Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии и изгибе. Учебное пособие

Сечение считается рационально подобранным, если недонапряжение, т. е. перерасход материала, не превышает 5 % [14]. В этом случае конструкция не только достаточно прочная, но и экономически выгодная. Отметим, что ограниченность сортамента прокатной стали, конструктивные и технологические требования не всегда позволяют запроектировать рациональное сечение.

2.5.6. Определение деформаций стержней

Абсолютное и относительное удлинения первого стержня:

Абсолютное и относительное укорочения второго стержня:

2.5.7. Определение перемещения грузового узла

Предполагаемые направления составляющих полного перемещения узла С – u и v, параллельных осям х и у соответственно, показаны на рис. 8.

Установим геометрические зависимости между перемещениями u и v и деформациями стержней l1 и l2 .

Раздельно спроецируем u и v на направления стержней 1 и 2 (рис. 8), проведя оси х1 и х2 из рассматриваемой точки С в следующей последовательности:

31

– из шарнира С откладываем удлинения l1u = l1 , получа-

ем отрезок СС1. Из точки С1 проводим перпендикуляр к отрезку СС1 до пересечения с горизонтальной осью х. В результате получаем отрезок u =СС3 и точку С3 (рис. 8, а).

– из шарнира С откладываем l2u = – l2 . Проводим пер-

пендикуляр к полученному отрезку СС2, так чтобы он пересекся в точке С3.

Из рис. 8, a видно, что стержень 1 удлиняется на l1u до точки С1, а стержень 2 укорачивается на l2u до точки С2. Следовательно

l1u = u sin и l2u = −u sin . (7)

Аналогично спроецируем стержни 1 и 2 на ось у. Отметим удлинение стержней (т. С4, С5). Возьмем перпендикуляры с этих точек к удлинениям стержней так, чтобы они пересеклись в точке C6 на вертикальной оси у.

Из рис. 8, б видно, что оба стержня удлиняются на l1v и l2v до точек С4 и С5 соответственно.

l1v = v cos и l2v = v cos . (8)

На основании принципа независимости действия сил получаем уравнения совместности деформаций стержней:

откуда u = 4,807 мм; v = 0,627 мм.

Если из решения системы уравнений (9) компоненты перемещений получатся со знаком «минус», то на самом деле они будут направлены в стороны, противоположные выбранным. Очевидно, что полное перемещение узла С– будет равно геометрической сумме горизонтального u и вертикального v

перемещений: = u2 + v2 = 4,8072 + 0,6272 = 4,85 мм.

32

Рис. 8. Схема деформаций стержней

33

3. ИЗГИБ

3.1. Задачи № 3 и 4

Для заданных двух схем балок (рис. 9 и 10) требуется:

−записать выражения для изгибающих моментов М и поперечных сил Q для каждого участка в общем виде и построить эпюры М и Q;

−подобрать из условия прочности при изгибе для схемы рис. 9 стальную балку двутаврового сечения при R = 235 МПа, для схемы рис. 10 – деревянную балку круглого поперечного сечения при R = 13 МПа;

−определить прогиб и угол поворота сечения К консольной балки (рис. 9).

Для выполнения задач № 3 и 4 используйте данные из табл. 3

ивыберете схемы по рис. 9 и 10 соответственно. Номер схемы соответствует порядковому номеру студента в журнале группы.

Таблица 3

34

3.2. Расчеты на прочность и жесткость при изгибе

В зависимости от способов приложения нагрузки и способов закрепления стержня могут возникать различные виды изгиба. Если все нагрузки лежат в одной плоскости, и эта плос-

39

кость проходит через одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения стержня, то имеет место плоский (прямой) изгиб. В случае, когда изгибающий момент (Mz или My) в поперечном сечении является единственным силовым фактором, а все остальные равны нулю, изгиб называется чистым. Если наряду с изгибающим моментом в поперечных сечениях возникают также и поперечные силы (Mz, Qy или My, Qz), то имеет место поперечный изгиб [16].

Стержень с прямолинейной осью, работающий на изгиб, называется балкой.

В задачах № 3 и 4 рассматриваются балки, загруженные внешней вертикальной нагрузкой, а поперечные сечения имеют вертикальную ось симметрии. В результате, в поперечных сечениях действуют изгибающие моменты Mz и поперечные силы Qy, т. е. имеет место поперечный изгиб.

При определении значений внутренних усилий в балках методом сечений будем пользоваться следующими правилами:

–Поперечная сила Qy считается положительной, если она направлена так, что стремится повернуть балку, относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки (рис.11, а).

–Изгибающий момент Mz считается положительным, если он изгибает элемент балки выпуклостью вниз, вызывая растяжение нижних волокон (рис. 12, а).

–Отрицательные величины Qy и Mz соответствуют противоположному направлению (рис. 11, б и рис. 12, б).

Рис. 11. Правило знаков для поперечных сил

40