Сборник задач по аналитической геометрии. Учебное пособие

n

ui xi x0i 0 ,

(2.5)

i 1

которое еще называется общим уравнением плоскости.

Гиперплоскость, проходящая через точку

M 0 x01, x02 , ..., x0n

параллельно подпространству L ,

порожденному линейно независи-

мыми

векторами

a1 a11,

a12 , ..., a1n ,

a2 a21

, a22 ,

..., a2n ,...

..., an 1

an 1,1, an 1,2 , ..., an 1, n , задается уравнением

x1 x01

a11

a21

... an 1,1

x2 x02

a12

a22

... an 1,2

0 .

(2.6)

...

... ... ... ...

xn x0n

a1n

a2n

... an 1,n

Гиперплоскость,

проходящая

через

n

точек

M0 x01,

x02 ,...

..., x0n , M1 x11

,

x12 ,

..., x1n , …, M n 1

xn 1,1, xn 1,2 ,

..., xn 1, n ,

определяющих

систему

линейно

независимых

векторов

n 1 , задается уравнением

M0Mi

, i 1, 2, ...,

x1 x01

x11 x01

...

xn 1,1 x01

x2 x02

x12

x02

...

xn 1,2 x02

0 .

(2.7)

...

...

...

...

xn x0n

x1n x0n

...

xn 1,

n x0n

Необходимым

и достаточным условием

того,

что

n 1

точка

M0 , M1, ..., Mn аффинного пространства n лежит на одной гиперплос-

, i 1, 2, ..., n.

кости, являетсялинейнаязависимостьвекторов M 0Mi

Угол между двумя плоскостями с векторами нормалей u1 и u2

определяется как угол между двумя векторами u1 ,

u2 , не превышаю-

щий , и вычисляется по формуле

2

21

cos

(u1, u2 )

.

(2.8)

u

u

2

1

Расстояние от точки M с радиусом-вектором x

до плоскости,

u,

x v

.

(2.9)

u

v1 v2

.

(2.10)

u

кости:

2x y 4z v 0 . Для нахождения

v воспользуемся соотно-

шением (2.9), в котором 21,

u 2, 1,

4 , x 1, 2,

0 . Полу-

чим

4 v

21 ,

21

откуда

4 v

21 и v 17 либо v 25 . Следовательно, существуют

две плоскости с общими уравнениями 2x y 4z 17 0

и 2x y

4z 25 0 , удовлетворяющими условию данной задачи.

22

проходящей

через

точку

M 2, 1,

3

параллельно

плоскости

x 2 y 3z 1 0 .

Решение. Считая систему координат ортогональной, найдем

направляющие

векторы

a1, a2

искомой

плоскости из

условия

u,

ai 0, i 1,

2 ,

где u 1, 2,

3 . Пусть

ai ai1

, ai2

,

ai3 . То-

гда

u,

ai ai1 2ai2 3ai3

0 .

Отсюда

ai

3ai3

2ai2 ,

ai2 , ai3 .

Выбирая

последовательно

для

i 1 ai2

1,

ai3 0 ,

а

для

i 2 ai2

0,

ai3 1,

получаем a1

2,

1,

0 ,

a2 3, 0, 1 ,

что

позволяет

x 2

2t1 3t2 ,

t1,

y 1

t2.

z 3

Пример 3. Вычислите расстояние от точки P 1, 3, 0 до плоско-

сти, проходящей через точки A 3,1, 3 , B 0, 3,

5 ,

C 6,

3, 0 .

x 3

3

3

6 x 3 12 z 3 6 y 1 6 z 3

y 1

2

4

z 3

2

3

8 x 3 9 y 1 2x 3y 6z 21 0.

Искомое

расстояние

вычислим

по формуле (2.9), в которой

u 2,

3,

6 , x 1, 3,

0

и v 21 . Получим

2 9 21

28 4 .

4 9 36

7

23

x

x

2x

3x

4

1,

1

2

3

x1 2x2 x3 2x4 3,

x

x

4x

5x

4

3.

1

2

3

ее общее решение xн

методом Гаусса.

общ

1

1

2

3

1

1

1

2

3

1

1

1

2

3

1

1

2

1

2

3

~

0

1

1 1

2

~

0

1

1

1

2 .

1

1

4

5

3

0

2

2

2

4

0

0

0

0

0

xн

1, 2, 0, 0 Т

3x

4x ,

x

x , x , x

Т

общ

3

4

3

4

3

4

1, 2, 0, 0 Т 3,

1, 1, 0 Т x

4, 1, 0, 1 Т x ,

3

4

представляющее искомое

параметрическое

уравнение

плоскости

x x0 a1t1 a2 t2 , в котором

x0 1,

2, 0,

0 ,

a1 3,

1, 1,

0 и

a2 4, 1, 0, 1 .

24

ку

A 3, 2,

1

перпендикулярно вектору u 1,

2, 1 .

2.2. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через точ-

ку

M 9,

3,

2 параллельно двум векторам

a 2, 1,

2 и

ки M 2, 3, 1 и P 1, 1, 3 параллельно вектору a 1,

2, 1 .

2.4. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через три

точки A 3, 1, 1 , B 2, 2,

2 ,

C 1,

2,

0 .

2.5. Составьте параметрическое уравнение плоскости:

а) проходящей через точку

A 1, 1,

2

параллельно векторам

a 2, 3, 1 и b 1, 1, 0 ;

3 парал-

б) проходящей через точки

A 1, 1,

1 ,

B 1, 2,

лельно вектору a 5,

3,

2 ;

в) заданной общим уравнением x 2 y 3z 1 0 .

2.6. Определите взаимное расположение плоскостей:

а) x 2 y z 2 0, 2x 4 y 2z 2 0;

б) x 2 y 3z 1 0, 2x 4 y 6z 2 0;

в) 2x 3y 2z 5 0, x y 5z 7 0 .

2.7. Найдите координаты точек пересечения плоскости

x 2 t v,

3 t 2v,

y

2t

v

z

2.9. Докажите, что точки A 3, 5, 1 , B 2,

4, 7 ,

C 1, 5, 3

и

D 4, 4,

5 лежат в одной плоскости.

B 2, 1, 1 ,

2.10. Проверьте, являются ли точки A 1,

2,

3 ,

C 1, 3,

1 и D 5, 3, 3

вершинами трапеции.

2.11.

Составьте уравнение

плоскости, проходящей через точку

A 1, 1,

1

перпендикулярно

двум плоскостям

x y z 5 0

и

2.14. Составьте уравнения плоскостей,

проходящих

через

точку

A 2, 3, 5 параллельно координатным плоскостям.

2.15. Запишите уравнение плоскости:

а) параллельной плоскости XOY и

проходящей

через

точку

A 3, 5,4 ;

B 2, 5, 6 .

2.16. При каких значениях параметра a плоскости x ay z 1 0

a3

и ax 9y

z 3 0 :

б) 2х 2 у z 3 0 и 2х 2 у z 18 0 ;

в) 3x 4z 1 0 и 6х 8z 1 0.

2.19. Составьте уравнения плоскостей,

а) параллельных плоскости

6x 3y 2z 5 0

и отстоящих от

нее на расстояние 3;

б) параллельных плоскости

x 3y z 11 0

и отстоящих от

нее на расстояние 3;

2x 2 y z 3 0

и отстоящих от

в) параллельных

плоскости

точки A (1, 2,

1) на расстояние 3;

г) параллельных плоскости 3x 4z 1 0 и отстоящих от начала

координат на расстояние 3.

2.20. Запишите уравнение

плоскости,

проходящей через точку

A 0, 5, 2 и удаленной от точки

B 1, 6,1

на расстояние 1 и от точки

а) х 4 у z 1 0

и х у z 3 0 ;

б) х 2 у 2z 0 и z 5 ;

в) x 3y z 1 0

и x 1 u, y 2 3u v, z 7 u v.

1

1

0

16

1

1

0

16

1

1

15

~

0

0

.

1

1

1

Отсюда z 1 , y – свободная переменная,

x 16 y

и параметриче-

ское уравнение данной прямой x 16 t, y t, z 1.

Отыщем точку пересечения А прямой с плоскостью:

3 16 t 2t 1 1 5t 46 0 t

46

34

,

46

,

5

A

5

5

1 .

Выберем на прямой x 16 t,

y t,

z 1

точку (0, 16, –1) и через

нее проведем прямую

x 3t,

y 16 2t,

z 1 t,

ортогональную

34

17

B

51

,

78

,

10

14

7

7

7

7

.

28

Проведем через точки А и В прямую. Поскольку

51

,

78

,

10

34

,

46

,

AB

7

7

7

5

5

1

17

,

68

,

17

17

1, 4, 5 ,

35

35

7

35

x

34

y

46

z 1

каноническое

уравнение искомой прямой

5

5

,

1

x 7

y 10

z

4

5

или

.

1

4

5

1

1

1

6

1

1

1

6

1

1

1

6

3

1

~

2

4

~

1

2

.

112

0

6

0

3

Отсюда z

свободная

переменная, y 3 2z, x 6 y z z 3 и

параметрическое уравнение данной прямой x 3 t,

y 3 2t,

z t.

2

d 2

2

d

AB

12t 20 и

AB

12 0, t

5 .

dt

dt2

3

Следовательно,

3

5

, 3

10

,

5

4

,

19

,

5

;

B

3

3

3

3

3

3

4 , 4 ,

4

4

AB

~ 1, 1, 1 ;

AB

3 3

3

3

и параметрическое уравнение прямой АВ x t,

y 5 t,

z 3 t.

Искомая точка С принадлежит прямой АВ и отстоит от прямой

x 3 t, y 3 2t, z t на расстояние

4

. Найдем координаты точ-

3

2 163 , x

ки С

при

помощи

соотношения

(1.8),

в котором

t,

5 t,

3 t , x0

3,

3, 0 , a 1,

2, 1 . Получим

3t2 8t 22

10

10

6

16

6

3

или 18t2 48t 0 .

t1 0 соответствует точке А,

Данное уравнение имеет два корня:

t2

8 – точке С. Таким образом,

3

8

, 5

8

, 3

8

8

,

23

,

1

C

3

3

3

3

3

.

3

мую

x 2

y 1

z 1

параллельно прямой

x 1

y

z 1

.

2

1

3

1

1

2

Решение. Воспользуемся формулой (2.6). Выбрав в качестве

M 0 2,

1, 1 , a1 2, 3, 1 , a2 1,

1, 2 ,