Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии и изгибе. Учебное пособие

Рис. 1. Окончание (начало см. на с. 8, 9, 10)

11

2.2. Задача № 2

К узлу стержневой системы приложена нагрузка F (рис. 2). Нормативное значение нагрузки F н задано в табл. 2.

Стержни выполнены из стали Ст3; модуль упругости Е = 2·105 МПа; коэффициент надежности по нагрузке γf = 1,2 [15].

Стержень 1 выполнен из двух равнобоких уголков, а стержень 2 имеет прямоугольное поперечное сечение с отношением сторон 1:3.

Требуется:

– определить расчетную нагрузку и продольные силы

встержнях;

–подобрать размеры поперечных сечений стержней из условия прочности на растяжение-сжатие;

–определить абсолютные и относительные деформации стержней;

–определить перемещение грузового узла С.

Для выполнения задачи № 2 используйте данные из табл. 2 и выберете схему по рис. 2. Номер схемы соответствует порядковому номеру студента в журнале группы.

Таблица 2

12

Рис. 2. Расчетные схемы к задаче № 2 (продолжение и окончание см. на с. 14, 15)

13

2.3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии (задачи № 1, 2)

Центральным растяжением (или сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня действует только продольная сила N.

Для определения продольных сил используется метод сечений. Согласно этому методу, стержень (брус) в интересующем нас месте мысленно рассекается плоскостью, перпендикулярной к оси стержня, на две части. Одна из частей отбрасывается. Действие отброшенной части на оставшуюся заменяется равнодействующей продольной силой, действующей в положительном направлении. Величина равнодействующей продольной силы определяется из условия равновесия рассматриваемой части.

Принято считать продольную силу положительной, если она направлена от сечения (соответствует растяжению), и отрицательной (рис. 3), если она направлена к сечению (соответствует сжатию).

Рис. 3. Правило знаков для продольной силы

В задаче № 1 требуется построить эпюры продольных сил (эпюра N), нормальных напряжений (эпюра σ) и продольных перемещений поперечных сечений (эпюра u).

Эпюра – это график, показывающий, как изменяется ка- кой-либо фактор (например, внутреннего усилия) по длине стержня, в котором абсцисса соответствует местоположению

16

сечения на оси, а ордината показывает значение исследуемого фактора в данном сечении.

Для построения эпюры продольных сил стержень разбивается на участки. Затем в пределах каждого участка проводится секущая плоскость, в которой определяется продольная сила.

Величина продольной силы в произвольном сечении равна алгебраической сумме проекций на продольную ось стержня всех сил, расположенных с одной стороны от сечения. При этом, если внешняя нагрузка направлена от сечения, то в выражение продольной силы она входит со знаком «плюс». Если внешняя нагрузка направлена к сечению, то в выражение продольной силы она входит со знаком «минус».

При растяжении или сжатии в поперечных сечениях возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения [2, 8]:

где А – площадь поперечного сечения.

Знаки нормальных напряжений соответствуют знакам продольных сил. Нормальные напряжения при растяжении принимаются положительными (N > 0), а при сжатии – отрицательными (N < 0).

Согласно выражению (1), нормальное напряжение зависит от величины продольной силы, а также от размеров поперечного сечения. Поэтому для рассматриваемого в данной задаче ступенчатого стержня нормальные напряжения будут разными на участках, где или N, или А различны. Вследствие этого при построении эпюры нормальных напряжений границами участков являются не только точки приложения внешних сосредоточенных сил, включая опорную реакцию, но и места изменения размеров поперечных сечений. По построенной эпюре σ определяется максимальное по модулю нормальное напряжение – σmax .

17

Условие прочности при растяжении-сжатии по методу предельных состояний записывается в следующем виде:

где R – расчетное сопротивление материала растяжениюсжатию. Расчетное сопротивление материала – справочная величина, зависящая от механических характеристик материала и определяемая по строительным нормам и правилам.

При растяжении-сжатии на основе гипотезы плоских сечений поперечные сечения после деформации стержня занимают новые положения, параллельные своему первоначальному. Продольное перемещение исследуемого сечения зависит от того, относительно какого сечения вычисляется перемещение, поскольку величина перемещения представляет собой изменение расстояния между двумя сечениями. Обычно в качестве сечения, относительно которого определяются перемещения, принимают сечение, совпадающее с жестким защемлением (перемещение которого равно нулю).

Тогда перемещение произвольного сечения будет равно абсолютной деформации участка стержня, заключенного между опорой и сечением. Если в пределах этого участка величины N, E и А постоянны, то на основании закона Гука

где l – удлинение (укорочение) данного участка; N – продольная сила; l – длина участка; Е – модуль упругости материала.

Произведение ЕА называется жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении-сжатии, которая характеризует сопротивляемость стержня упругому деформированию в зависимости от свойств материала (Е) и размеров поперечного сечения (А).

18

В формулу (3) значение продольной силы подставляется со своим знаком, поэтому при растяжении l > 0, а при сжатии l < 0.

Если рассматриваемый участок стержня состоит из n участков, в пределах каждого из которых величины N, E и А постоянны, то

где i – номер участка.

Отметим, что при построении эпюры перемещений количество участков устанавливается точно так же, как и при построении эпюры σ.

Условие жесткости по методу предельных состояний

Здесь umaх – максимальное по модулю значение продольного

перемещения, которое определяется по построенной эпюре u;u – предельно допустимое значение перемещения, которое

устанавливается нормативными документами.

Для проверки правильности построенных эпюр используются их характерные свойства. В частности, эпюры N и σ имеют скачки в сечениях, где приложены сосредоточенные силы. Кроме того, для ступенчатого стержня эпюра σ имеет дополнительные скачки в местах изменения размеров поперечных сечений. На участках, где отсутствует распределенная нагрузка, ординаты на эпюрах N и σ постоянны, а на эпюре u изменяются по линейному закону.

Решение задачи № 2 начинается с определения продольных сил в стержнях стержневой системы – N1 и N2, которые можно найти из двух уравнений равновесия, составленных для

19

вырезанного узла, где приложена внешняя нагрузка. При этом оба неизвестных усилия принимаются растягивающими (положительными).

При проектировании новых конструкций ставится задача определения размеров поперечных сечений стержней при заданной его форме. В этом случае из условия прочности при растяжении-сжатии требуемая величина площади поперечного сечения каждого стержня определяется по формуле:

(в задаче № 2 расчетное сопротивление материала для обоих стержней одинаково); Ni – продольная сила, возникающая в i-м

стержне.

По найденной величине требуемой площади поперечного сечения каждого стержня определяются их размеры. В случае прокатных профилей (уголок, швеллер, двутавр) их размеры (номер) находятся по сортаменту, а в других случаях – из формулы для определения площади поперечных сечений заданной формы. При подборе номера заданного прокатного профиля по сортаменту принимается тот, для которого площадь поперечного сечения будет ближайшей большей к найденной. Следует отметить, что в дальнейшем расчете используется не вычисленная из условия прочности формулы (6) площадь поперечного сечения стержня, а подобранная по сортаменту или измененная после определения размеров сечения, заданного в форме прямоугольника, круга и т. п.

По найденным значениям продольных сил и подобранным размерам поперечных сечений определяются по формуле (3) продольные абсолютные деформации стержней.

В результате деформации стержней грузовой узел С перемещается. Изменение длин обоих стержней будут совместны,

20