
(t) |
|
|
|||||||||||||||
Задание 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя |
|
метод сеток, найти приближенное решение уравнения |
||||||||||||||||||||||
(1)–(3), удовлетворяющее условиям u(x,0) f (x) , |
u(x0 ,t) 0 , |
u(xn ,t) 0 |
||||||||||||||||||||||
для 0 t 0,03, |
x0 x xn |
|
при h 0,1, l 0,005 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
Полученное решение должно быть оформлено в виде табл. 1, подсчитанной вручную.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
j |
|
x |
x0 |
x0 h |
x0 2h |
x0 3h |
x0 4h |
|
xn |
|
l |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
u0,0 |
u1,0 |
u2,0 |
u3,0 |
u4,0 |
|
u5,0 |
1 |
0.005 |
|
u0,1 |
u1,1 |
u2,1 |
u3,1 |
u4,1 |
|
u5,1 |
2 |
0.010 |
|
u0,2 |
u1,2 |
u2,2 |
u3,2 |
u4,2 |
|
u5,2 |
3 |
0.015 |
|
u0,3 |
u1,3 |
u2,3 |
u3,3 |
u4,3 |
|
u5,3 |
4 |
0.020 |
|
u0,4 |
u1,4 |
u2,4 |
u3,4 |
u4,4 |
|
u5,4 |
5 |
0.025 |
|
u0,5 |
u1,5 |
u2,5 |
u3,5 |
u4,5 |
|
u5,5 |
6 |
0.03 |
|
u0,6 |
u1,6 |
u2,6 |
u3,6 |
u4,6 |
|
u5,6 |
Исходные данные заданы в табл. 2.
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
Исходные данные |
||
Номер варианта |
x0 |
xn |
f (x) |
|
1 |
0.1 |
0.6 |
(1,1x2 1,1)sin 2 (x 0,1) |
|
2 |
0 |
0.5 |
xsin 2 x |
|
|
|
|
|
|
3 |
0.2 |
0.7 |
(1,5x 1,1)sin 2 (x 0, 2) |
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
0.5 |
(x2 3)sin 2 x |
|
5 |
0.1 |
0.6 |
(1,1x2 1,3)sin 2 (x 0,1) |
|
6 |
0.2 |
0.7 |
(x3 1)sin 2 (x 0,2) |
|
7 |
0 |
0.5 |
(1,5x2 1)sin 2 x |
|
8 |
0.2 |
0.7 |
(3x2 2)sin 2 (x 0,2) |
|
9 |
0 |
0.5 |
(x2 1,3)sin 2 x |
|
10 |
0.1 |
0.6 |
(3x2 1)sin 2 (x 0,1) |
|
81
Оценить погрешность вычислений по формуле (6).
Пояснения. Значения ui,0 |
находим путем подстановки значения x0 |
|
в функцию f (x) . Например, |
для функции |
f (x) x sin(2 x) значение |
при x0 равно f (x0 ) x0 sin(2 x0 ) . Значения |
u0,k и us,k определяются |
|
краевыми условиями (в рассматриваемом примере нулевые). Далее последующие значения функции, например u1,1 , находим, используя фор-
мулу (5), т.е. u |
u0,0 |
u2,0 |
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1,1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примерный фрагмент выполнения лабораторной работы |
||||||||||||||||||||
|
|
|
при следующих исходных данных |
|
|
|||||||||||||||
f (x) : x cos(2 3 x) , |
i : 0...5 , |
k : 0...5 , |
|
x0 : 0,1, |
x5 : 0,6; |
|||||||||||||||
|
|
ui,0 : xi cos(2 3 xi ) , |
u0,k 1 : 0 , |
u5,k 1 : 0 ; |
|
|
||||||||||||||
u |
|
ui 1,0 ui 1,0 |
, u |
|
ui 1,1 |
ui 1,1 |
, u |
|
|
ui 1,2 ui 1,2 |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
i,1 |
2 |
|
|
i,2 |
|
|
|
2 |
|
|
i,3 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
u |
|
ui 1,3 |
ui 1,3 |
, u |
|
|
ui 1,4 ui 1,4 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
i,4 |
2 |
|
|
|
i,5 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Заполняем таблицу по результатам выполненных расчетов. |
||||||||||||||||||||
0,067 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
||||||||||
|
0,171 |
0,179 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 291 |
0, 285 |
|
0,089 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
||||||||||
|
0,399 |
0,380 |
|
0,143 |
|
0,045 |
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
||||||||||||||
0, 468 |
0, 437 |
|
0,19 |
|
0,071 |
|
0,022 |
0 |
||||||||||||
|
0, 475 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
||||||||||
Контрольные вопросы
1.В чем заключается идея решения дифференциальных уравнений по методу сеток?
2.Какие точки называются узлами области задания функции?
3.Что такое шаг сетки?
4.Какие узлы называются внутренними и какие узлы граничны-
ми?
5.Как перейти от дифференциального уравнения к разностному (на примере уравнения теплопроводности)?
6.Какое уравнение используется для вычисления значений функции текущего слоя?
7.Как вычислить отклонение значений точного решения от полученного приближенного решения по методу сеток?
82
Литература
1.Заварыкин В.М. Численные методы / В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. – М.: Просвещение, 1991. – 175 с.
2.Ракитин В.И. Практическое руководство по методам вычислений / В.И. Ракитин, В.Е. Первушин. – М.: Высшая школа, 1998. – 384с.
3.Волков Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. – М.: Наука, 1987. – 248 с.
4.Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак. – М.: Наука, 1987. – 318 с.
5.Копченова Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н.В. Копченова, И.А. Марон. М.: Наука, 1972. – 366 с.
6.Березин И.С. Методы вычислений / И.С. Березин, Н.П. Жидков. Т.1. М.: Наука, 1966. – 632с.
7.Бахвалов Н.С. Численные методы. / Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М. – СПб.: Физматлит, 2001. – 630 с.
8.Аминова С.Ф. Лабораторный практикум по курсу «Численные методы» / С.Ф. Аминова, Р.М. Асадуллин. – Уфа: Изд-во БГПУ, 2003. – 28 с.
9.Сулейманов Р.Р. Решение математических задач в системе MathCAD 8.1 / Р.Р. Сулейманов // Учитель Башкортостана. – 2002. –
№2.
10. Плис А.И. Mathcad: математический практикум / А.И. Плис, Н.А. Сливина. – М.: Финансы и Статистика, 1999.
11. Очков В.Ф. Mathcad 8 Pro для студентов и инженеров / В.Ф. Очков. – М.: КомпьютерПресс, 1999.
12. Очков В.Ф. MathCad 7 Pro для студентов и инженеров / В.Ф. Очков. – М.: КомпьютерПресс, 1998. – 384 с.
13. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO / В.П. Дьяконов. – М.: CK Пресс, 1997. – 336 с.
83
Оглавление
Предисловие ……………………………………………………………….. 3 Введение …………………………………………………………………… 4
1.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ………………………… 6
2.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ……………….. 9
3.ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ……………………………………….. 20
4.ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 31
ВЫЧИСЛЕНИЯ И ОПЕРАЦИИ В MATHCAD ……………………. 38
Лабораторная работа №1. Решение уравнений с одной переменной .. 44 Лабораторная работа №2. Решение систем линейных уравнений ….. 54 Лабораторная работа №3. Интерполирование функций ……………... 62 Лабораторная работа №4. Численное интегрирование ………………. 67 Лабораторная работа №5. Численное решение дифференциальных
уравнений …………………………………. 70 Лабораторная работа №6. Статистическая обработка опытных дан-
ных ………………………………………… 74 Лабораторная работа №7. Численное решение уравнений в частных
производных ………………………………. 79
Литература …………………………………………………………………. 83
84
Учебное издание
Сафарьян Ольга Александровна
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ВЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ИИССЛЕДОВАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ
Редактор А.А. Литвинова Компьютерная обработка: И.В. Кикичева
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В печать 13.05.2019.
Формат 60×84/16. Объем 5,3 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 657. Цена свободная
______________________________________________________
Издательский центр ДГТУ Адрес университета и полиграфического предприятия:
344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина,1.
85