Теплофизика. Учебное пособие

теплоотдачи с коэффициентом теплопроводности жидкости, разностью температур жидкости и поверхности и градиентом температуры жидкости на поверхности. Для решения дифференциального уравнения конвективной теплоотдачи необходимо знать пространственное распределение температуры жидкости в тонком слое вблизи поверхности. В основу вывода этого уравнения положено использование закона Ньютона–Рихмана для конвективной теплоотдачи и закона Фурье для переноса теплоты теплопроводностью через тонкий слой жидкости вблизи поверхности.

Дифференциальное уравнение энергии или уравнение Фурье– Кирхгоффа (Fourier-Kirchhoff differential equation) – уравнение,

устанавливающее связь между временными и пространственными изменениями температуры движущейся жидкости в любой точке потока. Уравнение описывает распределение температуры в движущейся жидкости и его изменение во времени и используется для изучения процесса переноса теплоты в движущейся жидкости. Оно, в частности, утверждает, что температурное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих вектора скорости течения жидкости в направлении координатных осей. Рассматриваемое уравнение получено при условии отсутствия внутренних источников (стоков) теплоты. Согласно уравнению Фурье–Кирхгоффа, полное изменение температуры жидкости складывается из изменения температуры жидкости во времени в фиксированной точке потока (локальная составляющая) и изменения температуры при переходе от одной точки к другой (конвективная составляющая).

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости или уравнения Навье–Стокса (equations of flow or Navier-Stokes differential equations) – уравнения, описывающие изменение скорости движения жидкости во времени и в пространстве; выводится путем анализа и описания действия следующих сил на элементарный объем движущейся жидкости: 1) массовой силы – силы тяжести, действующей на все частицы объема и 2) двух поверхностных сил, действующих на поверхность объема, а именно силы давления и силы вязкостного трения. Сила давления обусловлена действием окружающей жидкости на выделенный объем и направлена перпендикулярно его поверхности; сила трения направлена по касательной к поверхности объема. Для трехмерного течения, когда скорость изменяется по всем трем координатным направлениям, действие всех сил также описывается по трем направлениям. Уравнения Навье–Стокса полу-

41

чены для случая несжимаемой жидкости и без учета зависимости физических свойств, в частности, плотности жидкости от температуры. Каждое слагаемое уравнений представляет собой соответствующую силу, отнесенную к единице объема жидкости. Уравнения На- вье–Стокса описывают тот факт, что общее изменение скорости движения жидкости складывается из изменения ее во времени в фиксированной точке потока (локальная составляющая) и изменения скорости при переходе от одной точки потока к другой (конвективная составляющая). Они записываются как в векторной форме, так и форме проекций этого вектора на три координатные оси, т.е. в скалярной форме и справедливы как для ламинарного, так и для турбулентного движения.

Уравнение сплошности (equation of continuity) – уравнение, вы-

ражающее по существу закон сохранения массы для движущейся однородной жидкости. Уравнение утверждает, что для сжимаемой жидкости разность между массой жидкости, втекающей в выделенный объем по всем трем координатным направлениям, и массой жидкости, вытекающей из объема по этим же координатным направлениям за единицу времени, объясняется изменением плотности жидкости. Для несжимаемой жидкости (плотность жидкости есть величина постоянная) указанная разность масс втекающей и вытекающей жидкости равна нулю.

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

(differential equations of convection) – система дифференциальных уравнений, полностью описывающая математическую постановку задачи конвективного теплообмена при движении однородной вязкой газообразной или капельной жидкости. Эта система состоит из следующих уравнений: дифференциальное уравнение конвективной теплоотдачи, дифференциальное уравнение энергии, дифференциальные уравнения движения и дифференциальное уравнение сплошности. Система названных уравнений является замкнутой, позволяет рассчитать распределение температуры и скорости движения жидкости в пространстве и изменение этих распределений во времени, рассчитать давление в любой точке потока и в качестве конечной цели – рассчитать коэффициент конвективной теплоотдачи. Для решения конкретной задачи необходимо указанную систему дополнить условиями однозначности. Аналитическое решение системы возможно только для ограниченного круга простейших задач, в остальных случаях используются приближенные методы решения.

42

Теория подобия (the theory of similarity) – теоретическая основа постановки и проведения экспериментального исследования какоголибо физического явления и рассмотрение результатов этого эксперимента на подобные явления. Необходимой предпосылкой для использования теории подобия является математическое описание изучаемого процесса. Эта теория позволяет: 1) обобщить опытные данные, т.е. распространить результаты единичного опыта, но не на все условия, а только для области, ограниченной условиями подобия; 2) позволяет получить из дифференциальных уравнений, минуя их интегрирование, числа подобия и, используя опытные данные, установить уравнения подобия, которые справедливы для всех подобных явлений. С помощью теории подобия размерные физические величины объединяются в безразмерные комплексы, которые рассматриваются как новые величины, при этом число обобщенных величин, т.е. комплексов меньше, чем число физических величин, характеризующих данное физическое явление. Последнее обстоятельство упрощает исследование физических процессов и позволяет получить более простые уравнения.

Подобие физических явлений (similarity of physical phenomena) –

понятие, содержащее следующие положения: 1) рассматриваются явления одного и того же рода, которые качественно одинаковы и описываются одинаковыми как по форме, так и по физическому содержанию дифференциальными уравнениями; 2) обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть геометрическое подобие. Два явления одного и того же рода не могут быть подобными, если они протекают в геометрически неподобных системах; 3) при анализе подобных явлений сопоставляются между собой только однородные величины, т.е. величины, имеющие один и тот же физический смысл и одинаковую размерность; 4) подобие двух физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих рассматриваемого явления, т.е. в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина первого явления пропорциональна однородной с ней величиной второго явления.

Константа подобия (the similarity constant; the factor of the similarity transformation) – безразмерная постоянная величина, связывающая между собой однородные (или одноименные) величины двух качественно однородных физических явлений, и не зависящая ни от координат, ни от времени. Для каждой физической величины существует своя константа подобия и по значению они не равны друг

43

другу. При организации эксперимента нельзя произвольным образом назначать (выбирать) константы подобия – между ними существуют строго определенные соотношения. Полный перечень констант подобия определяется только математическим описанием физического явления или процесса. Если все они равны единице, то процессы являются тождественными. Подобные процессы можно рассматривать как один и тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем для каждой физической величины существует свой масштаб. Условием, ограничивающим произвольный выбор констант подобия, является равенство единице комплекса констант подобия величин, входящих в число подобия.

Первая теорема подобия (the first theorem of similarity) – уста-

навливает связь между константами подобия и позволяет выявить числа подобия. Эта теорема гласит, что подобные между собой процессы имеют одинаковые числа подобия. Первая теорема подобия отвечает на вопрос: какие величины надо измерять при проведении опыта и утверждает, что в опыте надо измерять все величины, входящие в числа подобия изучаемого явления.

Вторая теорема подобия (the second theorem of similarity) –

устанавливает форму обработки результатов эксперимента и утверждает, что зависимость между переменными размерными величинами, характеризующими данное явление, может быть представлена в виде зависимости между безразмерными комплексами этих физических величин, т.е. в виде зависимости между числами подобия; эти зависимости называются уравнениями подобия. Уравнения подобия для подобных явлений одинаковы, так как для подобных явлений числа подобия одинаковы.

Третья теорема подобия (the third theorem of similarity) – тео-

рема, устанавливающая необходимые и достаточные условия, при которых два явления одной и той же физической природы являются подобными: подобными являются такие явления, у которых подобны условия однозначности и равны определяющие числа подобия, т.е. равны числа подобия, составленные из физических величин, входящих в условия однозначности.

Число подобия (the dimensionless number) – безразмерный ком-

плекс, составленный из физических величин, характеризующих ка- кое-либо физическое явление (вынужденное или свободное движение жидкости, процесс переноса теплоты или массы и др.). Для по-

44

лучения чисел подобия необходимо знать физику явления и иметь его математическое описание в форме дифференциальных уравнений. Различают определяющие и определяемые числа подобия. Теория подобия оперирует уравнениями подобия, т.е. уравнениями, устанавливающими связь между числами подобия. Для подобных процессов числа подобия имеют одно и то же значение.

Определяющие числа подобия или критерии подобия (reference dimensionless groups) – числа подобия, составленные только из независимых переменных или постоянных физических величин, входящих в условия однозначности. Равенство определяющих чисел подобия являетсянеобходимымусловием подобиядвухфизических явлений.

Определяемые числа подобия (nonreference dimensionless groups) – числа подобия, составленные из физических величин, как входящих в условия однозначности, так и не входящих в них. Для подобных процессов определяемые числа подобия численно одинаковы. В определяемые числа подобия входят искомые зависимые переменные величины.

Уравнение подобия (generalised equation, criterial equation) –

уравнение, устанавливающее связь между безразмерными комплексами физических величин, называемыми числами подобия. Уравнение подобия представляет обобщенную форму зависимости, справедливую только для всех подобных явлений или процессов. Если условия подобия двух процессов не выполняются, то уравнениями подобия пользоваться нельзя. Теория подобия позволяет обобщить результаты опыта и распространить их только на подобные явления. Уравнение подобия обычно записывается в виде зависимости определяющего числа подобия (критерия подобия) от определяемых. Уравнения подобия можно перезаписать и в виде уравнений, связывающих размерные физические величины, путем их подстановки в числа подобия.

Аналогичные явления (analogous phenomena) – физические яв-

ления (или процессы), которые описываются одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями, но в отличие от подобных явлений различны по своему физическому содержанию. Два аналогичных явления принадлежат к различным классам явлений (например, процессы теплопроводности и электропроводности есть аналогичные явления).

45

Общие условия подобия физических процессов (general conditions of similarity of physical processes) – устанавливают следующие правила, при выполнении которых физические явления (процессы) будут подобны: 1) подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, т.е. должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями; 2) условия однозначности, дополняющие дифференциальные уравнения в целях выделения рассматриваемого процесса из бесконечного множества процессов этой же физической природы, должны быть одинаковы во всем, кроме численных значений постоянных, содержащихся в этих условиях; 3) одноименные определяющие критерии подобных процессов должны иметь одинаковое численное значение. Перечисленные три условия подобия являются содержанием теоремы М.В. Кирпичева и А.А. Гухмана, сформулированной ими в 1931 г. Второе условие подобия требуют, чтобы выделенное условиями однозначности конкретное явление принадлежало к одной и той же группе явлений. Группой явлений при этом называется совокупность физических процессов, которые описываются одинаковыми по форме записи и содержанию дифференциальными уравнениями и одинаковыми по форме записи и содержанию размерными условиями однозначности.

Метод анализа размерности (method of dimensional analysis) –

метод, позволяющий сформулировать критерии подобия (числа подобия) в том случае, когда отсутствует математическое описание ка- кого-либо физического явления в форме дифференциальных уравнений. Для реализации этого метода необходимо знать полный перечень размерных физических величин, характеризующих данное физическое явление, а также физических величин, входящих в условия однозначности. Этот перечень определяет список определяющих и определяемых чисел подобия. Все физические величины делятся на первичные и вторичные. Первичные величины характеризуют процесс непосредственно, без их связи с другими величинами и их численные значения могут быть получены непосредственным измерением (температура, длина, время, масса и др.), при этом численное значение первичной величины зависит от выбора единицы измерения. Вторичные величины являются производными от первичных, их численные значения определяются косвенным путем; они изменяются при изменении единицы измерений первичных. Вторичные величины определяются уравнениями связи первичных (например, ско-

46

рость, ускорение, плотность, вязкость, коэффициент температуропроводности и др.).

π-теорема (π-theorem) – теорема, с помощью которой проверяется правильность приведения математической формулировки (математического описания) задачи к описанию в безразмерном обобщенном виде и определяет число критериев еще до приведения уравнений к безразмерному виду. Формулировка π-теоремы сводится к следующему: физическое уравнение, содержащее n ≥ 2 размерных физических величин, из которых m ≥ 1 величин имеют независимую размерность (т.е. являются первичными величинами), после его приведения к безразмерному виду будет содержать n–m безразмерных величин (критериев). Использование π-теоремы позволяет правильно оценить количество безразмерных комплексов, которые получаются в результате группирования размерных физических величин, входящих в дифференциальные уравнения и условия однозначности, в безразмерные комплексы. Само приведение математического описания какого-либо процесса, включающего дифференциальные уравнения и условия однозначности, к описанию в форме уравнений, связывающих безразмерные комплексы, может проводиться, например, методом масштабных преобразований. Если математическое описание процесса отсутствует, то может быть использован метод анализа размерностей – для этого необходимо знать все физические величины, характеризующие данный процесс и, кроме этого, величины, входящие в условия однозначности.

Интегральное уравнение теплового потока (integral equation of heat flow) – уравнение, используемое для приближенного расчета конвективной теплоотдачи без решения дифференциального уравнения энергии при ламинарном и турбулентном режимах течения жидкости в гидродинамическом пограничном слое. Для вывода этого уравнения используется приближенное описание распределения температуры по толщине пограничного слоя и закон сохранения энергии. Уравнение называется интегральным потому, что скорость течения жидкости и температура ее изменяются по толщине гидродинамического и теплового пограничных слоев соответственно и, следовательно, для определения потоков массы жидкости и теплоты необходимо использовать операцию интегрирования плотности потоков массы и теплоты в пределах толщины гидродинамического пограничного слоя. Задавая приближенное описание распределения температуры жидкости по толщине пограничного слоя, можно, ис-

47

пользуя уравнение теплового потока, рассчитать толщину теплового пограничного слоя, а затем и коэффициент конвективной теплоотдачи. Впервые полученное Г.Н. Кружилиным интегральное уравнение теплового потока утверждает: если вдоль плоской поверхности движется жидкость, а температуры жидкости и поверхности различны, то изменение теплового потока в направлении движения жидкости, отнесенное к единице площади поверхности и обусловленное процессом конвективной теплоотдачи на границе «поверхность– жидкость», равно количеству теплоты, отдаваемому (принимаемому) движущейся жидкостью единице площади поверхности в единицу времени. Уравнение теплового потока выведено при условии, что толщина теплового пограничного слоя не превышает толщину гидродинамического и физические свойства жидкости не зависят от температуры. При решении уравнения теплового потока надо знать и распределение скорости по толщине гидродинамического пограничного слоя: для ламинарного пограничного слоя это уравнение решается относительно просто, для турбулентного – более сложно ввиду большей сложности распределения скорости и температуры по его толщине.

Гидродинамическая теория теплообмена (hydrodynamic theory of heat transfer) – теория, основанная на аналогии двух процессов – процесса турбулентного переноса количества движения и теплоты в турбулентной зоне турбулентного пограничного слоя, впервые обнаруженной О. Рейнольдсом в 1871 г. Представление о единстве процессов конвективного переноса теплоты и механической энергии позволяет установить связь между теплоотдачей и сопротивлением трения и рассчитывать процесс конвективной теплоотдачи на основе расчетов сопротивления вязкостного трения при турбулентном режиме течения жидкости. Аналогия, сформулированная Рейнольдсом, характерна для турбулентной зоны турбулентного пограничного слоя и утверждает, что для этой зоны потока турбулентный перенос теплоты пропорционален турбулентному касательному напряжению. Согласно гидродинамической теории конвективного теплообмена интенсивность конвективной теплоотдачи на поверхности тела пропорциональна касательным напряжениям трения на поверхности. В свою очередь, интенсивность конвективной теплоотдачи характеризуется плотностью теплового потока на поверхности или коэффициентом конвективной теплоотдачи. Определив экспериментальным или теоретическим путем касательное напряжение трения на поверх-

48

ности при движении вязкой жидкости относительно нее, можно рассчитать и характеристики конвективной теплоотдачи. Указанная теория дает достаточно точные решения при течении газообразной жидкости; для капельных жидкостей, жидких металлических расплавов ее использование может привести к существенным погрешностям расчета, например, коэффициента конвективной теплоотдачи вследствие того, что такие жидкости имеют более высокие коэффициенты теплопроводности по сравнению с газами и, следовательно, невозможно пренебрегать переносом теплоты теплопроводностью в турбулентной зоне турбулентного пограничного слоя.

Уравнение Польгаузена (Pohlhausen equation) – частный случай уравнения энергии, полученное для стационарного течения несжимаемой жидкости вдоль плоской поверхности при ламинарном режиме внутри гидродинамического пограничного слоя. Уравнение Польгаузена позволяет рассчитать изменение температуры жидкости в пограничном слое (при известном распределении скорости по его толщине) и, следовательно, коэффициент конвективной теплоотдачи. Последний рассчитывается с использованием дифференциального уравнения конвективной теплоотдачи.

Турбулентная теплопроводность (turbulent conduction) – про-

цесс переноса теплоты, имеющий место в случае турбулентного режима движения жидкости; осуществляется за счет перемещения турбулентных молей жидкости в направлении, перпендикулярном направлению потока за счет турбулентной пульсации скорости. Интенсивность турбулентной теплопроводности в поперечном направлении движения может многократно превосходить интенсивность переноса теплоты молекулярной теплопроводностью, который имеет место в случае ламинарного пограничного слоя или в вязком подслое турбулентного пограничного слоя. При отсутствии разности температур в различных точках потока жидкости турбулентная теплопроводность отсутствует, хотя турбулентный механизм переноса массы и механической энергии имеет место.

Пульсация скорости (fluctuation of velocity) – отклонение мгно-

венного значения скорости движения жидкости от среднего во времени в фиксированной точке потока. Пульсация скорости приводит к переносу механической энергии жидкости, а при наличии разности температур, т.е. температурного поля, в потоке жидкости – к переносу теплоты. Механизм переноса теплоты конвекцией, связанный с

49

пульсациями скорости, называется турбулентной теплопроводностью. Пульсационный механизм переноса массы в виде турбулентных молей (макрочастиц) при наличии температурного поля приводит к пульсациям температуры движущейся жидкости.

2.4. Теплообмен излучением

Теплообмен излучением (thermal radiation, radiant heat exchange) – процесс переноса энергии в пространстве в форме энергии электромагнитных волн. В основе теории теплообмена излучением лежит научное утверждение о том, что все реальные тела, независимо от их агрегатного состояния, имеющие температуру выше абсолютного нуля, излучают энергию. Суммарный процесс переноса энергии от одного тела к другому складывается из трех элементарных процессов: 1) превращение внутренней энергии одного тела в энергию электромагнитных волн; 2) перенос энергии в пространстве

вформе энергии электромагнитных волн; 3) превращение части энергии электромагнитных волн во внутреннюю энергию при взаимодействии волн с веществом другого тела. Теплообмен излучением реализуется тогда, когда два тела разделены в пространстве; при их непосредственном контакте теплообмен осуществляется другим механизмом – теплопроводностью. Теплообмен излучением между двумя телами определяется разностью температур этих тел, физическими свойствами среды их разделяющей, радиационными свойствами поверхностей тел, формой, размером поверхностей и их взаимных расположением относительно друг друга. Источником и причиной собственного излучения тел является наличие заряженных материальных частиц–ионов и электронов и их поведение в веществе тела. Теплообмен излучением в системе тел имеет место и тогда, когда температуры всех тел данной системы одинаковы. Природа всех видов электромагнитного излучения одинакова, отличие заключается

вдлине волны излучения или частоте колебаний электромагнитного поля. В технических устройствах диапазон длины волны излучения наблюдается в интервале от 0,5 до 800 мкм; излучение на этих длинах волн принято считать тепловым излучением. В процессах теплообмена излучением между твердыми и жидкими телами участвуют тонкие поверхностные слои вещества от одного микрометра до одного миллиметра; газы излучают и поглощают энергию всем объемом. Излучению свойственен двойственный характер – волновой и корпускулярный. Инженерные методы расчета теплообмена излучением,

50