Системный анализ аварийных комбинаций событий при управлении человеко-машинными системами

Глава 5. Задача управления выводом системы

подаче обобщенной синхронизирующей последовательности переходит в ОС, которое не зависит от начального состояния объекта, а зависит только от входной последовательности. Это позволяет осуществлять управление в условиях недостатка информации о начальном состоянии объекта. Запишем (5.4) в виде системы сравнений над GF(p)

Как известно, равенство a b mod p эквивалентно равенству ab = pd для некоторого целого числа d. Поэтому система (5.5) экви-

валентна следующей СЛАУ в целых числах ¯ = [ ] + , где =

QU s v pd d

= (d1, . . . , dv)T – целочисленный вектор размерности, равной числу уравнений системы. Таким образом, поставленная задача сводится к решению следующей задачи целочисленного программирования:

0 6 ¯ 6 1

Ui p

при 1 6 i 6 lkmin. Заметим, что из условия (5.6) нетрудно получить оцен-

ку для значений di: di 6 lkmin(p 1), 1 6 i 6 v. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5.4. Задача построения ОСП минимального веса, переводящая обобщенно синхронизируемый автомат с линейным уравнением в заданное обобщенное синхросостояние s, всегда может быть сведена к задаче целочисленного программирования с линейными ограничениями и lkmin + v переменными, где l – размерность входных векторов, v – характеристика ОС, kmin – минимальное значение k, при котором выполняется условие обобщенной синхронизируемости (5.3).

Замечание. Для нахождения kmin при проверке обобщенной синхронизируемости автомата с линейным уравнением потребуется проверять условие (5.3) для k = 1, 2, . . . . Определить наибольшее количество проверок, после достижения которого будет гарантированно получен ответ на вопрос о существовании ОСП, позволяют результаты, излагаемые ниже перед алгоритмом решения задачи нахождения ОСП минимального веса.

Алгоритм решения задачи нахождения ОСП минимального веса. Следующая теорема позволяет оценить длину минимальных ОСП [Резчиков с соавт., 2015].

81

Резчиков А. Ф., Богомолов А. С. Системный анализ аварийных комбинаций событий

Теорема 5.5. Если для автомата с линейным уравнением над GF(2) существует ОСП, то её минимальная длина не больше

(n 1)2 + 22 (n 1) mod 33n 2 2[(n 1)=3] + 1;

где n – порядок матрицы A.

Доказательство. Пусть минимальная длина ОСП равна k, k > (n1)2 + 22 (n 1) mod 33n 2 2[(n 1)=3] + 1. Согласно теореме 1 это означает, что для данного k выполнено условие (5.3). По теореме Шварца [Schwarz, 1970] степени любой булевой матрицы порядка n периодичны начиная со степени (n 1)2 +1. Длина периода этой последовательности определяется как наименьшее общее кратное наибольших общих делителей длин минимальных циклов в сильно связных компонентах соответствующего графа. Так как наибольшие общие делители длин минимальных циклов не больше числа вершин сильносвязной компоненты, а наименьшее общее кратное натуральных чисел не больше их произведения, длина периода не превосходит максимума произведения чисел с суммой n. Согласно [Sloane, 1996] он равен

22 (n 1) mod 33n 2 2[(n 1)=3];

поэтому период последовательности степеней Ak начиная с k = (n 1)2 + + 1 не больше

22 (n 1) mod 33n 2 2[(n 1)=3]:

Это справедливо и для последовательности подматриц [Ak]v, т. е. для каждого

k > (n 1)2 + 22 (n 1) mod 33n 2 2[(n 1)=3] + 1

существует

k0 6 (n 1)2 + 22 (n 1) mod 33n 2 2[(n 1)=3] + 1

такое, что [Ak]v = [Ak0 ]v. Поэтому если при некотором

k > (n 1)2 + 22 (n 1) mod 33n 2 2[(n 1)=3] + 1

выполняется условие (5.3), то оно выполняется и при некотором значении

k0 6 (n 1)2 + 22 (n 1) mod 33n 2 2[(n 1)=3] + 1:

82

Глава 5. Задача управления выводом системы

Это означает существование ОСП длины k0 и противоречит изначальному предположению о минимальности длины k. Теорема доказана.

Замечание 1. Отдельно рассмотрим случай, когда в определении ОС полагается v = n, т. е. ОС совпадает с состоянием в обычном смысле и решается классическая задача синхронизации. В этом случае оценка из теоремы 5.5 может быть существенно улучшена: минимальная длина ОСП не превосходит n, так как правая часть заменяется на n, поскольку выполнение условия теоремы 5.1 при некотором k означает нильпотентность главной характеристической матрицы, откуда следует, что Ak = [0] уже при некотором k 6 n.

Как следует из теоремы 5.5, проверка условия (5.3) имеет смысл для значений

k 6 (n 1)2 + 22 (n 1) mod 33n 2 2[(n 1)=3] + 1:

При этом число kmin следует полагать равным наименьшему k, при котором будет справедливо (5.3). Все последовательности длины kmin и более будут являться обобщенно синхронизирующими, однако, как следует из теоремы 5.2, для вычисления всех синхросостояний достаточно найти Ssyn(kmin).

На основе доказанного сформулируем алгоритм 5.1 нахождения ОСП минимального веса, переводящей систему в заданное ОС s.

1. Принять k = 1.

2. Если условие (5.3) выполняется, принять kmin = k и перейти к пункту 3. Если условие (5.3) не выполняется и

k < (n 1)2 + 22 (n 1) mod 33n 2 2[(n 1)=3] + 1

(в случае v = n правую часть взять равной n), то увеличить k на 1 и повторить пункт 2.

Если условие (5.3) не выполняется и

k > (n 1)2 + 22 (n 1) mod 33n 2 2[(n 1)=3] + 1;

то завершить алгоритм сообщением о том, что ОСП не существует. 3. Решить задачу булева линейного программирования:

83

Резчиков А. Ф., Богомолов А. С. Системный анализ аварийных комбинаций событий

Данная задача имеет решение тогда и только тогда, когда s является одним из обобщенных синхросостояний.

Замечание 2. Если входные сигналы равновесны, то задача целочисленного линейного программирования заменяется на систему линейных уравнений в целых числах с заданными выше ограничениями.

Ниже предлагается основанная на полученных результатах методика решения задачи управления предотвращением аварийных комбинаций событий в ЧМС в условиях неполной определенности.

Решение задачи управления выводом ЧМС из состояния неполной определенности [Rezchikov et al., 2017; 2018]. Пусть в соответствии с поставленной в п. 5.1 задачей управления предотвращением аварийных комбинаций событий в ЧМС в условиях неполной определенности требуется определить совокупность допустимых управляющих воздействий u(t1), . . . , u(tk) на отрезке [tн, tк], при которых система при всех допустимых воздействиях окружающей среды x(t) 2X(t) перейдет в некоторое состояние из множества S1 S при условии, что начальное состояние системы принадлежит множеству S0 S и выполнятся условие (5.1).

Предлагаемая методика состоит из следующих основных этапов.

1.Установление возможности автоматного представления и построение автоматной модели: установление соответствия состояний системы S и подмножеств S0, S1, а также управляющих воздействий входным сигналам U векторам-состояниям некоторого автомата.

2.Построение функции переходов fs(s, u) автомата-модели, установление соответствия этой функции процессам перехода между состояниями системы. Определение физического смысла модельного времени автомата с точки зрения функционирования исходной системы.

3.Установление и подтверждение адекватности построенной автоматной модели.

4.Установление линейности уравнения перехода автомата или возможности его линеаризации по алгоритмам, изложенным в [Гилл, 1974].

5.Представление множеств S0, S1 обобщенными состояниями ав- томата-модели, выбор числа v.

6.Проверка обобщенной синхронизируемости автомата по условию (5.3) и теореме 5.5.

7.Установление весов входных сигналов по функции F(u(t);x(t);t) из критерия (5.1).

8.Нахождение обобщенно синхронизирующих последовательностей минимального веса с использованием алгоритма 5.1.

84

Глава 5. Задача управления выводом системы

9. Обработка результатов, получение последовательностей управляющих воздействий в виде директив или рекомендаций ЛПР для решения задачи.

Замечание 3. Каждый из перечисленных основных этапов решения задачи основывается на успешном завершении предыдущего. В случаях когда проверка условия выполнимости этапа дает отрицательный результат, существует возможность использования полученных ранее результатов для решения задачи ранее известными методами. Например, если этап 4 завершается отрицательно, возможно применение традиционных алгоритмов синхронизации автоматов общего вида.

Всоответствии с описанными этапами предлагаемой методики модельный пример решения задачи вывода человеко-машинной системы приведем из состояния неполной определенности.

5.3.Решение задачи на примере

Всоответствии с авиационными нормативами процесс посадки состоит из нескольких этапов: полет до входа в зону ожидания; полет

взоне ожидания; выход из зоны ожидания; переход к первой поворотной точке; полет по кругу (по «коробочке»); предпосадочное снижение; выравнивание; выдерживание; касание и пробег; руление.

Центр управления воздушным движением работает с воздушными судами, которые выполняют маневры при входе в зону ответственности аэропорта с последующим заходом на посадку.

Предположим, что по причине кратковременной потери связи, вызванной воздействием окружающей среды, ошибками экипажа или иными внешними воздействиями, группа воздушных судов (ВС) теряет связь с диспетчером и оказывается в опасном состоянии. Примером подобной ситуация является инцидент, который произошел 7 июля 2017 г.

ваэропорту Сан-Франциско, когда возникла угроза столкновения 5 самолетов. Из-за ошибки пилота экипаж лайнера Flight A759 авиакомпании Air Canada, летевший из Торонто, направился на полосу, где своей очереди на взлет ждали 4 лайнера. При этом расстояние между садившимся самолетом и лайнерами на земле составляло менее 100 метров. Благодаря бдительности диспетчера, немедленно давшего команду канадскому самолету, в котором находилось 140 человек, уйти на второй круг, удалось избежать крупной авиакатастрофы. Как позже сообщил представитель авиакомпании Air Canada, Airbus A320 со 135 пассажирами и пятью членами экипажа приземлился нормально, без инцидентов.

85

Резчиков А. Ф., Богомолов А. С. Системный анализ аварийных комбинаций событий

Подобные ошибки обычно связаны с небольшими самолетами

внебольших аэропортах, как сообщает Associated Press. Так, в декабре 2015 г. рейс Alaska Airlines приземлился на центральной взлетной дорожке в международном аэропорту Сиэтл/Такома без жертв. Кроме того, пилоты-любители нередко пролетают на своих небольших самолетах

вопасной близости над авиалайнерами.

После восстановления связи требуется с наименьшими временными затратами вывести группу самолетов из потенциально опасного состояния. Информационно-советующая система должна сформировать

ивыдать диспетчеру варианты решения задачи. Диспетчер выбирает из них наиболее безопасный на основе своих знаний, профессионализма

издравого смысла.

Постановка задачи в модельном примере состоит в следующем. Обозначим через A группу воздушных судов, готовящихся к посадке в зоне ответственности аэропорта. Допустим, что состояние каждого воздушного судна, входящего в A, характеризуется его положением на том или ином эшелоне. Совокупность состояний воздушных судов из группы A определяет состояние этой группы и может быть выражено вектором, координаты которого выражают состояния отдельных судов. Множество возможных состояний группы может, таким образом, быть выражено множеством соответствующих векторов. Обозначим множество возможных состояний группы через S.

В результате потери связи с диспетчером группа воздушных судов оказывается в состоянии s(0) из известного множества S0. При этом известно, что множество S0 содержит состояния, классифицируемые как опасные, в которых вероятность возникновения опасных комбинаций событий превышает допустимый предел. Поэтому текущее состояние группы воздушных судов рассматривается как нежелательное.

Известно множество S1 S безопасных состояний группы воздушных судов. Требуется разработать методы, модели и алгоритмы, позволяющие найти последовательность допустимых управляющих сигналов u(t1), . . . , u(tk) на отрезке времени [tн, tк], в результате подачи которой группа воздушных судов из любого начального состояния, принадлежащего множеству S0, при всех допустимых воздействиях окружающей среды x(t) 2X(t) перейдет в некоторое состояние, принадлежащее множеству S1, и будет выполнено условие (5.1). Результаты решения задачи предназначены для поддержки принятия решений по выдаче диспетчером рекомендаций по посадке экипажам рассматриваемых воздушных судов.

86

Глава 5. Задача управления выводом системы

Будем полагать, что состояние группы воздушных судов характеризуется их наличием на 4 эшелонах (условных высотах, отстоящих друг от друга на величину установленных интервалов). Состояние s(t) будем выражать в виде 0–1 вектора размерности 4, обозначающего расположение воздушных судов на эшелонах 1, 2, 3 и 4: если si(t) = 1, то на эшелоне с номером i находится одно воздушное судно, если si(t) = 0, это означает выход воздушных судов из эшелона. Желательным является состояние, при котором воздушные суда расположатся на эшелонах 1–3 и, возможно, на эшелоне 4. Эта ситуация считается относительно безопасной, подходит для начала дальнейших действий по посадке воздушных судов и в терминах состояний данной ситуации соответствует ОС s1 = fs 2 Sj[s]3 = (1; 1; 1)T g.

В начале ситуации диспетчеру не известно точное расположение воздушных судов на эшелонах. Рекомендация u(t) диспетчера представляет собой 0–1 вектор размерности 4, где ui(t) = 1 означает, что воздушное судно на эшелоне с номером i должно сменить эшелон, а ui(t) = = 0 означает, что воздушному судну на эшелоне с номером i рекомендация по смене эшелона не дается.

Предположим, что в рассматриваемом случае из опыта известно, что состояние системы ВС s(t + 1) после выполнения команды u(t) определяется соотношением

Отсюда следует, что рассматриваемую систему воздушных судов можно рассматривать как автомат с состояниями s(t), входными сигналами u(t) и линейным уравнением перехода с матрицами A, B.

Требуется определить последовательность входных сигналов, которая из любого начального состояния переводит данную систему ВС в состояние из множества s1 = fs 2Sj[s]3 = (1; 1; 1)T g. При этом в составе векторов, обозначающих команды, должно быть минимальное количество «перепадов» координат – пар разных соседних координат, т. е.

87

Резчиков А. Ф., Богомолов А. С. Системный анализ аварийных комбинаций событий

требование минимизации имеет вид

длина входной последовательности, F(a;b) = 0, если a = b и 1 иначе. Физический смысл такого требования минимизации заключается

втом, что каждая команда отнимает время диспетчера и системы ВС на завершение экстренной посадки и поэтому число «перепадов» сигналов

вкоманде должно быть минимально, как и число самих команд.

Для проверки условия обобщенной синхронизируемости заметим, что ряд степеней матрицы A имеет вид

т. е. [A3]3 = [0], из чего следует обобщенная синхронизируемость автомата по первым 3 координатам, а также то, что все последовательности длины 3 и более являются синхронизирующими, kmin = 3.

Найдем матрицу линейных ограничений на допустимый план:

Запишем эту систему в координатной форме, затем преобразуем в эквивалентную СЛАУ по (5.5) и, учитывая ограничения для координат

88

Глава 5. Задача управления выводом системы

где d3 равно 0 или 1.

Исходная задача имеет 13 переменных, однако в ограничения (5.8)

обеспечения минимального числа «перепадов» координат у искомого

вектора ¯ координаты в перечисленных наборах должны быть равны

U

между собой – ¯ = ¯ = ¯ ; ¯ = ¯ – и в каждой группе равны одной

U2 U3 U4 U7 U8

из ближайших координат, входящих в ограничения включая ¯ = ¯ .

U12 U11

Тогда условие (5.9) сводится к

имеется не менее одного перепада. Таким образом, получаем оценку

( ¯ *) > 1 для оптимального плана ¯ *. Если существует план ¯ , для

W U U U

которого ( ¯ ) = 1, то этот план выбирается в качестве оптимального.

W U

Разделим множество {0,1} – векторов задачи относительно переменной

имеется 1 перепад. Это значение соответствует минимальной оценке

тимальный план, который, учитывая ¯ = ¯ = ¯ ; ¯ = ¯ , равен ¯ =

U2 U3 U4 U7 U8 U

= (1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0)T . Тогда ОСП с минимальным числом перепадов: u(0) = (1;1;1;1)T , u(1) = (1;1;1;1)T , u(2) = (1;0;0;0)T .

89

Резчиков А. Ф., Богомолов А. С. Системный анализ аварийных комбинаций событий

При подаче этой последовательности команд система ВС оказывается в требуемом состоянии (1;1;1;x)T , что дает возможность вывода системы из состояния неполной определенности.

Из последовательностей, обеспечивающих попадание системы в безопасное состояние, диспетчер выбирает рациональные и безопасные варианты, ход выполнения которых также предполагает исключение опасного сближения воздушных судов. На основании этих вариантов диспетчер строит последовательность рекомендаций при посадке группы.

На основании полученных результатов и информации по правилам радиообмена при выполнении полётов и управлении воздушным движением составлен модельный пример набора рекомендаций, выбираемых сотрудником диспетчерского пункта «Ладога – Подход» исходя из значений входных сигналов найденной выше ОСП (табл. 5.1).

Разработанная модель представляет формализованное описание процессов управления группой воздушных судов при их посадке в зоне ответственности аэропорта на таких этапах, как вход в зону

90