Общая формула выбора приближения для метода хорд имеет вид:

Алгоритм метода хорд в среде Maxima выглядит следующим обра-

зом:

При помощи функции chords найдите корень заданной функции с точностью

=10–3, 10–5, 10–7, 10–9.

Концы интервала смены знака a и b должны быть заданы в начале программы или в вызове программы chords (здесь е =epsilon). Найдите корень с заданной точностью и заполните вторую строку табл.2.

Упражнение 3. Метод Ньютона (метод касательных).

Пусть задано уравнение вида y f (x) , которое вблизи некоторой точки a имеет корень x * , при котором f (x * ) 0 .

Пусть график этой функции имеет вид, показанный на рисунке 3.

8

y = f (x)

x* x0

Рис. 3. К методу касательных

В точке x a проводится касательная к графику функции y f (x) , которая пересекает ось x в точке x0 . Из определения производ-

ной функции в точке:

y f (x) , которая пересекает ось x в точке x1 :

Подобный процесс выполняется до тех пор, пока | f (xk ) | , где xk — k - ое приближение к корню; — наперед заданное малое число.

Общая формула выбора приближения для метода Ньютона имеет

вид:

9

На каждом шаге итерации производная определяется следующим образом:

где — малое число.

Алгоритм метода Ньютона в среде Maxima выглядит следующим об-

разом:

При помощи функции newton (a, ) найдите корень заданной функции с точностью

Результаты расчетов по трем методам должны быть сведены в табли-

цу 2.

Сделайте вывод о том, какой из изученных методов является наиболее быстродействующим, позволяющим за меньшее число итераций определить корень уравнения с заданной точностью. Укажите недостатки рассмотренных методов.

10

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дать определение трансцендентного уравнения. Привести примеры подобных уравнений.

2.Пояснить принцип итерационного метода расчета корней трансцендентных уравнений.

3. Метод бисекции: суть метода, его достоинства и недостатки. 4. Метод хорд: суть метода, его достоинства и недостатки.

5. Метод Ньютона: суть метода, его достоинства и недостатки.

6. Сравнение различных методов расчёта корней трансцендентных уравнений.

7. Дать комментарии к реализации трех методов в СКМ “ Maxima”.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

•Цель работы.

•Задание на работу в соответствии с номером бригады.

•График исследуемой функции.

•Две таблицы результатов расчета.

•Выводы по результатам расчета.

ЛИТЕРАТУРА

1.Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1988.

2.Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров.- М.: Наука, 1967.

3.Вержбицкий В.М. Численные методы.- М.: Высш. шк., 2001.

4.Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. М.: ФИЗМАТ-

ЛИТ, 2003.

11

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 Расчет дисперсионных характеристик плоского

трехслойного оптического волновода в программе Maxima

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: получение навыков расчета дисперсионных характеристик мод плоского трехслойного оптического волновода на основе численных методов поиска корней в программном пакете Maxima.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Дисперсионное уравнение для волноводных мод плоского трехслойного диэлектрического волновода. Подход геометрической оптики.

В лабораторной работе изучается методика расчета дисперсионных характеристик плоского трехслойного диэлектрического оптического волновода (световод показан на рис. 1).

Рис.1. Трехслойный диэлектрический волновод

Рассматриваемая структура состоит из трех диэлектрических слоев: волноведущей пленки с показателем преломления nf , покровного слоя (nc )

и подложки (ns ). Для устранения межмодовой дисперсии пленка может иметь плавно изменяющийся показатель преломления nf nf (x) . Согласно лучевой теории, в этом случае различные моды, имеющие неодинаковые фа-

12

зовые скорости будут испытывать различные по величине рефракционные искривления траектории луча. Для возможности канализации излучения в центральном слое необходимо выполнение условия: nf nc, ns . В этом

случае световая волна будет распространяться вдоль волноведущей пленки путем переотражений от границ раздела «пленка-покровный слой» и «плен- ка-подложка», где будет выполняться условие полного внутреннего отражения. Различные углы переотражений будут соответствовать различным типам собственных волн (модам). При этом необходимо выполнение условия фазового согласования:

— сдвиги фаз при отражении световой волны от покровного слоя и подложки соответственно, — индекс, определяющий порядковый номер моды.

В формуле (1):

— сдвиги фаз при отражении от границ раздела «пленка-покровный слой» и «пленка-подложка».

Из приведенного соотношения следует вывод, что в рассматриваемой световедущей структуре возможно распространение бесконечного числа мод, обладающих дискретными углами переотражения .

В интегральной оптике принято при построении дисперсионных характеристик переходить к безразмерным нормированным величинам, анало-

b N2 nc2 — нормированный эффективный волноводный показа- n2f ns2

тель преломления.

Для описания степени асимметрии показателей преломления подложки и покровного слоя вводят параметр асимметрии:

13