Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы в задачах математического моделирования и исследования математических моделей объектов. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

928 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

y f (x, y)

Исходные данные по вариантам

Номер варианта					Функция
1						3x y			2	3	1	0.1

						x2 y
						x2 y
2			2x y 4						3	4	1	0.1

						2 y x
						2 y x
3						x2 y			0	1	2	0.1
3				2x y 1					0	1	2	0.1
				2x y 1
4				x2 y 2					2	3	1	0.1
4					x	y 3x			2	3	1	0.1
					x	y 3x
5				3 x y2					1	2	1	0.1
5					2 x y		2		1	2	1	0.1
					2 x y		2
6		2 x y2					x		0	1	1	0.1
6						3x y			0	1	1	0.1
						3x y
7					1 3x y				0	1	2	0.1

	5					x y2
	5					x y2
8					x2 y 2				0	1	1	0.1
8						2x y			0	1	1	0.1
						2x y
9				x2 y 2					2	3	2	0.1
9						2x y			2	3	2	0.1
						2x y
10					x y 4				0	1	3	0.1

		2x				x y		1
		2x				x y		1

Задание 2

Написать программу решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта на отрезке a, b с шагом h и 2h и

начальным условием y(a) y0 . Оценить погрешность полученных ре-

шений по формуле (5). Исходные данные для выполнения задания берутся из таблицы.

Примерный фрагмент выполнения лабораторной работы

1. Выполнить задание 1 при следующих условиях:

f x , y	3x y	, a 2 , b 3 , h 0,1, y 1.

i i	x2 y		0
Находим число точек, в которых определяется решение диффе-
ренциального уравнения, по формуле				b a	. В примере число точек



				h

равно 10.

Определяем цикл по переменной i : 0...10 . Переменную xi определяем выражением xi : a i h . Начальное значение решения определяем как y0 : 1.

Значение искомого решения при i 0 определяем следующей формулой:

yi 1 yi h 3 xi yi . xi2 yi

Ниже приведены значения и полученное решение y :

i	x	y
i 0	2,0	1,0
i 1	2,1	1,1
i 2	2,2	1,196
i 3	2,3	1,287
i 4	2,4	1,372
i 5	2,5	1,451
i 6	2,6	1,524
i 7	2,7	1,589
i 8	2,8	1,647
i 9	2,9	1,699
i 10	3,0	1,744

2. Выполнить задание 2 при следующих условиях:

f x , y	3x y		,
f x , y			,
i i	x2 y
a 2 , b 3 , h 0,1, y0				1.
Находим число точек, в которых определяется решение диффе-
ренциального уравнения, по формуле		b a			. В примере число точек


		h
		h

равно 10.

Значение искомого решения при i 0 определяем следующей формулой:

yi 1 yi k1 2k2 2k3 k4 .

Ниже приведены значения и полученное решение y :

f xi , yi

3x y

, k

3xi yi

f xi

, yi

, k2 f		h	, yi	k h	;
	xi			1
		2		2

k4 f xi	h, yi		h k3 ;

	yi 1	yi	h	k1 2k2 2k3 k4 .
	yi 1	yi		k1 2k2 2k3 k4 .
		6
i		x			y
i 0		2,0			1,0
i 1		2,1			1,097
i 2		2,2			1,189
i 3		2,3			1,277
i 4		2,4			1,361
i 5		2,5			1,441
i 6		2,6			1,518
i 7		2,7			1,593
i 8		2,8			1,665
i 9		2,9			1,735
i 10		3,0			1,802

Контрольные вопросы

1.Проверить выполнение условия теоремы существования и единственности решения для дифференциального уравнения.

2.На какие основные группы подразделяются приближенные методы решения дифференциальных уравнений?

3.В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения, полученное по методу Эйлера?

4.Какой геометрический смысл имеет решение дифференциального уравнения методом Эйлера?

5.В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта?

6.Какой способ оценки точности используется при приближенном интегрировании дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта?

7.Как вычислить погрешность по заданной формуле, используя метод двойного пересчета?

Лабораторная работа №6 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

При обработке результатов экспериментов получаемые результаты не позволяют, как правило, построить аналитические зависимости, описывающие полученные значения. В этих случаях, если необходимо найти зависимость между переменными x (параметрами проведения эксперимента) и функцией y (результатами эксперимента), использует-

ся статистическая обработка. Для функции, заданной таблично (заданы n значений опытных данных, полученных в результате какого-либо опыта), решается задача о нахождении функции, в некотором смысле наилучшим образом описывающей взаимосвязь между полученными данными. Одним из способов подбора такой (приближающей) функции является метод наименьших квадратов. Метод состоит в том, чтобы сумма квадратов отклонений значений искомой функции yi y xi и

заданных таблично значений была наименьшей:

S c y	y	2 y	2	y	2	2	... y	n	y	n	2	,	(1)
1	1		2		2			n		n
где c n -мерный вектор					параметров искомой функции S c , элемен-

тами которого являются значения xi .

Следует подчеркнуть отличие рассматриваемой задачи от задачи интерполяции, рассмотренной в лабораторной работе № 3. При решении задачи интерполяции функция проходит через заданные точки внутри интервала. В рассматриваемой задаче функция может не проходить через точки, в которых заданы ее значения.

Задание 1

Построить методом наименьших квадратов две эмпирические зависимости: линейную и квадратичную.

В случае линейной функции эмпирическая зависимость имеет вид y a x b . В этом случае задача сводится к нахождению параметров a и b из системы линейных уравнений:

a M

b M

x y

(2)

a M x

b M y ,

где

M x2

xi2 , M x

, M x y

xi yi , M y

yi . (3)

n i 1

В случае использования квадратичной зависимости y a x2 b x c

для статистической обработки результатов опыта задача нахождению параметров a , b и c из системы уравнений:

a M x4 b M x3		c M x2	M x2	y

a M x3	b M x2	c M x	M x y	,
	b M x c M y
a M x2	b M x c M y

где M x4

xi4 ,

M x3

xi3 ,

M x2

xi2 ,

n i 1

M x2 y

xi2 yi

, M x y

xi yi

, M y

yi .

n i 1

сводится к

(4)

M x 1 n xi ,

n i 1

По результатам найденных эмпирических зависимостей выбрать из двух функций наиболее подходящую. Для этого составить таблицу для подсчета суммы квадратов уклонений по формуле (1). Исходные данные взять из таблицы.

Исходные данные по вариантам

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер
1	0.5	0.1	0.4	0.2	0.6	0.3	0.4	0.7	0.3	0.8

	1.8	1.1	1.8	1.4	2.1	1.8	1.6	2.2	1.5	2.3

2	1.7	1.5	3.7	1.1	6.2	0.3	6.5	3.6	3.8	5.9

	1.5	1.4	1.6	1.3	2.1	1.1	2.2	1.8	1.7	2.3

3	1.7	1.1	1.6	1.2	1.9	1.5	1.8	1.4	1.3	1.0

	6.7	5.6	6.7	6.1	7.4	6.9	7.9	5.9	5.6	5.3

4	1.3	1.2	1.5	1.4	1.9	1.1	2.0	1.6	1.7	1.8

	5.5	5.9	6.3	5.8	7.4	5.4	7.6	6.9	6.6	7.5

5	2.3	1.4	1.0	1.9	1.5	1.8	2.1	1.6	1.7	1.3

	5.3	3.9	2.9	5.0	4.0	4.9	5.1	4.5	4.1	3.7

6	1.8	2.6	2.3	1.3	2.0	2.1	1.1	1.9	1.6	1.5

	4.4	6.4	5.3	3.7	4.9	5.6	3.0	5.0	4.3	3.7

7	1.9	2.1	2.0	2.9	3.0	2.6	2.5	2.7	2.2	2.8

	6.6	7.6	6.7	9.2	9.4	7.8	8.4	8.0	7.9	8.7

8	2.0	1.4	1.0	1.7	1.3	1.6	1.9	1.5	1.2	2.1

	7.5	6.1	4.8	7.4	5.7	7.0	7.1	6.8	6.0	8.9

9	2.0	1.2	1.8	1.9	1.1	1.7	1.6	1.4	1.5	1.3

	7.5	5.9	7.0	8.0	5.0	7.4	6.4	6.6	6.3	5.7

10	1.9	1.1	1.4	2.3	1.7	2.1	1.6	1.5	1.0	1.2

	4.7	3.4	3.8	5.2	4.6	5.5	3.9	3.9	3.2	3.5

Задание 2

Составить программу для нахождения приближающих функций заданного типа с выводом значений их параметров и соответствующих им сумм квадратов уклонений. Выбрать в качестве приближающих

функций следующие: y a x b ,

y a xm ,

y a exp(mx) . Провести ли-

неаризацию. Определить, для какого вида функции сумма квадратов уклонений является наименьшей.

Исходные данные представлены в таблице.

Примерный фрагмент выполнения задания 1 лабораторной работы

i	x	y
i 1	0,1	1,1
i 2	0,4	1,8
i 3	0,2	1,4
i 4	0,6	2,1
i 5	0,3	1,8
i 6	0,5	1,6
i 7	0,7	2,2
i 8	0,8	1,5
i 9	0,9	2,3
i 10	1,0	2,2

При использовании линейной эмпирической зависимости воспользуемся формулами (2). В соответствии с исходными данными получаем

M x2

xi2 , M x

xi ,

10 i 1

M x y

xi yi , M y

yi .

10 i 1

На основе исходных данных получены значения M x2 , M x , M x y ,

M y и сформирована система уравнений

a M

2 b M

x y

M x

b M y

Решение системы уравнений проводится одним из методов, изло-

женных в лабораторной работе №2. given

a M x2 b M x M x ya M x b M y

	0,9939393939393939
find a, b	1, 2533333333333333
	1, 2533333333333333

Значение S (a, b) равно 0,864.

При использовании квадратичной аппроксимации получается система трех уравнений с тремя неизвестными вида (4). Коэффициенты при неизвестных и свободные члены определяются выражениями

M x4

xi4 , M x3

xi3 ,

10 i 1

xi2 ,

M x

xi , M

xi2

yi ,

10 i 1

M x y

xi yi , M y

yi .

10 i 1

На основе исходных данных получены значения M x4 , M x3 , M x2 ,

M x , M x2 y , M x y ,

M y и сформирована система уравнений

a M x4 b M x3 c M x2

M x2 y

M x3

b M x2 c M x

M x y .

M x2

b M x c M y

Решение системы уравнений, как и выше, проводится одним из методов, изложенных в лабораторной работе №2.

given

a M x4 b M x3 c M x2 M x2 y

a M x3 b M x2 c M x M x ya M x2 b M x c M y

1,09848484848484 find a, b 2, 2022727272727271,011666666666667

Значение S (a, b, c) равно 0,866.

На рисунке приведены линейная и квадратичная аппроксимации для представленного набора данных.

Аппроксимация с использованием линейной (1) и квадратичной (2) функции

Контрольные вопросы

1.В чем суть приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов?

2.Чем отличается этот метод от метода интерполяции?

3.Каким образом сводится задача построения приближающих функций в виде различных элементарных функций к случаю линейной функции?

4.Может ли сумма квадратов уклонений для каких-либо приближающих функций быть равной нулю?

5.Какие элементарные функции используются в качестве приближающих функций?

6.Как найти параметры для линейной и квадратичной зависимости, используя метод наименьших квадратов?

Лабораторная работа №7 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Рассмотрим в качестве примера смешанную задачу для уравнения теплопроводности. Требуется найти функцию u(x,t) , удовлетворяющую уравнению

u(x,t)	2u(x,t)	0	,	(1)
t	x2

начальному условию (значению функции в некоторых точках в начальный момент времени)

u(x,0) f (x),		x 0, s ,		(2)
и краевым условиям			t 0, T .
u(0,t) (t),	u(L,t) (t),			(3)

Задачу будем решать методом сеток (конечных разностей по каждой из переменных). В основе метода лежит идея замены производных конечно-разностными отношениями. Ограничимся случаем двух независимых переменных. Пусть в плоскости xOy имеется некоторая об-

ласть G с границей Г, как показано на рисунке.

Плоскость

Построим на плоскости два семейства параллельных прямых (так как две переменных):

xi i h , tk k l , i 0,1, 2,..., k 0,1, 2,...

Точки пересечения этих прямых назовем узлами. Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси Ox или Oy на расстояние, равное шагу сетки h или l соответственно.

Выделим узлы, принадлежащие области G , соответствующей обла-

сти задания функции вместе с ее границей, а также некоторые узлы, не принадлежащие этой области, но расположенные на расстоянии меньшем чем шаг от границы Г. Узлы сетки, у которых все четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними (узел А на рисунке). Оставшиеся из выделенных узлов называются граничными (узлы В, С).

Значения искомой функции u u(x, t) в узлах сетки будем обозна-

чать через ui,k u(i h, k l) . В каждом внутреннем узле					(i h, k l) заме-
ним частные производные разностными отношениями:
	u	ui 1,k	ui 1,k
				,
				,
	x i,k		2h
	u	ui,k 1	ui,k 1
				.
				.
	t i,k		2l

В граничных точках воспользуемся формулами вида

ux i,k

ui 1,k ui,k	u		ui,k 1 ui,k
	,			.
	,			.
h		t i,k	l

Аналогично проведем замену частных производных второго порядка:

2u				u	i 1,k	2u		u	i 1,k
					i 1,k		i,k		i 1,k	.
	x	2				h	2			.
	x		i,k			h

Замена частных производных соответствующими разностными отношениями позволяет перейти от дифференциального уравнения в частных производных (1) к разностному уравнению

ui,k 1 ui,k	ui 1,k 2ui,k ui 1,k	0 .
l	h2

После замены 1h2 и последующих преобразований получаем

итерационное уравнение для вычисления значений функции во внутренних узлах:

ui,k 1 (1 2 )ui,k ui 1,k ui 1,k .

(4)

При выполнении условия 0 0,5 полученное разностное уравнение (4) является устойчивым [7]. Наиболее простой вид уравнение имеет при выборе значения 0,5 . При таком выборе параметров разбиения уравнение (2) может быть записано в виде

		u	ui 1,k ui 1,k	.			(5)

		i,k 1	2

Пусть		(x, t) – точное решение задачи (1)-(3). Тогда				u	– от-
	u				u

клонение полученного по методу сеток решения от точного решения.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]