Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии и изгибе. Учебное пособие

т. е. и после деформации стержни остаются соединенными в точке С. Тогда очевидно, что удлинение или укорочение каждого стержня можно найти по перемещению узла С. Следовательно, проекции полного перемещения узла С на направления стержней должны равняться деформациям этих стержней. При этом удобно проецировать на направления стержней не полный вектор перемещения , а его вертикальные и горизонтальные составляющие u и v, параллельные осям x и y соответственно.

2.4. Пример решения задачи № 1

2.4.1. Исходные данные для расчета стержня

Стальной ступенчатый стержень находится под действием продольных сил Fi (рис. 4, а).

ные значения нагрузок;

γf = 1,2 – коэффициент надежности по нагрузке [15]; l1 = l2 = l3 = 2 м ; A = 26 см2 ;

R = 235 МПа – расчетное сопротивление материала рас- тяжению-сжатию;

Е = 2·105 МПа – модуль упругости материала;

[u] = 2 мм – допустимая величина продольного перемещения сечений стержня.

2.4.2. Определение расчетных нагрузок

Расчетные нагрузки определяем следующим образом:

F1 = F1н f = 300 1, 2 = 360 кН; F2 = F2н f =1200 1, 2 =1440 кН; F3 = F3н f =1500 1, 2 =1800 кН.

21

Рис. 4. Расчетная схема колонны. Сечения колонны

2.4.3. Построение эпюры продольных сил

Для построения эпюры N проводим в пределах каждого участка произвольное поперечное сечение (рис. 4, а).

Сечение 1–1. ( 0 x1 2 м). Рассмотрим равновесие ниж-

ней отсеченной части (рис. 4, б) и спроецируем внешние и внутренние силы на продольную ось стержня:

X = N1 − F1 = 0 ,

отсюда N1 = F1 = 360 кH .

Следовательно, во всех поперечных сечениях первого участка возникает одинаковая растягивающая продольная сила, равная 360 кН.

Сечение 2–2. ( 0 x2 1 м). Рассмотрим равновесие ниж-

ней отсеченной части (рис. 4, в) и спроецируем внешние и внутренние силы на продольную ось стержня:

X = N2 − F1 = 0 ,

отсюда N2 = F1 = 360 кH .

Следовательно, во всех поперечных сечениях второго участка возникает одинаковая растягивающая продольная сила, равная 360 кН.

Сечение 3–3. ( 0 x3 1 м). Составляем уравнение равно-

весия сил для нижней части стержня (рис. 4, г):

X = N3 − F1 + F2 = 0 ,

отсюда N3 = F1 − F2 = 360 −1440 = −1080 кH .

Усилие получилось со знаком «минус», следовательно, выбранное направление продольной силы N3 (в сторону сечения 3–3) не совпадает с действительным, а само усилие N3 является сжимающим.

Сечение 4–4. ( 0 x4 1 м). Составляем уравнение равно-

весия сил для нижней части стержня (рис. 4, д):

X = N4 − F1 + F2 = 0 ,

отсюда N4 = F1 − F2 = 360 −1440 = −1080 кH .

23

Усилие получилось со знаком «минус», следовательно, выбранное направление продольной силы N4 (в сторону сечения 4–4) не совпадает с действительным, а само усилие N4 является сжимающим.

Сечение 5–5. ( 0 x5 1 м). Для определения продольной

силы в сечении 5–5 удобнее рассматривать равновесие верхней части, но при этом нужно было бы предварительно определить реакцию VС в жестко защемляющей опоре. Так как мы ее не находим, рассмотрим нижнюю часть (рис. 4, е), для которой уравнение равновесия запишется в виде

X = N5 − F3 + F2 + F1 = 0 ,

отсюда N5 = F3 − F2 + F1 =1800 −1440 + 360 = 720 кН.

По полученным значениям N1, N2, N3, N4 и N5 строим эпюру продольных сил (рис. 5, a).

2.4.4. Построение эпюры нормальных напряжений

Определим напряжения в поперечных сечениях стержня на каждом из пяти участков по формуле (1):

Участок 1

N1 = 360 кН; А1 = А = 26 см2;

σ1 = N1 = 360 103 =13,8 107 Па =138, 4 МПа.

А1 26 10−4

Участок 2

N2 = 360 кН; А2 = 2А = 52 см2;

σ2 = N2 = 360 103 = 6,92 107 Па = 69, 2 МПа.

А2 52 10−4

Участок 3

N3 = −1080 кН; А3 = 2А = 52 см2;

σ3 = N3 = −1080 10−3 = − 20, 77 107 Па = − 207, 7 МПа.

А3 52 10−4

24

По полученным значениям σ строим эпюру нормальных напряжений – эпюра σ (рис. 5, б).

Максимальное напряжение σmax = σ3 = 207,7 МПа меньше

расчетного сопротивления R = 235 МПа.

Отсюда следует, что условие прочности (2) выполняется.

2.4.5. Определение абсолютных продольных деформаций участков стержня

Определим абсолютные продольные деформации (удлинения или укорочения) в поперечных сечениях стержня на каждом из пяти участков по формуле по формуле (3):

Участок 1

25

Участок 4

2.4.6. Построение эпюры продольных перемещений

Определяем продольные перемещения сечений, расположенных на границах участков BD, DE, EK, KL и LC (рис. 5):

uC = 0 – сечение жестко защемлено;

uL = l5 = 0, 461 мм – сечение перемещается вниз;

uK = l5 + l4 = uL + l4 = 0, 461− 0, 692 = −0, 231 мм – се-

чение перемещается вверх;

uE = l5 + l4 + l3 = uK + l3 = −0, 231−1, 038 = −1, 269 мм − сечение перемещается вверх;

u D = l5 + l4 + l3 + l2 = uE + l2 = −1,269 + 0,346 =

= −0,923мм – сечение перемещается вверх;

uB = l5 + l4 + l3 + l2 + l1 = uD + l1 = −0,923 +1,385 =

= 0,462мм – сечение перемещается вниз.

Заметим, что перемещение концевого сечения стержня (точка В) равно абсолютной деформации всего стержня

5

l = li = 0, 452 мм. Следовательно, первоначальная длина

i=5

стрежня ( l = 6 м) увеличилась после деформации на 0,452 мм. По полученным значениям перемещений строим эпюру u

(рис. 5, в). Проверяем стержень на жесткость.

umax = uE =1,269 мм, что меньше u = 2 мм. Следовательно, условие жесткости (5) выполняется.

26

2.5. Пример решения задачи № 2

2.5.1. Исходные данные для расчета стержневой системы

К узлу стержневой системы приложена внешняя нагрузка F (рис. 6).

Стержни выполнены из стали Ст3; модуль упругости Е = 2·105 МПа; коэффициент надежности по нагрузке γf = 1,2. Стержень 1 выполнен из двух равнобоких уголков. Стержень 2 имеет прямоугольную форму сечения с отношением сторон 1:4.

a 0,4a

Рис. 6. Заданная расчетная схема

Числовые данные для расчета:

Fн = 200 кН – нормативная узловая нагрузка;

R = 235 МПа – расчетное сопротивление материала рас- тяжению-сжатию;

а = 2 м; = 40°; = 30°.

2.5.2. Определение расчетной нагрузки

Расчетная нагрузка определяется как произведение нормативной (заданной) нагрузки на коэффициент надежности по

нагрузке: F = F н γ f = 200 1, 2 = 240 кН.

28

2.5.3. Определение углов , β и длин стержней

Длины стержней и углы , β определяются, исходя из заданных параметров расчетной схемы:

sin = sin 40 = 0,6428; cos = cos 40 = 0,766; sin = sin 30 = 0,5 ; cos = cos30 = 0,866.

2.5.4. Определение продольных усилий в стержнях N1, N2

Для того, чтобы определить продольные усилия в стержнях, вырезается узел С и составляются два уравнения равнове-

2.5.5. Подбор размеров поперечных сечений стержней

Находим требуемые площади поперечных сечений стержней, которые определяются по формуле (6):

29

Первый стержень выполнен из двух равнобоких уголков. Требуемая площадь одного уголка Атр А1/2 = 9,41/2 = 4,705 см2.

По сортаменту (ГОСТ 8509−93) подбираем равнобокий уголок 50 50 5 − А = 4,8 см2.

Напряжение в первом стержне

прочности выполняется.

Второй стержень имеет поперечное сечение в форме прямоугольника с отношением сторон 1:4. Обозначим через b раз-

мер меньшей стороны прямоугольника, тогда A2 = b 4b = 4b2 . Находим размер стороны прямоугольника из условия:

2 = 232,5 МПа R = 235 МПа.

Следовательно, условие прочности выполняется. Недонапряжение составляет:

− для 1-го стержня: 235 − 230,4100 % =1,5 % 5 %; 235

− для 2-го стержня: 235 − 232,58 100 % =1,03 % 5 %. 235

30