Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 2. Оценивание результатов геодезических измерений и их погрешностей на основе вероятнос

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

ФГБОУ ВО «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. ИМПЕРАТОРА ПЕТРА I»

В.Д. Попело М.В. Ванеева

Теория математической обработки геодезических измерений

Часть 2

Оценивание результатов геодезических измерений и их погрешностей на основе вероятностных представлений

Учебное пособие

Воронеж

2015

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного агроуниверситета

УДК 528(075) ББК 26.1я7 П57

Рецензенты:

начальник кафедры технических гидрометеорологических средств и средств воздушной разведки ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), доктор технических наук, доцент И.Н. Ищук;

профессор кафедры математических методов исследования операций Воронежского государственного университета, доктор географических наук, доцент В.М. Умывакин

Попело В.Д.

П57 Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 2. Оценивание результатов геодезических измерений и их погрешностей на основе вероятностных представлений: учебное пособие / В.Д. Попело, М.В. Ванеева. – Воронеж :

ВГАУ, 2015. – 138 с.

Учебное пособие разработано с учетом требований государст- венного образовательного стандарта по дисциплине «Теория матема- тической обработки геодезических измерений» для студентов 2 курса очного и заочного отделения, обучающихся по направлению подго- товки 21.03.02 «Землеустройство и кадастры» (уровень бакалавриата).

Во второй части пособия приведены базовые сведения о сущности и основных приемах обработки результатов геодезических измерений, опирающихся на идеи вероятностного (статистического) подхода. Рассмотрены процедуры формирования эмпирических законов рас- пределения результатов измерений, сущность и основные особенно-

сти обработки прямых и косвенных равноточных и неравноточных измерений величин, процедуры совместной обработки результатов измерений нескольких величин, связанных функциональной зависи- мостью.

Ил. 16. Табл. 7. Библиогр.: 52 назв.

©Попело В.Д, Ванеева М.В., 2015

©ФГБОУ ВО Воронежский ГАУ, 2015

2

3

4

Предисловие

Учебное пособие разработано с учетом требований государ- ственного образовательного стандарта по дисциплине «Теория математической обработки геодезических измерений» и состоит из трех частей:

Часть 1. Математические и метрологические основы обра- ботки геодезических измерений. Оценивание результатов изме- рений с позиций детерминированного подхода.

Часть 2. Оценивание результатов геодезических измерений и их погрешностей на основе вероятностных представлений.

Часть 3. Методы уравнивания геодезических построений. Данное издание представляет собой вторую часть этого по-

собия, в котором приведены базовые сведения о сущности и ос- новных приемах обработки результатов геодезических измере- ний, опирающихся на идеи вероятностного (статистического) подхода. Рассмотрены процедуры формирования эмпирических законов распределения результатов измерений, сущность и ос- новные особенности обработки прямых и косвенных равноточ- ных и наравноточных измерений величин, процедуры совместной обработки результатов измерений нескольких величин, связан- ных функциональной зависимостью. Материал учебного пособия разделен на главы, каждая из которых связана с соответствующей темой лекционного курса.

Книга предназначена для студентов, изучающих дисциплину «Теория математической обработки геодезических измерений», а ее содержание апробировано в Воронежском государственном аг- рарном университете имени Петра I при подготовке бакалавров по направлениям 21.03.02 «Землеустройство и кадастры».

В результате изучения представленного в пособии материа- ла у обучающихся формируются следующие компетенции:

-способность к самоорганизации и самообразованию (ОК-7);

-способность осуществлять поиск, хранение, обработку и анализ информации из различных источников и баз данных, представ- лять ее в требуемом формате с использованием информацион- ных, компьютерных и сетевых технологий (ОПК-1);

-способность использовать знание математических законов для обработки землеустроительной и иной информации (ПК-13).

5

Введение.

Сущность вероятностного (статистического) подхода к обработке результатов многократных измерений

Рассмотрим существенные особенности вероятностного (ста- тистического) подхода к обработке результатов на примере мно-

гократных прямых измерений некоторой физической величины (расстояния, угла или др.). В дальнейшем принципы статистиче- ского оценивания результатов будут распространены и на ситуа- ции косвенных, а также совокупных и совместных измерений.

Напомним, что прямым называют измерение, при котором искомое значение физической величины X получают непосред- ственно, например, с помощью отсчетного устройства измери- тельного прибора. Результатом измерения величины X является

~

оценка её размера X в соответствующих единицах:

~ = ~

X x[X ],

где ~x – числовое значение величины X , отличное от истинного числового значения x вследствие обязательного присутствия погрешности в полученном результате, [X ] – единица измеряемой

величины. Будем далее рассматривать безразмерные оценки чи- слового значения измеряемой величины, имея которые, уже легко получить окончательный результат путем приписывания число- вому значению ~x размерности единицы измеряемой величины. Соответственно и вместо абсолютной погрешности DX , выра- женной в единицах измеряемой величины, будем рассматривать

ее безразмерное числовое значение

e = X /[X ].

Пусть x1 , x2 , …, xn – результаты n измерений истинного числового значения x неизвестной величины X ; e1, e2 , …, en –

неизвестные числовые значения погрешности измерений. Слу- чайный характер погрешностей приводит к тому, что в каждом отдельном измерении погрешность имеет свое собственное зна-

чение ei ¹ ej , где i =1, 2,...,n; j = 1, 2,...,n ; i ¹ j . Тогда связь меж- ду результатами отдельных измерений и соответствующими по- грешностями описывается следующей системой уравнений, кото-

рую часто называют фундаментальной системой условных уравнений:

6

ì x1 = x + e1 ïïx2 = x + e2

ï ...............

íï xi = x + ei

ï

ïîxn = x + en

Особенностью данной системы уравнений является то, что

число неизвестных x , e1 , e2 , …, en всегда превышает число не-

зависимых уравнений, которые могут быть построены по опыт- ным данным. Подобные системы уравнений называют недоопределенными. Недоопределенная фундаментальная система не мо- жет быть разрешена формально, а значения неизвестных x , e1, e2 ,

…, en – вычислены точно. Это приводит к необходимости поста- новки и решения задачи построения оценки ~x величины x по результатам многократных измерений {xi }1n . Эта оценка в практи-

чески значимых случаях только приближенно соответствует ис- тинному числовому значению измеряемой величины ( ~x ≈ x). Од- нако в тех случаях, когда при обработке полученных данных пра-

вильно используется доступная исследователю информация об измеряемой величине и выбран наилучший (оптимальный) алго- ритм построения оценки, степень этого приближения может быть достаточно высока. Именно это обстоятельство придает глубокий практический смысл измерениям, делая их важнейшим инстру- ментом познания окружающего мира. Поиски решения задачи оценивания могут осуществляться с позиций различных подхо- дов. Ранее (в первой части учебного пособия) было показано, что

в рамках детерминированного подхода для построения оценки измеряемой величины по результатам многократных измерений

{xi }1n требуется привлечение внешнего (не связанного с эмпири-

ческими данными) критерия, определяющего алгоритм (прави- ло) построения оценки. Это позволяло свести задачу оценивания к детерминированной задаче аппроксимации, состоящей в том, что требуется найти точку ~x (оценку) на числовой оси действи- тельных чисел (представляющей область существования значе-

7

ний величины x ), наименее удаленную от точек x1 , x2 , ..., xn

численных значений результатов измерений. Меру удаленности оценки от измеренных значений, наиболее удачную с точки зре- ния исследователя, и характеризует используемый критерий

F(~x, x1, x2 ,..., xn ). Оценку же строят в соответствие с условием

~x = arg min F(~x, x1, x2 ,..., xn ),

~Ω x

где множество Ω = [xmin , xmax ], а xmin , xmax – минимальное и максимальное значения результатов измерения, i = 1, 2, ..., n ,

Другим подходом, получившим в настоящее время чрезвы- чайно широкое распространение, является вероятностный (статистический) подход к оцениванию результатов измерений.

В соответствии с этим подходом случайный характер по- грешностей измерений приводит к тому, что измеренное значе- ние xi может рассматриваться как случайная величина. Если та-

ких измерений провести очень много, для непрерывной случай- ной величины x количество реализаций n → ∞ , то случайный

характер результатов измерений уступит место статистической закономерности. Такую закономерность отражает детерминиро- ванная функциональная зависимость, устанавливающая связь между возможными значениями случайной величины и их веро- ятностями, – закон распределения случайной величины. Одной из

форм закона распределения выступает плотность распределения вероятностей p( x ). Напомним, что эта функция позволяет

определить вероятность того, что измеренное значение xi нахо-

дится в интервале значений [x, x + δx], как

x+δx

P(x < xi < x + δx) = ò p(x)dx ≈ p(xi )δx .

x

Закон распределения является полной и исчерпывающей ха- рактеристикой случайной величины, в частности, результатов измерений. Если точно известен закон распределения xi , то мож-

но считать, что известно истинное значение измеряемой величи- ны. Обычно оно связано с одним из параметров положения за- кона распределения. Чаще всего с математическим ожидани-

ем m( x ) или другим центральным моментом m(xk ). Для неко-

8

торых распределений истинное значение может быть связано с непараметрическими характеристиками положения: модой, медианой. Понятно, что точное знание закона распределения требу- ет проведения бесконечного числа измерений в «неизменных» условиях. Такой бесконечный ансамбль результатов измерений называют генеральной совокупностью. Понятно, что генераль-

ные совокупности результатов измерений физической величины возможны лишь теоретически. Однако их однозначная связь с за-

коном распределения делает это понятие чрезвычайно важным для теории обработки результатов измерений. Любая конечная совокупность результатов измерений объемом n ³1 рассматрива- ется как выборка из генеральной совокупности. Тогда задача по- строения оценки числового значения измеряемой величины рас- сматривается как задача оценивания по выборке конечного объе-

ма параметра статистического распределения для генеральной совокупности. Очевидно, что эта задача, как и задача оценивания с позиций детерминированного подхода, не может быть решена точно. Однако вероятностный (статистический) подход обладает неоспоримым преимуществом. Помимо построения оценки ис- тинного числового значения измеряемой величины в рамках это- го подхода удается определить и показатели качества этой оцен- ки, отражающие степень близости параметра и его оценки. Так как получаемые по выборке конечного объема оценки парамет-

ров сами являются случайными величинами со своими законами распределения, то параметры этих законов могут служить харак- теристиками качества получаемых оценок, в частности, их сме- щения и рассеяния относительно истинного значения.

Таким образом, особенностью обработки результатов измере- ний и построения оценок числового значения измеряемой величи- ны в рамках вероятностного (статистического) подхода является необходимость знания закона распределения результатов измере- ний. Это обстоятельство, с одной стороны, подчеркивает практиче- скую важность процедур, направленных на установление с той или иной степенью приближения вида закона распределения данных, получаемых в ходе измерений, а с другой стороны, подтверждает принципиальную необходимость привлечения в процессе оценива- ния информации о законе распределения, выходящей за пределы опыта и являющейся результатом теоретических построений.

9

Глава 1 Эмпирический закон распределения результатов измерений

§ 1.1 Представление результатов многократных измерений в виде вариационного ряда

Обычно полученные результаты многократных измерений размера определенной физической величины (например, расстоя-

ния или угла) представляют собой множество чисел {xi }1n , отли-

чающихся своими значениями. Конечное число результатов из-

мерений позволяет представить их в виде реализаций дискретной случайной величины, которую часто называют выборочной слу-

чайной величиной. Для того чтобы данные {xi }1n могли быть ис-

пользованы для выявления статистических закономерностей в полученных результатах, а впоследствии – для построения оцен- ки измеряемой величины, эти данные подвергают предваритель- ной обработке, первым этапом которой является ранжирование.

Ранжированием данных измерений называют операцию, за- ключающуюся в том, что полученные случайные значения xi ,

i = 1, n располагают в порядке возрастания (неубывания). Для

этого перенумеровывают данные {xi }1n таким образом, чтобы вы-

полнялось условие

x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xi ≤ ... ≤ xn .

После ранжирования данных их удобно объединить в груп- пы так, чтобы в каждой отдельной группе значения результатов измерений были одинаковы. Тогда ранжированный ряд результа- тов может быть представлен в следующем виде:

x1 = x2 = ... = xk < xk +1 = ... = xm < xm+1 < xm+2 < ... < xp+1 = ... = xn .

Очевидно, что в каждую группу может входить один или несколько результатов измерений. Чем точнее измерительный прибор и совершеннее его отсчетное устройство, тем реже будут появляться одинаковые результаты измерений. И наоборот. Фак- тически конечная разрешающая способность отсчетного устрой- ства и округление результатов в процессе записи приводят к то- му, что результаты измерений непрерывной величины (например, расстояния или угла) приобретают свойства реализации дискрет-

10