Сборник задач по аналитической геометрии. Учебное пособие

имеет корни 1 25, 2 3 0 . При каждом i будем строить фундаментальную систему решений систем уравнений A i I 0 и

ортонормировать их.

При i 25 эта система имеет вид

25 1 0,16 2 12 3 0,12 2 9 3 0.

менную. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения, например из решения e1 0, 3, 4 Т . Нормируя его, полу-

чим e1 15 0, 3, 4 Т .

При i 0 рассматриваемая система имеет вид

9 2 12 3 0,12 2 16 3 0.

менные. Поэтому фундаментальная система решений состоит из двух решений, например из решений e2 1, 0, 0 Т и e3 0, 4, 3 Т . Поскольку e2 и e3 выбраны ортогональными друг к другу (в противном

случае требовалось применение процедуры ортогонализации Грама– Шмидта), остается их лишь нормировать. После нормировки получим

e2 1, 0, 0 Т , e3 15 0, 4, 3 Т .

Из столбцов координат векторов e1, e2 , e3 составим матрицу перехода Р к новому ортонормированному базису

61

и запишем уравнение данной поверхности в новой прямоугольной системе координат со старым центром О и направляющими векторами

e1, e2 , e3 :

25x2 10x 5y 5z 11 25 x2 2 x 5y 5z 11

5

62

z x y z .

При этом коэффициенты , , выберем так, чтобы матрица формул

рассматриваемого преобразования координат была ортогональной, т. е. чтобы векторы-строки

составляли ортонормированную систему векторов. Так как система векторов a1, a2 ортонормированная, то координаты вектора a3 следу-

ет искать из условий

это, получим

63

0, 12 , 12 .

Следовательно, формулы рассматриваемого преобразования координат имеют вид

x x 15 ,

z 12 y 12 z ,

или

x x 15 ,

y 12 y 12 z 1, z 12 y 12 z 1.

В новых координатах рассматриваемая поверхность имеетуравнение

Это – каноническое уравнение параболического цилиндра в прямо-

угольной системе координат O, e1, e2 , e3 . Поскольку

В задачах этого параграфа рассматриваются только прямоугольные системы координат.

5.1. Семейство поверхностей задано уравнением, содержащим произвольный параметр . Определите тип поверхности при всевозможных :

а) x2 y2 z2 ; б) x2 y2 z2 1; в) x2 y2 z2 ;

65

г) x2 y2 z2 ; д) x2 y2 z2 ;

е) x2 y2 z2 1; ж) x2 y2 z2 ;

з) x2 y2 z ; и) x2 y2 z ;

к) x2 y2 z ;

л) x2 y2 z ; м) x2 y2 z 1; н) x2 y2 ;

о) x2 y2 .

5.2. а) Сечения поверхности x2 2 y2 3z2 1 0 плоскостями

x 0 , x 1 , x 2 спроектированы на плоскость OYZ. Изобразите проекции.

б) Сечения поверхности x2 2 y2 3z2 0 плоскостями x 1, x 0 , x 1 спроектированы на плоскость OYZ. Изобразите проекции.

б) Сечения тех же поверхностей плоскостью z 1 спроектированы на плоскость OXY. Изобразите проекции.

5.4. По какой линии плоскость x y z 3 0 пересекает следующую поверхность:

а) z 4 y2 6x 15 ;

б) z x2 3y2 1 ; в) 2xy 15x 30 0 ;

г) x2 y2 2z2 2xy 2z 0 ;

д) 4x2 y2 2xz 6z 1 0 ?

5.5. Установите, что плоскость x 4 0 пересекает эллипсоид

x2 y2 z2 1 64 48 16

по эллипсу, и найдите его вершины и полуоси.

5.6. Найдите параметр и вершину параболы, получающейся в пересечении плоскости y 12 0 и гиперболического параболоида

x2 y2 6z . 10 8

5.7. Покажите, что плоскость y 3 пересекает однополостный гиперболоид

x2 y2 z2 1 10 18 4

по гиперболе. Найдите полуоси и вершины этой гиперболы.

5.8. Определите, лежит ли точка A(1,1,1) внутри или вне эллипсои-

да x2 2 y2 3z2 4 .

а вершина находится в точке A(0, 3,4) . Составьте уравнение конуса.

67

5.11.Определите тип поверхности в зависимости от параметра x2 2y2 3z2 4xy 6xz 2x 4 y 6z 0

5.12.Приведите уравнения к каноническому виду при помощи перехода к новой прямоугольной системе координат и выясните расположение относительно исходной прямоугольной системы координат следующих поверхностей второго порядка:

а) 2x2 2 y2 3z2 4xy 2xz 2 yz 2x 2 y 16z 53 0 ;

б) xy xz yz 2 2x 2 2 y 2 2z 100 0 ;

в) x2 4 y2 z2 4xy 2xz 4 yz 2x 6 y 6z 0 ;

г) 4x2 6y2 4z2 4xz 8y 4z 3 0 ;

д) 5x2 7 y2 6z2 4xz 4 yz 10x 14 y 8z 6 0 ;

е) x2 5y2 z2 2xy 6xz 2 yz 2x 0 ;

ж) 8x2 4y2 4z2 4xy 4xz 10yz 12x 24 y 24z 9 0 ; з) 18x2 32z2 40xy 48xz 30 yz 20x 100 y 140z 250 0 ; и) 2x2 y2 2z2 2xy 2 yz x 4 y 3z 2 0 ;

к) 72 x2 72 y2 8z2 5xy 4xz 4yz 8x 8y 4z 36 0 ;

л) 17x2 17 y2 11z2 16xy 8xz 8yz 2x 34 y 44z 57 0 ; м) 11x2 2 y2 5z2 4xy 16xz 20 yz 22x 68y 34z 62 0 ;

н) 4x2 y2 4z2 4xy 8xz 4 yz 14x y 8z 30 0 ; о) xy xz yz 2x 2 y 2z 0 ;

п) y2 2xy 4xz 2 yz 4x 2 y 0 ;

р) 3x2 12 y2 27z2 12xy 18xz 36 yz 3x 6 y 9z 18 0 .

68

1.8.arctg 89 , arctg 43 , arctg 3 .

1.9.2x y 7 0 , 5x 3y 1 0 , 3x 4 y 16 0 .

1.10.3x y 2 0 , x 3y 2 0 .

1.11.1, 1 .

1.12. Стороны: 3x 4 y 32 0 , 3x 4 y 7 0 , 4x 3y 24 0 , 4x 3y 1 0 ; диагональ: x 7 y 31 0 .

1.13.2x 3y 19 0 , 8x 11y 7 0 , 2x 3y 27 0 , 8x 11y 39 0 .

1.14.M1 12, 5 .

69

1.15.2x 7 y 5 0 .

1.16.2x 3y 5 0 .

1.17.M (5, 7) .

1.18.77x 33y 133 0 .

1.19.91x 26 y 2 0 .

1.20.P 17 , 21 .

2 4

1.21.(3, 11).

1.22.M1 3,5 , M 2 37, 45 .

1.23.3x y 1 0 , 3x y 21 0 .

1.24.7x y 4 0 , x 7 y 6 0 .

1.25.y 1 0 .

1.26.x2 6 y 9 0 .

1.27.y2 8x 16 0 .

1.28.5x 3y 17 0 .

1.29.6x 8y 45 0 .

1.30.а) параллельны;

б) пересекаются в точке (–3, 5, –5).

1.31. а) a = 3;

1.33.A 1, 3, 2 .

1.34.x 72 8t, y 55 7t, z t .

1.35.а) 90°;

б) 0.

70