Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии и изгибе. Учебное пособие

На построенных эпюрах можно наглядно проследить

ивыполнение отмеченных выше свойств эпюр М и Q:

–на незагруженных участках DE, EC и CK ординаты на эпюре Q постоянны;

–в сечении Е, где приложен сосредоточенный момент М = 8 кНм, эпюра М делает скачок на величину этого момента;

51

–в сечениях В, С и К, где приложены сосредоточенные силы (VВ, VС и F), на эпюре Q получаются скачки на величины этих сил соответственно, а на эпюре М – изломы, вершины которых направлены в сторону действия соответствующей силы;

–на участке BD, загруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра М выражается параболой, выпуклость которой обращена в сторону действия нагрузки (вниз), а на эпюре Q имеет наклонную прямую;

–на участке BD при x1 = 1,5 м изгибающий момент достигает максимума (с учетом знака), а Q1 = 0.

3.3.4. Подбор размеров поперечного сечения

По построенной эпюре М (рис. 18, г) определяем максимальный расчетный изгибающий момент:

Mmax = 20 кНм. Требуемый момент сопротивления сечения

По таблице сортамента (ГОСТ 8239–89) принимаем двутавр № 16, для которого Wz =109 см3, Iz = 873 см4.

Наибольшее нормальное напряжение в сечении двутавра будет

что меньше R = 235 МПа, а следовательно, условие прочности (15) выполняется.

3.3.5. Определение прогиба в сечении K

Для определения прогиба (перемещения точки K) необходимо построить в заданной балке две эпюры изгибающих моментов: грузовую эпюру МF (которая уже была построена на

52

53

Определение опорных реакций

Построение единичной эпюры М1

Сечение 1–1. (0 ≤ х1 ≤ 6 м). Рассматривается равновесие левой отсеченной части (рис. 19, в):

Сечение 2–2. (0 ≤ х2 ≤ 2 м). Рассматривается равновесие правой отсеченной части (рис. 19, в):

M 2 = M 2 = F1 x2 =1 x2 ;

По полученным значениям строится единичная эпюра моментов М1 (рис. 19, г).

Для того чтобы определить прогиб в точке K, необходимо перемножить грузовую эпюру моментов МF (рис. 19, а) на единичную эпюру М1 (рис. 19, г).

Для перемножения указанных двух эпюр разбиваем балку на четыре участка АС, СД, ДВ и ВК, в пределах которых эпюра М1 изменяется по линейному закону.

54

Грузовая эпюра моментов разбивается на простые фигуры, определяются их площади и положения центров тяжести. На единичных эпюрах определяются ординаты под центром тяжести каждой фигуры грузовой эпюры (рис. 20):

Определяется прогиб в заданной точке по формуле

k = EJ1 M1M F ds = EJ1 (−ω1 yC1 + ω2 yC 2 + ω3 yC3 + +ω4 yC 4 + ω5 yC5 + ω6 yC 6 + ω7 yC 7 ) = EJ1 (− 21, 33 0, 67 +

+16 0,89 + 5 1,56 + 8 1,5 + 5 1,89 +10 1,84 +10 1,33) =

Знак «+» означает, что направление перемещения точки К совпадает с направлением единичной силы (точка К перемещается вниз).

55

3.3.6. Определение угла поворота сечения К

Для определения угла поворота (перемещения точки K) необходимо построить в заданной балке две эпюры изгибающих моментов: грузовую эпюру МF (которая уже была построена на рис. 18, г и используется на рис. 19, а) от действия заданной нагрузки и единичную эпюру М2 [16].

Единичная эпюра М2 строится от действия на балку еди-

__

ничного момента M =1, приложенного в заданном сечении K

(рис. 20, б).

Определение опорных реакций

M B = 0; −VА 6 − M = 0 ;

VA = − M6 = − 16 = −0,17.

M A = 0; VB 6 − M = 0 ;

VB = M6 = 16 = 0,17.

Проверка: Y = 0; VA +VB = 0 ;

− 0,17 + 0,17 = 0; 0 = 0.

Построение единичной эпюры М2

Сечение 1–1. (0 ≤ х1 ≤ 6 м). Рассматривается равновесие левой отсеченной части (рис. 21, в):

M1 = M1 = VA x1 = −0,17x1;

лев

Сечение 2–2. (0 ≤ х2 ≤ 2 м). Рассматривается равновесие правой отсеченной части (рис. 21, в):