Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы в задачах математического моделирования и исследования математических моделей объектов. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

928 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

y(x)

шаблоне выделены метки. Указатель мыши подводим к нижней метке, активизируем. Набираем обозначение переменной x. Появляются по горизонтали еще две метки, где мы должны указать интервалы изменения переменной при построении графика. Курсор подводим к левой метке и щелчком левой кнопки мыши активизируем и вводим значение левой границы 0. Подводим курсор к правой границе, активизируем и вводим значение 5. Появляется искомый график. Для форматирования графика нужно дважды щелкнуть в области графика. В открывшемся меню можно управлять отображением типа и толщиной линий, масштабом, видом символов, используемых при построении графика и др. Уводим курсор к метке оси Y, активизируем его и вводим . Появляются метки нижней и верней границ оси Y. В нижней набираем –2, в верхней 2. Отводим указатель мыши от шаблона для графиков, щелкаем. На экране появляется график (рис. 1).

Рис. 1

Пример 14. Построить графики функций: y 4 sin(2 x 3) , f (x) x2 4 x 3 .

Решение. Решение аналогично предыдущему примеру. В шаблоне для построения графиков имена функций набираем через запятую. Ограничений для значений аргументов и функций не ставим. Далее щелкаем мышью вне поля графиков. График первой функции отображается красной сплошной линией, график второй функции – синей точечной линией (рис. 2).

Рис. 2

Пример 15. Построить график функций z sin(x2 y2 ) при изменении переменной x от -2 до 2 и переменной y от -2 до 2. Фрагмент выполнения задания приведен ниже (рис. 3).

z(x, y) sin(x2 y2 ) .

n : 20 , i : 0..n , j : 0..n ,

a : 2 , b : 2 , xi : a i (bn a) , c : 2 , d : 2 , y j : c i (dn c) , zi, j z(xi , y j )

Рис. 3

Пример 16. Вычислите предел многочлена: y 2 x3 3 x2 3 при

x 2 .

Решение. Из палитры «Высшей математики» активизируем оператор lim, заполняем выведенный шаблон; завершаем набор знаком палитры «Операторы отношений». На экране читаем ответ: 7.

Пример 17. Вычислите производную: cos(x) x sin(x) .

Решение. Из палитры «Высшей математики» активизируем опе-

ратор d и заполняем выведенный шаблон; завершаем набор знаком dx

палитры «Операторы отношений». На экране читаем ответ: x cos(x) Пример 18. Вычислите неопределенный интеграл:

(x2 cos(x))dx .

Решение. Из палитры «Высшей математики» активизируем оператор dx и заполняем выведенный шаблон; завершаем набор знаком

палитры «Операторы отношений». На экране читаем ответ:

13 x3 sin(x) .

Пример 19. Вычислите определенный интеграл:

x2 1dx .

Решение. Из палитры «Высшей математики» активизируем опера-

тор dx и заполняем выведенный шаблон; завершаем набор знаком

палитры «Операторы отношений». На экране читаем ответ:

12 2 12 ln 2 1 .

Лабораторная работа №1

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ C ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Рассмотрим уравнение относительно переменной
f (x) 0 ,	(1)

где функция f (x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале a x b .

Всякое значение переменной x , обращающее функцию f (x) в нуль, f (x ) 0 , называется корнем уравнения (1), а способ нахождения

этого значения x – способом решения данного уравнения.
Задание 1
Сделать отделение корней: графически и по программе (точность
10 5 ). Индивидуальные задания приведены в таблице.
Задание 2
Провести уточнение корней методом половинного деления.
В	качестве начального приближения выберем	значение
c a b	2 , являющееся серединой указанного интервала. Затем про-
водим исследование функции f (x) на концах отрезков a, c		и c, b .

Выбирается тот отрезок, у которого значение функции на концах имеет противоположные знаки. Обозначим выбранный отрезок a1, b1 . Далее

аналогично выполняются следующие шаги итерационного процесса, в

результате которых последовательно формируются отрезки разбиения

a2 , b2

an , bn . При этом выполняется условие

bn an

0,5

bn 1

an 1

Процесс

продолжается до тех пор, пока не

выполнится условие

b a

. Точность принять равной 10 3 .

Задание 3

Сделать уточнение корней методом простой итерации.

Пусть корни уравнения f (x) 0 отделены и отрезок a, b

содер-

жит единственный корень уравнения. Для построения итерационной процедуры приведем уравнение (1) к следующему виду:

x (x) ,

(2)

где функция (x) является дифференцируемой на всем отрезке a, b , и для любого значения x такого, что x a, b , модуль производной

	. Графически решение уравнения (2) соответствует пересече-
(x) 1

нию двух линий – прямой y1 x и некоторой в общем случае кривой y2 (x) . Функцию (x) можно подобрать различным образом, в частности в виде

(x) x (x) f (x) ,

(3)

					1
где коэффициент (x) находится из условия (x)								, которое долж-
						f (x)
но выполняться для всех x , т. е.		x a, b					1. В простейшем

				(k, x)
случае выбирают (x) 0	1		. Последнее		условие гарантирует


	f (x0 )
сходимость итерационной последовательности					x1, x2 ,..., xn 1, xn к корню

x . Условием окончания итерационной процедуры будем считать вы-

полнение неравенства

(1 q) ,

(4)

n 1

где q max

(x)

Сделать уточнение корней методом хорд (X) или касательных (K)

(таблица) с заданной точностью 10 4 .

Таблица индивидуальных заданий по вариантам

Номер

Метод

Уравнение

варианта

Расчетная формула для уточнения корней в методе хорд имеет

следующий вид:

x0 f (xn ) xn f (x0 )

n 1

f (xn ) f (x0 )

Для метода касательных расчетная формула записывается следу-

ющим образом:

f (xn )

n 1

f (xn )

Значение x0 для метода хорд и начальная точка для метода касательных выбираются из условия одинакового знака функции и ее вто-

рой производной в этой точке, что определяется выполнением неравен-

ства f (x0 ) f (x0 ) 0 .

В результате выполнения итерационной процедуры с использованием приведенных формул может быть получена последовательность приближенных значений корня. Процесс вычислений заканчивается

		x	( 10 5 ). В каждом из рассмот-
при выполнении условия	x	x	( 10 5 ). В каждом из рассмот-
	n	n 1

ренных выше случаев требуется вывести на печать количество итераций, необходимых для достижения заданной точности.

Примерный вариант выполнения лабораторной работы № 1 на MathCad

Задание 1. Определение, построение таблиц значений и графиков функций и отделение корней уравнения y x 3 sin x 0, 25.

Отделяем корни графически. Для этого по графику функции, определяем приближенные значения аргумента x , при которых график пересекает линию y 0 (рисунок).

Как следует из рисунка, график функции три раза пересекает ли-

нию y 0 .	Приближенные значения корней составляют x1 2,2 ,
x2 0,1, x3	2,3 .

Задание 2. Вычисление корней методом половинного деления. Для нахождения первого корня задаем в соответствии с рисунком

интервал 2,5, 2 , который содержит корень x1 . Далее выполняем по-

следовательность операций, определенных заданием 1 лабораторной работы. Получаем последовательность значений:

		i 0	-2,125
		i 1	-2,1875
		i 2	-2,21875
		i 3	-2,203125
		i 4	-2,1953125
		i 5	-2,19140625
		i 6	-2,1894531255
x=		i 7	-2,1904296875
x=		i 8	-2,19091796875
		i 8	-2,19091796875
		i 9	-2,191162109375
		i 10	-2,1910400390625
		i 11	-2,19110107421875
		i 12	-2,191131591796875
		i 13	-2,19111633300778125
		i 14	-2,1911087036132812
		i 15	-2,1911048889160156
Для нахождения второго корня задаем в соответствии с рисунком
интервал	0,5, 0 , который содержит корень x2 . Далее выполняем по-

	i 0	-0,125
	i 1	-0,1875
	i 2	-0,15625
	i 3	-0,140625
	i 4	-0,1328125
	i 5	-0,12890625
	i 6	-0,126953125
x=	i 7	-0,1259765625
x=	i 8	-0,12548828125
	i 8	-0,12548828125
	i 9	-0,125732421875
	i 10	-0,1256103515625
	i 11	-0,12554931640625
	i 12	-0,125518798828125
	i 13	-0,1255035400390625
	i 14	-0,12549591064453125
	i 15	-0,12549209594726562

Для нахождения третьего корня задаем в соответствии с рисунком интервал 2,0, 2,5 , который содержит корень x3 . Далее выполняем по-

	i 0	2,375
	i 1	2,3125
	i 2	2,34375
	i 3	2,359375
	i 4	2,3671875
	i 5	2,36328125
	i 6	2,361328125
x=	i 7	2,3603515625
x=	i 8	2,36083984375
	i 8	2,36083984375
	i 9	2,361083984375
	i 10	2,3609619140625
	i 11	2,36102294921875
	i 12	2,361053466796875
	i 13	2,3610382080078125
	i 14	2,3610305786132812
	i 15	2,361034393310547

Задание 3. Решение с использованием операторов Given, Find. Вычисление корня x1 .

Задать начальное значение переменной x , например x 2,5 . Набрать ключевое слово Given. На следующей строке записать уравнение x 3 sin x 0, 25 0 , используя знак из опции «Булева алгебра». Ниже с использованием символа : определить оператор, например в виде F : Find (x) , и выполнить вычисление. Результат будет представлен в виде

F : Find (x) 2,191102158641231.

Вычисление корня x2 .

Задать начальное значение переменной x , например x 0,5 . Далее повторить выполнение всех операций. Результат будет представлен в виде

F : Find (x) 0,12549370076975586 .

Вычисление корня x3 .

Задать начальное значение переменной x , например x 1,5 . Далее повторить выполнение всех операций. Результат будет представлен в виде

F : Find (x) 2,361032528371076 .

Задание 4. Символьное решение.

Определить правую часть уравнения как функцию f (x) x 3 sin x 0, 25 . Вызвать на панели инструментов опцию «Символьные преобразования с ключевыми словами» и вызвать оператор

solve. Слева от оператора набрать f (x) . Провести вычисление. Результат будет представлен в виде f (x)solve 0,12549370076975586 .

Задание 5

5.1. Решение уравнения методом итераций

Задаем начальное значение переменной x , например x0 2,5 . Определяем цикл переменной x в виде i : 0,...,10 . Значения в последующих итерациях определяются в виде

		xi 1 : xi 0 xi		3 sin x(xi ) 0, 25 ,
где в простейшем случае 0				1	.

			1 3 cos(x )
				i
	Нахождение первого корня.
	Задаем начальное значение			переменной x , например x0 2,5 .
Определяем цикл переменной x				в виде i : 0,...,10 . Получаем следую-
щие значения:
		i 0		-2,5
		i 1		-2,2195231486397593
		i 2		-2,1963223954888482
		i 3		-2,192104070421848
		i 4		-2,1912959674142773
	x=	i 5		-2,191397049595025
		i 6		-2,191109434543963
		i 7		-2,191103568678981
		i 8		-2,191102431903273
		i 9		-2,1911022115988916
		i 10		-2,1911021689043286
	Нахождение второго корня. Задаем начальное значение перемен-
ной x , например		x0 0,5 . Далее повторяем все операции. Получаем
значения переменной x :

		i 0		-0,5
		i 1		-0,07845500449770815
		i 2		-0,13561715524872475
		i 3		-0,12337501838300889
		i 4		-0,1259401537446686
	x=	i 5		-0,12539975441324874
		i 6		-0,12551347558843193
		i 7		-0,125489538616165
		i 8		-0,1254945768207251
		i 9		-0,1254935163788699
		i 10		-0,12549373958030427

Нахождение третьего корня. Задаем начальное значение перемен-

ной x , например	x0 2,5.	Далее повторяем все операции. Получаем
значения переменной x :

	i 0		2,5
	i 1		2,3664337287336752
	i 2		2,36145549551998176
	i 3		2,3610662172725605
	i 4		2,3610352191507564
x=	i 5		2,36103274331328
	i 6		2,3610325455410415
	i 7		2,361032529742644
	i 8		2,3610325284806395
	i 9		2,361032528379828
	i 10		2,361032528371775

5.2. Решение уравнения методом хорд Нахождение первого корня.

	x	:	x0 (xi	3 sin(xi ) 0, 25) xi (x0 3 sin(x0 ) 0, 25)		.
	x	:				.
	i 1		(xi 3 sin(xi ) 0, 25) (x0 3 sin(x0 ) 0, 25)
			(xi 3 sin(xi ) 0, 25) (x0 3 sin(x0 ) 0, 25)
Получаемые значения переменной x :

			i 0		-2,5
			i 1		0
			i 2		-0,8870487883371184
			i 3		-6,904932451101041
			i 4		-1,555716403755966
x=			i 5		-2,0804576825020002
			i 6		-2,1777676128742627
			i 7		-2,189594290126664
			i 8		-2,1909329536186384
			i 9		-2,1910831878338706
			i 10		-2,1911000318931557

Нахождение второго корня. Задаем начальное значение переменной x , например x0 0,5 . Далее повторяем все операции. Получаем значения переменной x :

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]