Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии и изгибе. Учебное пособие

При таком правиле знаков в левом сечении рассматриваемой (правой) части балки положительная поперечная сила Qy направлена вверх, а положительный изгибающий момент Mz – по ходу часовой стрелки; в правом сечении рассматриваемой (левой) части будет положительной поперечная сила Qy, направленная вниз, а положительный изгибающий момент Mz – против хода часовой стрелки (рис. 12).

Рис. 12. Правило знаков для изгибающих моментов

Поперечная сила равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, взятых по одну сторону от сечения, на вертикальную ось Y, взятых по одну сторону от сечения:

Если внешняя сила стремится повернуть отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, то в выражение (10) она входит со знаком «плюс» и наоборот.

Изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов всех сил, взятых по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения (нейтральной оси z):

Если внешняя нагрузка вызывает при изгибе растяжение нижних волокон балки, то в выражение (11) она входит со знаком «плюс», и наоборот.

41

Для наглядного представления изменения Mz и Qy по сечениям балки строят соответствующие эпюры Mz и Qy.

Для построения указанных эпюр:

–балка разбивается на участки, границами которых являются: сечения, где приложены внешние сосредоточенные силы

имоменты (включая опорные реакции); начало и конец распределенной нагрузки; сечения, где скачком изменяется либо интенсивность нагрузки, либо ее направление, или то и другое;

–в пределах каждого участка проводится произвольное поперечное сечение и отмечается его координата (координаты сечений удобно отсчитывать от границ каждого участка);

–для произвольного сечения определяются усилия, согласно выражениям (10) и (11), как функции координаты x;

–по полученным выражениям определяются усилия на границах каждого участка;

–подсчитанные значения усилий откладываются от оси эпюры; вершины ординат соединяются линиями согласно полученным выражениям; при построении эпюры Qy положительные значения откладываются вверх от оси эпюры, а отрицательные – вниз; при этом на отдельных участках следует указывать знаки; при построении же эпюры Mz положительные значения откладывают вниз от оси эпюры, отрицательные – вверх, в результате этого эпюры изгибающих моментов оказываются расположенными со стороны растянутых волокон балки. Знаки на эпюре Mz не указываются.

Между внутренними усилиями и нагрузкой, действующей на балку, существуют дифференциальные зависимости. Эти зависимости позволяют проверять правильность эпюр и облегчают их построение. Зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой имеет вид

42

т. е. поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по координате сечения балки. Аналогично между поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существует также дифференциальная зависимость

Учитывая зависимости (12) и (13), можно отметить следующие свойства эпюр в балках:

–на незагруженных участках ординаты эпюры Qy постоянны, а ординаты эпюры Mz изменяются по линейному закону;

–на участках, загруженных равномерно распределенной нагрузкой, ординаты эпюры Qy изменяются по линейному закону, а ординаты эпюры Mz – по закону квадратной параболы, выпуклость которой обращена в сторону действия нагрузки;

–в сечении под внешней сосредоточенной силой (опорной реакцией) на эпюре Qy получается скачок на величину силы (реакции), а на эпюре Mz − излом, вершина которого направлена в сторону действия силы (реакции);

–в сечении под внешним сосредоточенным моментом

(реактивным моментом) в эпюре Qy никаких изменений,

ав эпюре Mz – скачок на величину этого момента;

–в сечении, где Qy = 0 (участок загружен равномерно распределенной нагрузкой), изгибающий момент максимальный или минимальный.

Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения балки определяется по формуле

Iz – момент инерции сечения относительно оси z; y – расстояние от оси z до исследуемой точки.

43

Нейтральная линия – это линия пересечения нейтрального слоя (длина нейтрального слоя не изменяется) балки с плоскостью поперечного сечения.

Нейтральная линия совпадает с главной центральной осью поперечного сечения.

Из формулы (14) следует, что нормальные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по линейному закону. На нейтральной оси σ = 0 , а в точках, наиболее удаленных от оси z, будут возникать наибольшие напряжения.

Расчеты балок на прочность производят по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в опасном сечении балки. Опасным сечением будет то, в котором действует наибольший изгибающий момент Mmax (по эпюре Mz), а опасными точками этого сечения будут наиболее удаленные, находящиеся на расстоянии ymax от нейтральной оси.

Условие прочности в опасном сечении записывается так:

где ymax – наибольшее расстояние от нейтральной оси до крайних волокон поперечного сечения; R – расчетное сопротивление материала изгибу.

где Wz = hI/z2 называется осевым моментом сопротивления по-

перечного сечения.

Таким образом, момент сопротивления можно считать характеристикой сопротивляемости материала изгибу. Чем

44

больше Wz, тем меньше напряжение, возникающее в опасных точках балки.

Момент сопротивления Wz для прямоугольного сечения высотой h и шириной b

Момент сопротивления Wz для круглого сечения диаметром d:

Для прокатных профилей (двутавра, швеллера) моменты сопротивления приводятся в сортаментах.

Для подбора сечения балки величина требуемого момента сопротивления определяется по формуле:

z R

По полученному значению Wz при заданной форме поперечного сечения подбирают размеры этого сечения.

Перемещения (прогиб и угол поворота) заданного сечения балки следует определять по формуле Мора с использованием правила Верещагина (способ «перемножения» эпюр). Для этого необходимо построить эпюру от внешней нагрузки – эп. МF и две единичные эпюры М1 и М2.

Эпюра М1 строится от действия на балку единичной силы F1 = 1, приложенной в заданном сечении по направлению искомого перемещения – прогиба, т. е. перпендикулярно к оси балки.

Эпюра М2 строится от действия единичного момента, приложенного в заданном сечении (М2 = 1).

Перемножение эпюр производится следующим образом. Балка разбивается на участки, в пределах которых жесткость сечения постоянная и хотя бы одна из эпюр прямолинейная. Для другой эпюры необходимо определить положение центра

45

тяжести и площадь на данном участке. Затем полученную площадь умножают на ординату под ее центром тяжести на прямолинейной эпюре и делят на жесткость EJ. Площадь и положение центра тяжести определяются на одной эпюре, а ордината под ее центром тяжести берется с другой, обязательно прямолинейной эпюры. Если площадь и ординаты находятся по одну сторону от оси, то результат перемножения положительный. Суммируя результаты перемножений по участкам, получают искомое перемещение.

3.3.Пример решения задачи № 3

3.3.1.Исходные данные для расчета консольной балки

На рис. 13, а приведена расчетная схема консольной балки: F = 10 кН; q = 4 кН/м; М = 8 кНм − расчетные нагрузки;

Е = 2,1·105 МПа − модуль упругости материала;

R = 235 МПа – расчетное сопротивление материала изгибу.

3.3.2. Определение опорных реакций

Составляем уравнения статики:

X = 0 HВ = 0;

M В = 0 q 4 2 + M −VС 6 + F 6 = 0;

MС = 0 VB 6 − q 4 4 + M + F 2 = 0.

Отсюда получаем VС = 20 кН; VB = 6 кН.

Проверяем найденные опорные реакции:

Y = 0 VВ − q 4 +VС − F = 6 − 4 4 + 20 = 0.

Если при определении опорных реакций какая-либо из реакций окажется со знаком «минус», то, следовательно, действительное направление реакции противоположно предполагаемому. Для дальнейшего расчета рекомендуется изменить направление реакции и считать ее положительной.

46

3.3.3.Построение эпюр изгибающих моментов

ипоперечных сил

Балка (рис. 13, a) имеет четыре участка – BD, DE, EC, CK. При определении внутренних усилий в сечениях на участках BD и DE удобнее рассматривать равновесие левой части балки, поэтому будем отсчитывать координаты сечений 1 и 2 от левых границ участков BD (опора B) и DE (точка D) соответственно. При определении усилий в сечениях 3 и 4 выгоднее рассматривать равновесие правой части балки, поэтому отсчитываем координаты данных сечений от правых границ участков ЕС (опора С) и СК (точка К) соответственно (рис. 13, б).

Таким образом, границы участков будут следующие: для BD ( 0 x1 4 м);

для DE ( 0 x2 1 м); для CE ( 0 x3 1 м);

для CK ( 0 x4 2 м).

При составлении выражений M и Q будем использовать зависимости (10) и (11).

Рис. 13. Заданная и расчетная схемы балки

47

Cечение 1–1. Для произвольного сечения участка BD, отстоящего на расстоянии x1 от левой опоры (рис. 14), поперечная сила и изгибающий момент определяются следующими равенствами:

Q1 = Y = VВ − qx1;

лев

M1 = M1 =VВ x1 − qx1 x21 = 6x1 − 2x12.

лев

Полученное выражение для Q1 представляет собой прямую линию, наклонную к оси балки. Для построения этой прямой определим величины Q1 на границах данного участка:

Как видим, поперечная сила в пределах участка BD меняет знак. Определим положение сечения 1–1, в котором Q1 = 0:

6 − 4x1 = 0 , откуда x1 = 1,5 м.

На основании дифференциальной зависимости (12) при x1 = 1,5 м на эпюре изгибающих моментов будет экстремальная ордината.

Полученное выражение M1 представляет уравнение квадратичной параболы. Для построения эпюры моментов на данном участке необходимо вычислить ординаты в ряде точек:

Сечение 2–2. Находим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении 2–2, лежащем в пределах участка DE, на расстоянии x2 от точки D (рис. 15):

Q2 = Y = VB − q4 = 6 − 4 4 = −10 кН;

лев

48

M 2 = M 2 = VB (4 + x2 )− q4 (2 + x2 ) =

лев

= 6 (4 + x2 )− 4 4 (2 + x2 ) = −8 −10x2.

Выражение Q2 показывает, что эпюра поперечных сил на данном участке представляет прямую линию, параллельную оси балки, а выражение M2 – эпюра изгибающих моментов представляет собой прямую линию, наклонную к оси балки.

Сечение 3–3. Составим теперь выражение M и Q для участка EC. В данном случае, как отмечалось выше, выгоднее рассматривать правую часть (рис. 16):

Q3 = Y = −VC + F = −20 +10 = −10 кН;

прав

М3 = М3 = −F (2 + x3 ) +VC x3 =

прав

−10(2 + x3 ) + 20 x3 = −20 +10 x3.

Как видим, Q3 в пределах всего участка постоянна, а M3 изменяется по линейному закону:

при x3 = 0 M3 = –20 кНм; при x3 = 1 м M3 = –10 кНм.

49

Сечение 4–4. Составим также из уравнений равновесия правой части выражения поперечной силы и изгибающего момента для участка CK (рис. 17):

Q4 = Y = F =10 кН;

прав

М 4 = М 4 = −Fx4 = −10 x4 .

прав

Выражение Q4 представляет прямую линию, параллельную оси балки, а выражение M4 – прямую линию, наклонную

По полученным значениям М и Q строим эпюру М (рис. 18, г) и эпюру Q (рис. 18, в).

Одним из приемов правильности построенных эпюр М и Q является использование дифференциальных зависимостей

(12) и (13).

Для примера найдем производную выражения изгибающего момента для участка балки BD:

что соответствует выражению поперечной силы Q для этого участка (сечение 1–1).

Проверка соответствия эпюр М и Q на других участках производится аналогичным образом.

50