Теоретические основы электротехники. Электрические и магнитные цепи постоянного тока. Учебное пособие

1.3.1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ КИРХГОФА К РАСЧЕТУ СКОЛЬ УГОДНО СЛОЖНОЙ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Можно показать, что для любой электрической цепи, содержащей m ветвей и n узлов, на основании двух законов Кирхгофа представляется возможным составить полную систему уравнений, включающую в себя m неизвестных токов, и разрешить ее относительно этих

токов.

В частности с помощью 1-го закона Кирхгофа удается составить n 1 уравнений и с помощью 2-го закона Кирхгофа m n 1 незави-

симых контурных уравнений. Таким образом, уравнений можно составить столько, сколько неизвестных токов в исследуемой цепи, т. е. n 1 m n 1 m .

При непосредственном применении законов Кирхгофа следует придерживаться следующего порядка.

1. Произвольно задаться направлением токов во всех m ветвях и далее для n 1 узлов этой цепи записать уравнения на основании 1-го закона Кирхгофа.

2. Выбрать m (n 1) независимых контуров в этой цепи, задаться

направлением обхода этих контуров и для каждого из них составить уравнения на основании 2-го закона Кирхгофа.

3. Из составленной по п. 1 и 2 системы уравнений найти неизвестные токи.

1.3.2. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ (МКТ)

Метод предложен Д.К. Максвеллом. Расчет токов в электрической цепи упростится, если в полной системе уравнений, записанных на основании законов Кирхгофа, исключить токи в смежных ветвях. Вновь полученная система носит название системы контурных уравнений.

При наличии n контуров система контурных уравнений имеет вид:

I11r11 I22r12 ... Ikk r1k ... Innr1n E11 ;

I11r21 I22r22 ... Ikk r2k ... Innr2n E22;

....

21

I11rk1 I22rk 2 ... Ikk rkk ... Innrkn Ekk ;

....

I11rn1 I22rn2 ... Ikk rnk ... Innrnn Enn ,

где Ikk – контурный ток, замыкающийся в k-м контуре;

rkk – собственное сопротивление k-го контура, равное арифмети-

ческой сумме сопротивлений, входящих в k-й контур; rkn – взаимное (смежное) сопротивление контуров k и n ;

Ekk – контурная ЭДС, равная алгебраической сумме ЭДС, входя-

щих в k-й контур. При этом, если направление ЭДС совпадает с направлением контурного тока, то она берется со знаком «плюс», и наоборот.

Систему контурных уравнений можно решать с помощью теории определителей, согласно которой

где km – алгебраическое дополнение главного определителя, которое получается из него путем вычеркивания k-й строки и m-столбца

и умножения полученного результата на ( 1)k m .

22

Если во взаимном сопротивлении rkn контурные токи k-го и n-го

контуров совпадают по направлению, то соответствующее слагаемое входит со знаком «плюс», и наоборот.

При наличии в электрической цепи источника тока его за-

мыкают по ветвям цепи, дополняющим ветвь с источником тока до замкнутого контура. Так как ток источника известен, то порядок системы уравнений при этом не увеличивается. Таким образом, ток источника тока оказывается контурным током, величина которого известна.

1.3.3. ПРИНЦИП И МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

Метод контурных токов позволяет весьма просто установить для линейной цепи принцип наложения. Если контурные токи выбирать так, чтобы в интересующей нас ветви замыкался один контурный ток, то

т. е. истинный ток в k-й ветви равен алгебраической сумме токов, каждый из которых вызван соответствующей контурной ЭДС. Если каждую контурную ЭДС представить как алгебраическую сумму ЭДС в ветвях контура, то из последнего соотношения после соответствующих преобразований можно получить следующее соотношение:

Ik E1gk1 E2 gk 2 ... E1gkk ... En gkn .

Это соотношение говорит о том, что ток в k-й ветви равен алгебраической сумме токов, вызванных в ней каждой из ЭДС в отдельности, и фактически представляет математическую запись принципа суперпозиции или наложения для электрической цепи.

В этом соотношении gkm называют взаимной проводимостью ветвей k и m . Она численно равна току в k-й ветви, вызванному ЭДС Em , которая находится в ветви m , когда эта ЭДС равна 1 В.

gkk – собственная проводимость k-й ветви, численно равная току ветви k , обусловленному ЭДС Ek 1 В.

Принцип наложения используется в методе расчета, получившим название метода наложения.

23

Порядок расчета методом наложения

1. В интересующей нас ветви отыскать составляющие токов от каждого из источников (ЭДС или тока) цепи в отдельности, не нарушая конфигурацию цепи. То есть удаляя источник, внутреннее сопротивление его остается в схеме.

2. Определить истинный ток в ветви как алгебраическую сумму составляющих.

Свойство взаимности

Это свойство может быть установлено с помощью метода контурных токов (МКТ).

В любой сколь угодно сложной цепи ток в k-й ветви Ik , вызванный ЭДС Em ветви m (рис. 14, а), равен току в m-й ветви Im , вызванному ЭДС Ek ветви k (рис. 14, б), если Ek Em .

Докажем это свойство.

Рис. 14. Пояснение свойства взаимности:

а – ток ветви k; б – ток ветви m

Учитывая, что главный определитель системы контурных уравнений симметричен относительно главной диагонали, т. е. для такого

определителя km mk и учитывая Ek Em , следует считать, что Ik Im (рис. 14). Что и требовалось доказать.

24

Линейные соотношения в электрических цепях

В теории цепей установлено, что для линейной электрической цепи при изменении ЭДС в какой-либо ветви токи во всех ветвях находятся в линейном соотношении с изменяющейся ЭДС. Линейными оказываются соотношения между токами в различных ветвях и напряжения на различных участках, т. е.

Ik a bEm или Ik A BIq .

Неизвестные постоянные a, b или А, В определяются из расчета исследуемой цепи, проводимого дважды.

Например, задаемся E , рассчитываем электрическую цепь и по-

m

Если в цепи всего одна ЭДС, то задача упрощается, так как в этом случае a 0 , т. е. Ik kEm , где k – коэффициент пропорциональ-

ности.

При этом метод называют методом пропорционального пересчета. Методы на основании линейных соотношений применяют для це-

пей с последовательно-параллельным соединением элементов.

1.3.4. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ (МУП)

Ток в любой ветви электрической схемы может быть найден по закону Ома для активного или пассивного участка цепи, для этого необходимо знать потенциалы узлов схемы, которые в МУП принимают за неизвестные. При этом потенциал одного из ее узлов принимается равным нулю (это возможно, так как потенциал изменяется с точностью до произвольной постоянной по определению потенциала).

Таким образом, при расчете цепи МУП в отличие от МКТ необходимо решать систему, число уравнений в которой (n 1) , где n – чис-

ло узлов в схеме, при этом потенциал одного из узлов принимают равным нулю.

25

Если для исследуемой цепи составить уравнения по 1-му закону Кирхгофа, а затем каждый из токов записать по закону Ома, то после преобразований получается система узловых уравнений. В общем случае она записывается так:

Здесь k – потенциал k-го узла;

gkk – собственная проводимость k-го узла, равная арифметической

сумме проводимостей ветвей, непосредственно примыкающих к k-му узлу;

gkm – взаимная проводимость ветвей, равная арифметической

сумме проводимостей ветвей, заключенных между узлами k и m . Берется со знаком «минус»;

Jkk – узловой ток, равный

Jkk Ek gk Jk ,

где Ek gk – записывается для каждой из ветвей, примыкающих к k-му

узлу, при этом, если ЭДС направлена к узлу, то соответствующее слагаемое входит со знаком полюс и наоборот;

Jk – алгебраическая сумма токов источников тока, входящих

в k-й узел, входящие токи берутся со знаком «плюс», выходящие – со знаком «минус».

Таким образом, в k-м уравнении все потенциалы входят со знаком «минус», кроме потенциала k-го узла.

26

Система уравнений наиболее просто решается с помощью теории определителей:

системы узловых уравнений Примечание: при практических расчетах необходимо помнить,

что все взаимные проводимости должны быть записаны в определитель со знаком «минус».

km – алгебраическое дополнение главного определителя, получающееся из него путем вычеркивания k-й строки и m-столбца

и умножением на ( 1)k m .

Порядок расчета электрической цепи методом узловых потенциалов

1.Приняв потенциал одного из узлов цепи равным нулю, составить систему узловых уравнений типа (*).

2.Используя соотношение (**), или другим способом, разрешают эту систему относительно неизвестных потенциалов.

3.Используя результаты расчета п. 2, рассчитывают истинные токи

вветвях по закону Ома.

Примечание: если исследуемая цепь содержит в некоторой ветви чистую ЭДС без сопротивления, соединенного последовательно с ней, то при составлении системы узловых уравнений следует придержи-

27

ваться следующего правила: потенциал одного из узлов, к которому примыкает эта ЭДС, необходимо принять равным нулю, тогда потенциал второго узла, к которому эта ЭДС примыкает, становится известным, поэтому отпадает необходимость в составлении уравнения для этого узла.

В качестве примера приведем систему уравнений, составленную МУП, для схемы рис. 15.

5

5 0

Рис. 15. К составлению системы уравнений МУП

Метод двух узлов

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых по-

тенциалов. Согласно методу определяют напряжение между узлами, а затем по закону Ома рассчитывают токи в ветвях.

Зададимся целью для электрической цепи, имеющей два узла (рис. 16), получить выражение для напряжения между этими узлами.

28

Воспользуемся методом узловых потенциалов, полагая, что 2 0 ,

k 1

где слагаемое Ek gk входит со знаком «плюс», если ЭДС направлена в первый индекс напряжения.

29

1.3.5. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ

ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Эквивалентное преобразование электрических схем преследует цель упростить анализ и расчет режимов работы электрических цепей.

Условие эквивалентности преобразования схем

Эквивалентным преобразованием части схемы является только такое, после которого остается неизменным токораспределение в оставшейся части схемы электрической цепи, не подвергшейся преобразованию.

1. Эквивалентное преобразование источника тока в источник ЭДС

может быть осуществлено в соответствии с представленными схемами

(рис. 17).

Рис. 17. Эквивалентные преобразования схемы а в схему б и обратно: схемы б в схему а

30