Простые числа. Новый взгляд на закономерности формирования. Монография

где imax равно индексу максимального qi, участвующего в формировании ПСЧ и МСЧ на интервале (0, n).

Подставив значения (2.5)–(2.8) в уравнение (2.9), имеем:

Используя обозначение qi- = qi и qi+ = qi + 2, получаем:

Введем обозначение M = imax. Примем, что математическое ожидание среднего значения ошибок равно 1/2. Тогда сумму всех fqi можно представить в виде

54 Часть 2. Методы оценки интервальных распределений простых...

Выражение в фигурных скобках в формуле (2.13)

Подставляя в уравнение (2.16) значение qi = 6i – 1

Учитывая, как показано в части 1, что при n >> 1 M , n 6, получаем:

где si – число вида 6i ± 1, i = 1, 2, ..., 2M.

Сучетом того, что ПСЧ и МСЧ, образуемые

в(2.2) от соответствующих ПСЧ и МСЧ, повторяют ПСЧ и МСЧ, формируемые изначально от минус и плюс простых чисел, устраним эф-

где L – максимальное простое число, участвующее

в образовании составных чисел на интервале (0, n);

# pi- = # pi-- , # pi+-.

Как показано в работах [11–13], существует эффект «пересечений» аддитивных последовательностей, формирующих составные числа, который также необходимо учесть в (2.21). В работе [13] приведены соотношения, с помощью которых формируются «пересечения» для ПСЧ:

где i, j = 1, 2, 3, ..., M; m, l = 0, 1, 2, ... .

56 Часть 2. Методы оценки интервальных распределений простых...

Система уравнений, определяющих «пересечения» МСЧ, записывается в виде

где i, j = 1, 2, 3, ..., M; m, l = 0, 1, 2, ... .

Нетрудно показать, что для общего случая период, через который в последовательностях возникают «пересечения», равен:

При этом каждому m в уравнениях (2.22) и (2.23) соответствует свое l, при которых правая и левая части уравнений совпадают.

Учитывая (2.22) и (2.24), представим уравнения для нахождения количества «пересечений» ПСЧ в виде

где i, j = 1, 2, 3, ...; k = 0, 1, 2, 3, ... .

Соответственно, для МСЧ с учетом «пересечений» запишем:

qi- qi+ + D1- _qi-, q +j i + 6qi- $ q +j $ k + ∆-2 _qi-, q +j i = n ,

qi+ qi- + D1- _qi+, q -j i + 6qi+ $ q -j $ k + ∆-2 _qi+, q -j i = n ,

qi- qi+ + D1- _qi+, q -j i + 6qi+ $ q -j $ k + ∆-2 _qi+, q -j i = n , (2.26) qi+ qi- + D1- _qi-, q +j i + 6qi- $ q +j $ k + ∆-2 _qi-, q +j i = n ,

где i, j = 1, 2, 3, ...; k = 0, 1, 2, 3, ... .

Отметим, что в уравнениях (2.25) и (2.26) сумма первых двух членов равна составному числу – первому «пересечению» арифметических прогрессий, формирующих МСЧ и ПСЧ с помощью (2.22)

и (2.23). Второй член D1- `qi , q jj и D1+ `qi , q jj равен длине отрезка в арифметической прогрессии, че-

рез который образуется первое «пересечение» по-

58 Часть 2. Методы оценки интервальных распределений простых...

Третий член уравнений (2.25) и (2.26) отражает последующие «пересечения» арифметических прогрессий.

Четвертый член равен разности между n и последним «пересечением» арифметических про-

где K+ _qi-, q -j i – количество «пересечений» избранной пары арифметических прогрессий на отрезке (0, n).

Упрощая выражение (2.29), получаем:

Проделывая те же операции (2.28)–(2.30) для других уравнений (2.25) и суммируя по всем возможным сочетаниям qi, qj, где i ! j, получаем общее количество «пересечений» для ПСЧ:

ражает «самопересечения» арифметических прогрессий.

Во второй скобке (2.31) выражение приводится к виду

i ! j

60 Часть 2. Методы оценки интервальных распределений простых...

Чтобы упростить это выражение, подставим значения для qi- = 6i - 1 и qi+ = 6i + 1, при этом получим

i ! j

где второй член также отражает учет неравенства i ! j.

Наконец, вычислив остаток выражения (2.31), получим нулевое значение.

Нетрудно показать, что количество «пересечений» для МСЧ в (2.26) описывается той же формулой (2.34). Поскольку во внимание нужно принять половину «пересечений», общее количество составных чисел на интервале (0, n), с учетом «пересечений», описывается соотношением

c2 _ni = n3 z - 18n - 6n z2 + 6n t + M_M + 1iz - 23 M . (2.36)