Сборник задач по аналитической геометрии. Учебное пособие

x 2 4 y 1 7x 3y 5z 12 0.

Взадачах, требующих вычисления скалярных произведений, предполагается, что система координат прямоугольная.

3.1. Проверьте, лежит ли данная прямая в плоскости x 3y

z 1 0 , параллельна этой плоскости или пересекает ее в единствен-

ной точке; в последнем случае найдите координаты точки пересечения. Прямая задана уравнениями:

а) пересекает плоскость 3a2 x ay z 4a 0;

б) параллельна этой плоскости; в) лежит в этой плоскости.

3.3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую

6x 17 y 11z 19 0,

5x y z 4 0

параллельно вектору a 2, 3, 1 .

3.4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

прямую

32

3x 5y 5z 27 0,

x 5y 5z 9 0.

3.15.Точка А лежит на прямой

x1 y z 1 . 2 3 1

3.20.Точка А лежит на прямой

x y 3 0,2 y z 0.

M 0,1, 2 и от плоскости 6x 3y 2z 9 0 .

3.23. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения трех плоскостей 2x y z 1 0 , x 2z 4 0 , x y 0

через начало координат и через точку M 7,1, 2 .

3.24. Запишите уравнение плоскости, проходящей через прямую

x y 3 0,6 y 1 0

ипересекающей другую прямую x1 1 1y z 4 1 под углом 45 .

3.25.Составьте каноническое уравнение прямой, лежащей в плоскости XOZ , проходящей через начало координат и перпендикулярную

и перпендикулярную данной прямой.

34

ГЛАВА 4

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Установим на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени

Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетво-

ряют уравнению (4.1), называется кривой (линией) второго порядка.

Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов:

1)x2 y2 1, a b 0 (эллипс); a2 b2

2)x2 y2 1, a b 0 (мнимый эллипс); a2 b2

3)x2 y2 0 (пара мнимых пересекающихся прямых); a2 b2

4)x2 y2 1 (гипербола); a2 b2

5)x2 y2 0 (пара пересекающихся прямых); a2 b2

6)y2 2 px, p 0 (парабола);

7)y2 a2 0, a 0 (пара параллельных прямых);

8)y2 a2 0, a 0 (пара мнимых параллельных прямых);

9)y2 0 (пара совпадающих прямых).

35

Уравнения 1)–9) называются каноническими уравнениями кри-

вых второго порядка.

Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду включает нахождение канонического уравнения кривой и канонической системы координат. Приведение к каноническому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее расположение относительно исходной системы координат. Переход от

исходной прямоугольной системы координат O, e1, e2 к канонической O, e1, e2 осуществляется путем поворота осей исходной систе-

мы координат вокруг точки О на некоторый угол и последующего параллельного переноса системы координат.

Инвариантами кривой второго порядка (4.1) называются такие функции от коэффициентов ее уравнения, значения которых не меняются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой такой же системе.

Для кривой второго порядка (4.1) сумма коэффициентов при квадратах координат

s a11 a22 ,

определитель, составленный из коэффициентов при старших членах,

и определитель третьего порядка

a11 a12 a1a12 a22 a2 a1 a2 a

являются инвариантами.

Значение инвариантов s, , можно использовать для определения типа и составления канонического уравнения кривой второго порядка

(табл. 4.1).

36

Таблица 4.1

Классификация кривых второго порядка, основанная на инвариантах

Рассмотрим подробнее эллипс, гиперболу и параболу.

Эллипсом (рис. 4.1) называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек

F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть вели-

чина постоянная (бо´льшая, чем расстояние между фокусами). При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Рис. 4.1

Полусумму расстояний от точки эллипса до его фокусов обозначают через а, половину расстояний между фокусами – с. Если прямо-

37

угольная система координат на плоскости выбрана так, что фокусы эллипса располагаются на оси Оx симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат эллипс задается уравнением

При указанном выборе прямоугольной системы координат эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат. Оси симметрии эллипса называют его осями, а центр его симметрии – центром эллипса. Вместе с тем часто осями эллипса называют числа 2a и 2b, а числа a и b – большой и малой полуосью соответственно.

Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса. Вершины эллипса имеют координаты (а, 0), (–а, 0), (0, b), (0, –b).

Эксцентриситетом эллипса называется число

Поскольку 0 c < a, эксцентриситет эллипса 0 < 1, причем у окружности = 0. Перепишем равенство (4.3) в виде

1 b 2 .

a

Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении эллипс становится более вытянутым.

Пусть M x, y – произвольная точка эллипса, r1 F1, M и r2 F2 , M – расстояния от точки М до фокусов F1 и F2 соответ-

ственно. Числа r1 и r2 называются фокальными радиусами точки М эллипса и вычисляются по формулам

r1 a x, r2 a x .

Директрисами отличного от окружности эллипса с каноническим уравнением (3.2) называются две прямые

38

x a , x a .

Директрисы эллипса расположены вне эллипса (рис. 4.1).

Отношение фокального радиуса ri точки M эллипса к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу Fi директрисы равно

эксцентриситету этого эллипса (фокус и директриса считаются

соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра эллипса).

Гиперболой (рис. 4.2) называется геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксиро-

ванных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами гипер-

болы, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Пусть расстояние между фокусами равно 2с, а указанный модуль разности расстояний равен 2а. Выберем прямоугольную систему координат так же, как и для эллипса. В этой системе координат гипербола

Рис. 4.2

39

При данном выборе прямоугольной системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Оси симметрии гиперболы называют ее осями, а центр симметрии – центром гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b, расположенный, как показано на рис. 3.2, называется основ-

ным прямоугольником гиперболы. Числа 2a и 2b – оси гиперболы, а

числа a и b – ее полуоси. Прямые, являющиеся продолжением диагоналей основного прямоугольника, образуют асимптоты гиперболы

y ba x .

Точки пересечения гиперболы с осью OХ называются вершинами гиперболы. Вершины гиперболы имеют координаты (а, 0), (–а, 0).

Эксцентриситетом гиперболы называется число

Поскольку с > a, эксцентриситет гиперболы > 1. Перепишем равенство (4.5) в виде

1 b 2 .

a

Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму основного прямоугольника и, следовательно, форму самой гиперболы: чем мень-

ше , больше вытягивается основной прямоугольник, а вслед за ним и сама гипербола вдоль оси OХ.

Пусть M x, y – произвольная точка гиперболы, r1 F1, M и r2 F2 , M – расстояния от точки М до фокусов F1 и F2 соответ-

ственно. Числа r1 и r2 называются фокальными радиусами точки М гиперболы и вычисляются по формулам