Упражнение 1. Метод бисекции (метод деления пополам).
Пусть задано уравнение вида y f (x) , которое на некотором интервале [ a, b ] имеет корень x * , при котором f (x * ) 0 .
Пусть график этой функции имеет вид, показанный на рисунке 1. y = f (x)
|
x1 |
|
x2 x |
0 |
b |
||
|
|
|
|
|
|||
a |
|
x* |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1. К методу бисекции
Если f (a)f (b) 0 , это означает, что на интервале [a,b] имеется ко-
рень x * . Метод бисекции заключается в следующем. Первое приближение выбирается в виде середины интервала [a,b] :
x0 a 2 b .
Если f (a)f (x0 ) 0 , то корень лежит в интервале [a, x0] , в противном случае в интервале [x0,b] . Для функции, показанной на рисунке 1 вы-
полняется первое условие, поэтому второе приближение выбирается в виде середины интервала [a, x0] :
x1 a 2x0 .
Если f (a)f (x1) 0 , то корень лежит в интервале [a, x1] , в противном случае в [x1, x0] . Для функции, показанной на рисунке 1 выполняется
второе условие, поэтому третье приближение выбирается в виде середины интервала [x1, x0] :
x2 x1 x0 . 2
4
Подобный процесс выполняется до тех пор, пока | f (xk ) | , где xk — k -ое приближение к корню; — наперед заданное малое число. Перед выполнением лабораторной работы необходимо:
•запустить графический интерфейс “ wxMaxima”;
•перейти в режим численных расчетов, ввести функцию f(x) согласно варианту, первоначальные значения a и b, а также точность расчета e (epsilon);
•в среде Maxima команда Shift – Enter после $ фиксирует оператор, применение Shift – Enter после ; фиксирует вычисление заданного оператора и вывод результата на экран.
Пример:
• построить график функции f(x):
•подобрать значения a и b таким образом, чтобы интервал [a,b] имел один корень;
•задать значение точности eps = 10-3(в программе epsilon:10^(-3)).
5
Реализация алгоритма метода бисекции в среде Maxima приведена ниже. В тексте программы введена дополнительная константа с , показывающая число итераций, необходимое число итераций, необходимое для достижения заданной точности ( в табл.2 обозначено к ).
При помощи функции bisect найдите корень заданной функции и число итераций с точностью =10–3, 10–5, 10–7, 10–9.
Концы интервала смены знака a , b и могут быть заданы в начале программы или в операторе bisect. Заполните первую строку табл.2.
Упражнение 2. Метод хорд.
Пусть задано уравнение вида y f (x) , которое на некотором интервале [a,b] имеет корень x * , при котором f (x * ) 0 .
Пусть график этой функции имеет вид, показанный на рисунке 2.
6
|
y = f (x) |
|
|||
|
|
||||
|
A |
D |
|
||
|
|
|
x* |
|
|
|
|
|
|
x0 |
b |
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2. К методу хорд
Если f (a)f (b) 0 , это означает, что на интервале [a,b] имеется ко-
рень x * . Метод хорд заключается в следующем. Проводим хорду AB из точки (a, f (a)) в точку (b, f (b)) и в качестве первого приближения выбираем
точку x0 :
x0 a f (b) f (a) . b a
Если f (a)f (x0 ) 0 , то корень лежит в интервале [a, x0] , в противном случае в [x0,b] . Для функции, показанной на рисунке 2 выполняется первое условие, поэтому проводим хорду AC из точки (a, f (a)) в точку (x0, f (x0 )) и в качестве первого приближения выбираем точку x1 :
x1 a f (xx0 ) af (a) .
0
Если f (a)f (x1) 0 , то корень лежит в интервале [a, x1] , в противном случае в [x1, x0] . Для функции, показанной на рисунке 2 выполняется второе условие, поэтому проводим хорду AD из точки (x0, f (x0 )) в точку (x1, f (x1)) и в качестве первого приближения выбираем точку x2 :
x2 x1 f (xx1) xf (x0 ) .
1 0
Подобный процесс выполняется до тех пор, пока | f (xk ) | , где xk — k - ое приближение к корню; — наперед заданное малое число.
7