Сборник задач по аналитической геометрии. Учебное пособие

Директрисами гиперболы с каноническим уравнением (4.4) называются две прямые

Директрисы гиперболы пересекают основной прямоугольник и проходят между центром и соответствующей вершиной гиперболы

(рис. 4.2).

Отношение фокального радиуса ri точки M гиперболы к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу Fi директрисы

равно эксцентриситету этой гиперболы (фокус и директриса счи-

таются соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра гиперболы).

Параболой (рис. 4.3) называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F (фокуса параболы) этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой (директрисы параболы), также расположенной в рассматриваемой плоскости.

Рис. 4.3

Выберем начало О прямоугольной системы координат в середине отрезка FD, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису (предполагается, что фокус не принадлежит директрисе), а оси OХ и OY направим так, как показано на рис. 4.3.

41

Пусть длина отрезка FD равна p. Тогда в выбранной системе коорди-

Величина p называется параметром параболы.

Парабола имеет ось симметрии, которая называется осью параболы. Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы. Если парабола задана своим каноническим уравнением (4.6), то осью параболы является ось OХ. Очевидно, вершиной параболы является начало координат.

Пусть M = (x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда расстояние dM от точки М до директрисы 2x y 10 0 по формуле (1.8) равно

42

Пример 2. Кривая задана уравнением

5x2 4xy 8y2 32x 56 y 80 0

в прямоугольной системе координат. Найдите каноническую систему координат и каноническое уравнение этой кривой. Определите тип кривой.

Решение. Квадратичная форма 5x2 4xy 8y2 имеет матрицу

43

Ее характеристический многочлен

имеет корни 1 = 4 и 2 = 9. Следовательно, в ортонормированном базисе из собственных векторов матрицы А рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид

4x2 9 y2 .

Перейдем к построению матрицы ортогонального преобразования переменных, приводящего рассматриваемую квадратичную форму к указанному каноническому виду. Для этого будем строить фундаментальные системы решений однородных систем уравнений

A i I 0 и ортонормировать их. При i 4 эта система имеет вид

1 2 2 0,2 1 4 2 0.

Ее общим решением является 2 2 , 2 Т . Здесь одна свободная переменная. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного вектора, например, из вектора e1 2, 1 Т . Нормируя его, получим вектор

e1 15 2, 1 Т .

При i 9 также построим вектор

e2 15 1, 2 Т .

44

Векторы e1 и e2 уже ортогональны, так как относятся к различным

собственным значениям симметричной матрицы А. Они составляют канонический ортонормированный базис данной квадратичной формы. Из столбцов их координат строится искомая ортогональная матрица (матрица поворота)

и запишем уравнение данной кривой в новой прямоугольной системе координат со старым центром и направляющими векторами е1, е2 :

где x x 15 , y y 85 .

Получили каноническое уравнение эллипса

В силу того, что результирующее преобразование прямоугольных координат определяется формулами

каноническая система координат O, e1, e2 имеет начало O 2, 3 и

направляющие векторы e1 15 2, 1 Т , e2 15 1, 2 Т .

Пример 3. Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой

x2 2xy y2 6x 4 y 3 0 .

Решение. Поскольку

1 1 2 0 1 1

46

и

в соответствии с табл. 4.1 заключаем, что это – гипербола.

Так как s = 0, характеристический многочлен матрицы квадратичной формы x2 2xy y2

det A I 2 s 2 2 .

через начало координат.

4.2. Выясните, на какой из координатных осей расположены центры окружностей:

а) x2 y2 2x 8 0 ;

б) x2 y2 3y 2 0 .

47

4.3. Выясните, имеют ли прямая x 3 и окружность x2 y22x 15 0 общую точку.

4.4. Для эллипсов 25x2 9 y2 225 и 9x2 25y2 225 найдите:

а) полуоси; б) фокусы;

в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.

4.5. Составьте уравнения эллипса, зная его фокус F1 2, 0 , соот-

ветствующую директрису x = 8 и эксцентриситет 12 . Найдите вто-

рой фокус и вторую директрису эллипса.

4.6. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (1, 0) и (0, 1), а большая ось равна двум.

4.7. Эллипс касается оси OY в точке A(0, 5) и пересекает ось OX в точках B(5, 0) и C(11, 0) . Зная, что оси эллипса параллельны координатным осям, составьте уравнение этого эллипса.

4.8. На эллипсе x2 y2 1 найдите точки, расстояния которых от

36 11

левого фокуса больше расстояний от правого фокуса в три раза.

4.9. Запишите уравнение окружности, проходящей через точки

4.10.Определите траекторию точки M , которая движется так, что

еерасстояние от дочки A(4, 0) остается вдвое меньше расстояния от

точки B( 8, 0) .

4.11. Дана гипербола x2 y2 1. Найдите: 25 144

а) полуоси a и b; б) фокусы; в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

4.12. Дана гипербола x2 y2 1. Найдите: 225 64

48

а) полуоси а и b; б) фокусы; в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

4.13. Определите, на какой из координатных осей находятся фокусы гиперболы:

2x y 1 0 . Составьте уравнение этой гиперболы.

4.15. Вычислите площадь треугольника, образованного асимптота-

ми гиперболы x2 y2 1 и прямой x 1 .

4.16. Составьте уравнение параболы, если даны ее фокус F 2, 1 и директриса x y 1 0 .

4.17. Даны вершина параболы A 2, 1 и уравнение директрисы 2x y 2 0 . Составьте уравнение этой параболы.

4.18. Запишите уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой x y 0 и окружности

x2 y2 4x 0 и симметрична относительно оси OY .

4.19. Составьте уравнение параболы, фокус которой находится в точке

идиректриса задана уравнением 3x 3y 8 0 .

4.20.Составьте уравнение кривой второго порядка, зная ее эксцен-

4.21. Определите тип кривой второго порядка, составьте ее каноническое уравнение и найдите каноническую систему координат:

а) 2x2 4xy 5y2 8x 2 y 9 0 ; б) 4xy 3y2 4x 10 y 6 0 ;

в) 9x2 24xy 16 y2 8x 19 y 4 0 ;

г) x2 xy y2 x y 0 ;

д) x2 2xy y2 10x 6 y 25 0 ; е) 5x2 12xy 10 y2 6x 4 y 1 0 ;

ж) 8x2 34xy 8y2 18x 18y 17 0 ; з) 25x2 30xy 9 y2 68x 19 0 ;

и) 4x2 12xy 9 y2 8x 12 y 5 0 ;

к) 15x2 24xy 15y2 30x 24 y 20 0 ; л) 15x2 16xy 15y2 62x 44 y 13 0 .

4.22. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением

34x2 24xy 41y2 44x 58y 1 0 ,

является эллипсом. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей и директрис.

4.23. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением

7x2 48xy 7 y2 62x 34 y 98 0 ,

является гиперболой. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этой гиперболы, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей, директрис и асимптот.

4.24. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением x2 2xy y2 x 0 ,

является параболой. Найдите параметр этой параболы, координаты вершины и фокуса, составьте уравнения оси и директрисы.

50