Сборник задач по аналитической геометрии. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

соответственно, которые будут иметь единственное решение

в случае линейной независимости троек векторов a1,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.М. ЧУБИЧ, О.С. ЧЕРНИКОВА

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2015

УДК 514.12(075.8) Ч-813

Рецензенты:

В.С. Карманов, канд. техн. наук И.М. Пупышев, канд. физ.-мат. наук

Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной информатики

Чубич В.М.

Ч-813 Сборник задач по аналитической геометрии : учебное пособие / В.М. Чубич, О.С. Черникова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2015. – 87 с.

ISBN 978-5-7782-2657-9

Учебное пособие содержит основные определения, теоретические выкладки и методические пояснения, а также практические советы к решению задач и упражнений по темам: «Прямые в аффинном пространстве», «Плоскости в аффинном пространстве», «Прямые и плоскости в аффинном пространстве», «Кривые второго порядка», «Поверхности второго порядка».

Сборник задач предназначен для студентов I курса факультета прикладной математики и информатики НГТУ и может быть полезен студентам технических специальностей высших учебных заведений с повышенной математической подготовкой.

	УДК 514.12(075.8)
ISBN 978-5-7782-2657-9	© Чубич В.М., Черникова О.С., 2015
	© Новосибирский государственный
	технический университет, 2015

	ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................................................................		4
Глава 1. Прямые в аффинном пространстве..............................................		5
Глава 2. Плоскости в аффинном пространстве.......................................		19
Глава 3.	Прямые и плоскости в аффинном пространстве.....................	28
Глава 4.	Кривые второго порядка.............................................................	35
Глава 5.	Поверхности второго порядка....................................................	52
Ответы.........................................................................................................		69
Список литературы....................................................................................		86

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сборник задач обобщает многолетний опыт преподавания авторами дисциплины «Алгебра и геометрия» на факультете прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета.

В начале каждой главы приводятся используемые в ней определения, теоремы и формулы. Далее на многочисленных примерах с подробными решениями поясняются обсуждаемые вопросы, понятия и методы. В заключение даются задачи для решения на практических занятиях и дома.

Номер каждой задачи содержит два разделенных точками числа. Первое число указывает номер главы, второе – номер задачи в этой главе.

Структура и содержание сборника задач полностью соответствуют порядку изложения во втором учебном семестре теоретического материала [1, 3, 6–9, 11]. Настоящий сборник подготовлен на основе выпущенного еще в 2003 году учебного пособия [5] и дополнен рядом полезных и содержательных задач из [2, 4, 10, 12].

Авторы выражают надежду, что настоящий сборник поможет студентам более глубоко и качественно освоить основные идеи и методы соответствующих разделов дисциплины «Алгебра и геометрия» и будут признательны за любую информацию о замеченных опечатках и неточностях.

ГЛАВА 1

ПРЯМЫЕ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть дано множество элементов A, B, C, ... , называемых точ-

ками, и линейное пространство X над полем F с элементами x, y, z, ... , называемыми векторами. Пусть далее каждой упорядочен-

ной паре точек A и B из поставлен в соответствие единственный

вектор x AB из линейного пространства X , причем для этого соответствия выполняются следующие две аксиомы:

10 ) для любой точки A из и любого вектора x из X существу-


ет в единственная точка B такая, что x AB ;
20 ) для любых точек A, B,	C из	выполняется «правило тре-
угольника»

AB BC		AC .

Множество вместе с таким соответствием называется аффинным пространством, связанным с линейным пространством X. Если

линейное пространство X n -мерное, то и аффинное пространство называется n -мерным аффинным пространством и обозначается

через n .

Системой координат или репером в аффинном пространстве n

называется упорядоченный набор

O, e1, e2 , ..., en , (1.1)

состоящий из некоторой точки O из n , называемой началом координат, и некоторого базиса e1, e2 , ..., en линейного пространства X .

Система координат называется прямоугольной, если базис e1, e2 , ..., en ортонормированный.

Координатами точки				M n			в системе координат (1.1) назы-

ваются координаты			x1, x2	, ..., xn			ее радиуса-вектора			OM	в базисе
e1, e2 , ..., en , т. е. коэффициенты из разложения

			OM	x1e1 x2e2 ...					xnen .
Точку M с координатами						x1,	x2 , ..., xn		будем обозначать через
M x1,	x2 , ..., xn , а вектор				x	с координатами x1, x2				, ..., xn – соот-
ветственно через x x1, x2 ,					..., xn .
Если в аффинном пространстве n								даны координатами в систе-
ме (1.1)	две	точки	M x1, x2 ,				..., xn	и	N y1,	y2 , ..., yn , то
			, ..., yn xn , т. е. координаты вектора
MN y1	x1,	y2 x2	, ..., yn xn , т. е. координаты вектора								MN рав-

ны разностям соответствующих координат конца и начала вектора. Пусть в аффинном пространстве n зафиксирована система коор-

динат (1.1), заданы точка	M 0 x01, x02 , ..., x0n	и направляющий
вектор a a1, a2 , ..., an .	Тогда множество точек	аффинного про-

странства n , радиусы-векторы x которых удовлетворяют уравнению

	x x0 at ,	(1.2)
где x0 x01, x02 ,	..., x0n и параметр t принимает любые значения из
поля F, называется прямой, проходящей через точку M0		параллель-
но вектору a .

Соотношение (1.2) называется параметрическим уравнением прямой в векторной форме.

Векторное уравнение (1.2) равносильно ниям

x1 x01 a1t,

x2 x02 a2t,

... ... ... ... ...

xn x0n ant,

n координатным уравне-

(1.3)

которые называются параметрическими уравнениями прямой в координатной форме.

Исключая параметр t

в уравнениях (1.3), получаем каноническое

уравнение прямой в аффинном пространстве n :

x1 x01

x2 x02

xn x0n

(1.4)

Если

на прямой

известны

две

различные точки

x01, x02

, ..., x0n

и M1

x11, x12 , ..., x1n , то уравнение этой пря-

мой в векторной форме

x x0 x1 x0 t

(1.5)

и в канонической форме

x1 x01

x2 x02

...

xn x0n

(1.6)

Угол между двумя прямыми с направляющими векторами a и

bопределяется как угол между векторами a, b , не превышающий ,

ивычисляется по формуле

cos

a, b

(1.7)

Необходимым и достаточным условием того, чтобы две прямые в

аффинном

пространстве

n , заданные

векторными

уравнениями

x x1 at

и x x2 bu , пересекались или были параллельны,

являет-

ся линейная зависимость

тройки

векторов x1 x2 , a,

b . В

случае

скрещивающихся прямых векторы

x1 x2

, a, b линейно независимы.

Направляющие векторы

параллельных

прямых коллинеарны, т. е.

b a , F .

Расстояние от точки M с радиусом-вектором x до прямой,

заданной уравнением (1.2), определяется как минимальное расстояние от точки M до точек прямой и вычисляется по формуле

	x x0 , x x0			a,	x x0
	x x0 , x x0			a,	x x0
2	a, x	x0		a,		a	.	(1.8)

		a,	a
		a,	a

Основание N перпендикуляра, опущенного из данной точки M на

прямую, совпадает с той точкой прямой, которая находится на минимальном расстоянии от данной точки.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми с

уравнениями x x1 at и x x2 bu определяется как кратчайшее расстояние между точками этих прямых и вычисляется по формуле

x1 x2 , x1 x2

x1 x2

a, b

x1 x2

b, b

(1.9)

Основания общего перпендикуляра двух прямых совпадают с теми точками этих прямых, расстояние между которыми минимально.

Пример 1. Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы через точку, заданную вектором c , можно было провести

единственную прямую, пересекающую две прямые x a0 a1t и

x b0 b1t . Укажите метод построения такой прямой и точек пересе-
чения ее с данными прямыми.
Решение. Пусть	x c dt – уравнение искомой прямой. Тогда не-
обходимые и достаточные условия для того, чтобы прямая x c dt
пересекала прямые	x a0 a1t	и	x b0 b1t , состоят в том, что си-
стемы векторов d ,	a1 и d ,	b1	линейно независимы, вектор a0 c
линейно выражается через d ,		a1	и вектор b0 c линейно выражает-

ся через d ,	b1 . Формально это означает, что существуют действи-
тельные значения t1, t2 , 1, 2 такие, что
	a0 a1t1 c d 1;	(1.10)
	8

				b0 b1t2						c d 2 ,													(1.11)
причем 1 0		и 2 0 . Выразив d									из соотношений (1.10), (1.11), по-
лучим соответственно формулы
				d			1	a			c					t1	a ;						(1.12)
				d				a			c						a ;						(1.12)
										0									1
							1								1
				d			1		b		c					t2		b .					(1.13)
				d			2		b		c							b .					(1.13)
							2			0						2			1
Вычитая равенство (1.13) из (1.12), приходим к нулевой линейной
комбинации системы векторов a0										c,			b0		c,				a1	, b1 :
	1	a	c	1			b		c					t1	a						t2		b ,
		a	c				b		c						a								b ,
		0			2		0								1							2	1
1					2								1									2
в которой коэффициенты				1		и				1		отличны от нуля, что говорит о
				1						2

линейной зависимости указанной четверки векторов.

Подставив формулу (1.13) в (1.10), а формулу (1.12) в (1.11), получим две системы линейных алгебраических уравнений:


a t		b	c	1	b			1		t				c a				,				(1.14)
a t		b	c		b					t	2			c a				,				(1.14)
1 1		0		2		1		2			2						0
				2				2
b t	2	a	c	2	a				2 t					c b								(1.15)
1	2	0				1					1						0
				1					1
относительно переменных				t ,		1		,				1			t			и	t		,	2	,
относительно переменных				t ,				,							t	2		и	t	2	,	2	,
				1			2						2			2				2
							2						2									1

Таким образом, для того чтобы через точку, заданную вектором c , можно было провести единственную прямую, пересекающую две пря-

мые x a0 a1t и	x b0 b1t , необходимо и достаточно, чтобы чет-
верка векторов a0	c,	b0 c,	a1,	b1 была линейно зависима, а каж-
дая из двух троек a1,		b0 c,	b1	и a1, a0 c, b1 оказалась линейно
независима.
Полагая, например, 2 1 , находим путем решения системы (1.14)
значения t1, 1, t2	и вычисляем по формулам (1.10), (1.11) точки пе-

ресечения, а по формуле (1.13) – направляющий вектор искомой прямой.

Пример 2. Найдите прямую, проходящую через точку, заданную вектором c и пересекающую прямые x a0 a1t и x b0 b1t , и

найдите точки пересечения искомой прямой с двумя данными прямы-

ми, если c 8,			9,	11, 15 ;					a0		1,			0,		2,		1 ,	a1	1, 2,		1, 5 ;
b0 0, 1, 1, 1 , b1 2, 3, 2, 4 .
Решение. Поскольку
a0 c					7		9 9				16				1		2 1			5
b		c				8	8 12				14					0	5 2			19
0													~								~
	a					1	2 1				5		~			0	8 4 26				~
	a					1	2 1				5					0	8 4 26
		1				2	3 2				4					0	1 0			6
	b1					2	3 2				4					0	1 0			6
			1 2				1		5		1 2						1		5
				0 1			0 6					0			1		0 6
			~	0 1			0 6				~	0			1		0 6			;
				0 0			2 11					0 0					2 11
				0 0			4 22					0 0					0 0
				0 0			4 22					0 0					0 0
					a1			1			2 1						5
					b c				8		8 12						14	~
						0
						b			2		3 2						4
						1
										10

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]