Системный анализ аварийных комбинаций событий при управлении человеко-машинными системами

Глава 4. Задача управления предотвращением аварийных комбинаций событий

Согласно предлагаемой методике, в процессе моделирования аварийных комбинаций событий испытуемый воспринимает информацию

ввиде перечней произошедших событий и других данных. Анализируя её, он должен в течение заданного времени предложить варианты действий по предотвращению аварийных комбинаций событий с учетом ограниченных ресурсов и событий, которые уже произошли. Задание считается выполненным, если не было сделано достаточно большого количества ошибок в определении состава и последовательности воздействий по парированию отдельных событий и эти воздействия позволили предотвратить аварию в моделируемом случае. Одновременно у испытуемого снимаются показатели работы организма (давление, частота дыхания, показатели мозговой деятельности). Итогом тестирования является оценка правильности выполнения задания и психофизиологического состояния во время его выполнения. Программно-аппарат- ный комплекс для диагностики аварийных состояний операторов ЧМС

вусловиях неблагоприятных комбинаций событий включает тренажер, имитирующий данные о таких комбинациях и содержащий систему диагностики состояний испытуемого в процессе решения им предлагаемых задач. Взаимодействие указанных компонент осуществляется через базы данных реального времени и общей базы данных процесса тестирования, которая поддерживает синхронизацию данных и их резервирование для обеспечения устойчивости процесса тестирования. В процессе функционирования комплекса испытуемый воспринимает условия задач, связанных с аварийными комбинациями событий, и выдает варианты их решения, полученные в заданное ограниченное время. Система одновременно проверяет решения задач и показатели психофизического состояния испытуемого.

Результатом работы программно-аппаратного комплекса является комплексная оценка, содержащая информацию о выполнении задания и сигналах о нарушенном психофизическом состоянии испытуемого.

Полученные результаты предназначены для лиц, принимающих решения о допуске к работе, а также исследователей аварийных комбинаций событий и психофизических реакций в их условиях.

***

Таким образом, в данной главе содержательно и формально была поставлена задача управления процессом предотвращения аварийных комбинаций событий в ЧМС. Суть задачи сводилась к уменьшению вероятности аварийных комбинаций событий до заданных пределов с учетом имеющихся ограниченных ресурсов и требований к системе.

71

Г л а в а 5

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ВЫВОДОМ СИСТЕМЫ ИЗ СОСТОЯНИЯ НЕПОЛНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

5.1. Постановка задачи

При рассогласовании действий компонент ЧМС возможно развитие аварийных комбинаций событий. В частности, проблемой является восстановление координации частей систем после возникновения неопределенности из-за внутренних причин или воздействий среды, например климатического или радиоэлектронного характера.

Решение проблемы, связанной с неполной определенностью состояний ЧМС, сопровождается высокой информационной и психологической нагрузкой на персонал и диспетчеров в реальном времени. В таких условиях требуется поддержка информационно-советующих систем с соответствующим математическим обеспечением, которое позволит повысить оперативность управления ЧМС при неблагоприятных воздействиях окружающей среды.

В качестве варианта такого математического обеспечения предлагается разработанный в данной главе аппарат оптимальной синхронизации автоматов, применяемый к выводу ЧМС из состояния неполной определенности.

Формальная постановка задачи, приведенная в главе 2, состоит в следующем. В результате временной потери связи с координатором система оказывается в неизвестном состоянии s(0) 2 S0. Причем известно, что множество S0 содержит достаточно много состояний, для которых вероятность аварийных комбинаций событий превышает допустимый предел. Поэтому состояния из множества S0 рассматриваются как нежелательные. Известно множество состояний S1, рассматривае-

73

Резчиков А. Ф., Богомолов А. С. Системный анализ аварийных комбинаций событий

мых как безопасные состояния. Требуется определить совокупность допустимых управляющих воздействий u(t1), . . . , u(tk) на интервале [tн, tк], в результате подачи которых система перейдет в любое состояние из S1 при всех допустимых воздействиях окружающей среды x(t)2X(t) и выполнении

где F(x(t), u(t), t) – заданная функция, характеризующая определенного ЛПР ресурса затраты на выдачу, восприятие и реализацию управляющих указаний (директив или рекомендаций).

5.2. Математическая модель и метод решения

Базовая формальная модель. В качестве базовой формальной модели для решения поставленной задачи используется конечный детерминированный автомат Мили (S, U, Y , fs, fy), где S – множество состояний, U – множество входных сигналов (управляющих воздействий). Теория конечных автоматов отличается высоким уровнем доказательности и ясности объяснения решений, предлагаемых ЛПР, а также эффективности реализации получаемых результатов по времени и объему вычислительных операций. При этом важность объяснительного компонента обусловливается решающим значением человеческого фактора при предотвращении аварийных комбинаций событий, а значит – подготовки ЛПР, операторов к работе на разных уровнях ЧМС.

Для автоматов, состояния которых представляют собой векторы, вводится понятие обобщенного состояния (ОС) как множества состояний системы, имеющих общие значения определенных координат. Множество S1 безопасных состояний ЧМС представляется в виде ОС некоторого автомата. Задача недопущения аварии в этом случае представляется как задача перевода автомата в это ОС. Как критерий качества входных воздействий F(u(t), x(t), t) при этом выбирается время перевода, которое полагается зависящим от длины входной последовательности u(t) и однородности её состава. Поскольку из-за неполной определенности, которая введена в условия задачи, начальное состояние считается неизвестным, требуется входная последовательность u(t), которая будет переводить автомат в ОС S1 при любых начальных состояниях. Этим

74

Глава 5. Задача управления выводом системы

свойством обладают обобщенные синхронизирующие последовательности (ОСП), которые переводят автомат из любого возможного начального ОС в некоторое конечное состояние ОС, которое определяется только этой самой последовательностью.

Для осуществления данного подхода разработано математическое обеспечение, включающее методы и алгоритмы определения множества обобщенных синхросостояний и ОСП.

Определим основную модель для решения поставленной задачи вывода системы из состояния неполной определенности.

Определение 5.1. Линейным автоматом [Гилл, 1974] называется конечный автомат Мили [Гилл, 1966], для которого входной, выходной сигналы и состояние при t = 0, 1, . . . представлены векторами над полем GF(p) = f0, . . . , p 1g, p – простое число, T – операция транспонирования:

u(t) = (u1(t);:::;ul (t))T ;y(t) = (y1(t);:::;ym(t))T ;s(t) = (s1(t);:::;sn(t))T :

Линейный автомат задается уравнениями перехода и выхода

s(t + 1) = As(t) + Bu(t)

y(t) = Cs(t) + Du(t);

где An n, Bn l , Cm n, Dm l – матрицы над GF(p), A – главная характеристическая матрица, n – размерность линейного автомата, n, m, l > 1. Пространство состояний линейного автомата обозначим как S.

Для решения поставленной задачи потребуются лишь некоторые свойства линейных автоматов, в остальном же будут использоваться более широкие понятия: «автомат» и «автомат с линейным уравнением». Для краткости под автоматом будем подразумевать автомат, состояния и входные сигналы которого заданы в виде векторов над полем GF(p); под автоматом с линейным уравнением будем подразумевать автомат с линейной функцией переходов fs(s(t), u(t)). Выходные сигналы у используемых для решения задачи автоматов не рассматриваются. Таким образом, математическая модель, используемая для решения задачи, является более общей, чем линейный автомат. Это расширяет область применения результатов и отражает специфику рассматриваемой задачи, связанной с неполной определенностью.

75

Резчиков А. Ф., Богомолов А. С. Системный анализ аварийных комбинаций событий

Во многих случаях задача перевода системы точно в заданное состояние может не иметь решения (в силу неполной определенности начального состояния системы и других причин), тогда как задача перевода системы в «похожие» в смысле указанного ряда координат состояния решается. В этом заключается основная идея использования при решении поставленной задачи понятия обобщенного состояния.

По аналогии с ОС линейного автомата [Сперанский, 1998] определим ОС для автомата с состояниями, представляемыми n-мерными векторами над GF(p). Через [0] обозначим нулевую матрицу над полем GF(p), а через [X]v – подматрицу из v первых строк матрицы X.

Определение 5.2. Обобщенным состоянием автомата называется множество s S, определяемое как s = fs2S j [s]v = [s]vg, где [s]v – вектор размерности v над тем же полем.

Если s(t)2s, будем полагать, что в момент t автомат находится в ОС s. В случае v = 0 единственным ОС является множество всех состояний автомата S, а в случае v = n каждое состояние s 2S является ОС.

Таким образом, ОС автомата представляет собой множество всех его состояний, у которых координаты с заданными номерами равны заданным значениям. Множество ОС автомата v будем обозначать через S.

Известная формула полного перехода [Гилл, 1974] может быть использована и для вычисления заключительного ОС, если известны входная последовательность и начальное состояние автомата с линейным уравнением. Действительно, из определения операции [X]v следует, что [XZ]v = [X]vZ, [X +V ]v = [X]v + [Z]v для любых матриц X, Z над полем GF(p). Используем эти свойства и, применяя операцию [:::]v к обеим частям формулы полного перехода, получаем её обобщенный вариант:

i=0

Определим понятие обобщенно синхронизирующей последовательности.

Определение 5.3. Входная последовательность u(0), . . . , u(k 1) называется обобщенно синхронизирующей (ОСП), если после её подачи автомат переходит в одно и то же ОС независимо от начального состояния.

Заметим, что данное определение можно также читать и как «. . . независимо от его начального ОС», что в данном случае эквивалентно данной выше формулировке. Заметим также, что при v = n ОСП является классической синхронизирующей последовательностью.

76

Глава 5. Задача управления выводом системы

Предполагается, что множество допустимых начальных состояний автомата совпадает с множеством всех его состояний S. Будем говорить, что автомат обобщенно синхронизируем, если для него существует ОСП.

Для решения задачи вывода системы из состояния неполной определенности разработан аппарат обобщенной синхронизации автоматов с линейным уравнением перехода, в котором используются полученные результаты, связанные с синхронизацией дискретных систем.

Разработка аппарата обобщенной синхронизации автоматов для решения задачи. В [Сперанский, 1998] получен критерий существования ОСП для линейного автомата.

Теорема 5.1. Для линейного автомата с главной характеристической матрицей A ОСП длины k существует тогда и только тогда, когда

При этом в случае выполнения (5.3) все входные последовательности длины k или более ОСП.

Заметим, что условие (5.3) является критерием синхронизируемости и для автомата с линейным уравнением. Каждое из заключительных ОС, в которое можно перевести автомат с линейным уравнением подачей ОСП длины k, будем называть обобщенным синхросостоянием, а через Syn(A, k) обозначим множество всех обобщенных синхросостояний автомата A.

Введем критерий, по которому будет осуществляться сравнение ОСП. Каждому входному символу u поставим в соответствие действительное число W (u) > 0 – его вес, а вес последовательности входных сигналов будем определять как сумму весов этих сигналов.

Сформулируем теперь основные задачи, возникающие при разработке аппарата обобщенной синхронизации автоматов для решения задачи вывода ЧМС из состояния неполной определенности.

Пусть задан обобщенно синхронизируемый автомат A с линейным уравнением. Требуется построить алгоритмы, позволяющие:

–определить множество всех обобщенных синхросостояний, достижимых путем подачи ОСП заданной длины k;

–для заданного обобщенного синхросостояния s и заданной функции веса входных сигналов W (u) определить множество ОСП минимального веса, переводящих автомат в s.

Построение множества обобщенных синхросостояний. Минимальными ОСП будем называть ОСП наименьшей длины и обозначать

77

Резчиков А. Ф., Богомолов А. С. Системный анализ аварийных комбинаций событий

нейным уравнением множество Syn(A, k) при любом k > kmin совпадает с множеством всех линейных комбинаций линейно независимых столбцов матрицы Q = [Akmin 1B, . . . , B]v.

Доказательство. Предположим, что k > kmin и ОСП u(0), . . . , u(k1) переводит автомат в обобщенное синхросостояние s. Согласно формуле (5.3) критерий существования ОСП длины k заключается в выполнении (5.3). Согласно (5.3) получаем, что включение s 2 Syn(A, k) эквивалентно условию

Рассмотрим это соотношение как систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно kl неизвестных – координат век-

тора ¯ . Известно [Курош], что критерием разрешимости такой системы

U

является представимость столбца свободных членов [s]v в виде линейной комбинации линейно независимых столбцов матрицы Q(k) системы.

Поскольку автомат имеет ОСП длины kmin, то, согласно теореме 5.1,

[Akmin ]v = [0] и для любого k > kmin [Ak]v = [Akmin Ak kmin ]v = [Akmin ]vAk kmin =

= [0], поэтому Q(k) = [[0], . . . , [0], Akmin 1B . . . , B]v. Ввиду такой структуры Q(k) получаем, что [s]v является линейной комбинацией линейно независимых столбцов матрицы Q(kmin). Из проведенных рассуждений

автомат в ОС s, то любая входная последовательность, начинающаяся

78

Глава 5. Задача управления выводом системы

Следствие 2. Если [B]v 6= [0], то обобщенно синхронизируемый автомат с линейным уравнением имеет ненулевое обобщенное синхросостояние.

Согласно теореме 5.2 определение множества Syn(A) сводится к нахождению линейного подпространства, порожденного базисом Q.

Нахождение обобщенных синхронизирующих последовательностей минимального веса. Предположим, что имеется обобщенно синхронизируемый автомат с линейным уравнением и требуется перевести его в обобщенное синхросостояние s подачей ОСП минимального веса. Как показывает теорема 5.2, в любое обобщенное синхросостояние можно попасть, подавая ОСП минимальной длины kmin. Покажем, что минимум неотрицательной весовой функции также достигается на последовательностях минимальной длины.

Теорема 5.3. Если для любого входного сигнала u задан вес W (u) >

> 0, то для любой ОСП ¯ длины > существует ОСП ¯ длины

U k kmin Umin

kmin, переводящая автомат с линейным уравнением в то же обобщенное

синхросостояние, что и ¯ , причем ( ¯ ) 6 ( ¯ ).

U W Umin W U

Доказательство. Предположим, что ОСП u(0), . . . , u(k 1), где k > kmin, переводит автомат с линейным уравнением в обобщенное синхросостояние s. Согласно формуле (5.2) это означает, что [Ak 1B]vu(0)+ + ::: + [B]vu(k 1) = [s]v. Учитывая, что в силу обобщенной синхронизируемости для всех k > kmin выполняется (5.3), получаем [0]+. . . + [0] + [Akmin 1B]vu(k kmin)+:::+[B]vu(k 1) = [s]v, где слагаемые, содержащие Ai при i > kmin 1, равны [0]. Из полученного равенства следует, что ОСП u(k kmin), . . . , u(k 1) длины kmin переводит автомат с линейным уравнением в обобщенное синхросостояние s. При этом, поскольку веса входных сигналов неотрицательны, вес подпоследовательности не превосходит веса содержащей ее последовательности. Что и требовалось доказать.

Замечание. Данная теорема говорит о том, что для обобщенных синхронизирующих последовательностей могут одновременно достигаться минимальная длина и минимальный вес. Для автоматов общего вида это не гарантировано: более длинная обобщенно синхронизирующая последовательность может состоять из более «легких» сигналов и иметь вес меньше, чем более короткая обобщенно синхронизирующая последовательность из более «тяжелых» сигналов.

Таким образом, при неотрицательной весовой функции оптимальную ОСП следует искать среди ОСП минимальной длины. В случае если функция W отрицательна при некотором u0, поставленная выше задача имеет решение лишь тогда, когда длина искомой ОСП задана

79

Резчиков А. Ф., Богомолов А. С. Системный анализ аварийных комбинаций событий

заранее. Такая задача решается с помощью излагаемых в работе методов как частный случай. В случае же когда длина входной последовательности не фиксирована, вес ОСП при условии отрицательности весовой функции на некотором входном сигнале является неограниченным. Действительно, предположим, что W (u0) < 0 и требуется найти ОСП минимального веса. Как видно из теоремы 5.3, при подаче входной последовательности длины k > kmin финальное ОС зависит только от сигналов «минимальной части» u(k kmin), . . . , u(k 1) входной последовательности и не зависит от ее «начала» u(0), . . . , u(k kmin1). Зафиксировав «минимальную часть» входной последовательности таким образом, чтобы вся последовательность переводила автомат с линейным уравнением в заданное обобщенное синхросостояние, можно принимать в качестве «начала» произвольную по длине и составу подпоследовательность. В частности, можно подставить в «начало» ОСП входную последовательность, состоящую только из сигналов u0. Так как W (u0) < 0, вес такой подпоследовательности W0 неограничен снизу при увеличении числа ее членов, а вес «минимальной части» Wmin ограничен и суммарный вес W = W0 +Wmin также неограничен снизу, и задача его

венство будем далее рассматривать как СЛАУ относительно координат

= å W (u(t)), то в соответствии с требованиями поставленной задачи

0 6 ¯ 6 1

Ui p

при 1 6 i 6 lkmin. Таким образом, получаем задачу целочисленного программирования [Мину, 1990] с линейными ограничениями (5.4). Физический смысл (5.4) заключается в том, что объект управления при

80