Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Простые числа. Новый взгляд на закономерности формирования. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

770 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

1.4. Пример работы алгоритма нахождения простых чисел

Очевидна справедливость следующего равенства:

qi2 + 6qi m + 6qi fq - n = 0,

	i	(1.43)
	i = 1, 2, 3, ...; m = 0, 1, 2, 3, ...,	(1.43)
	i = 1, 2, 3, ...; m = 0, 1, 2, 3, ...,

где qi = qi- или qi+ в зависимости от выбора уравнения; fqi – коэффициент, отражающий разность между n и последним членом арифметических прогрессий, описываемых первыми двумя уравнения-

ми (1.20).
По определению,
0 < fq	< 1.	(1.44)
i

Уравнение (1.43) имеет единственный положительный корень:

или

qi =- 3_m + fqii +

9_m + fqii2 + n

(1.45)

m + f 2

qi =

qii

- 3_m + fqii.

(1.46)

При n >> 1

9_m + fqii2

n)1

3_m

+ f

(1.47)

qii

Для qimax образуется только одно плюс составное

число:
ci+	= qi2 .	(1.48)
max	max

42 Часть 1. Полное множество простых чисел

Таблица 1.7

Пример работы алгоритма нахождения простых чисел до 1000

c 31- $ 29	c 29- $ 31		c 25- $ 23	c 23- $ 25	c19-$ 17	c17-$ 19	c13-$ 11	c11-$ 13	c 7-$ 5	c 5-$ 7	q i-	Индекс i
		Минус составные числа до 1000

899	899		575	575	323	323	143	143	35	35	5	1
			725	713	437	425	221	209	77	65	11	2
			875	851	551	527	299	275	119	95	17	3
				989	665	629	377	341	161	125	23	4
					779	731	455	407	203	155	29	5
					893	833	533	473	245	185	35	6
						935	611	539	287	215	41	7
							689	605	329	245	47	8
							767	671	371	275	53	9
							845	737	413	305	59	10
							923	803	455	335	65	11
								869	497	365	71	12
								935	539	395	77	13
									581	425	83	14
									623	455	89	15
									665	485	95	16
									707	515	101	17
									749	545	107	18
									791	575	113	19
									833	605	119	20
									875	635	125	21
									917	665	131	22

1.4. Пример работы алгоритма нахождения простых чисел

Продолжение табл. 1.7 по горизонтали

Индекс i		c 5+$ 5	c 7+$ 7	c11+$ 11	c13+$ 13	c17+$ 17	c19+$ 19	c 23+ $ 23	c 25+ $ 25	c	29+ $ 29	c 31+ $ 31
				Плюс составные числа до 1000
	q i+
	q i+

1	7	25	49	121	169	289	361	529	625	841		961
2	13	55	91	187	247	391	475	667	775
3	19	85	133	253	325	493	589	805	925
4	25	115	175	319	403	595	703	943
5	31	145	217	385	481	697	817
6	37	175	259	451	559	799	931
7	43	205	301	517	637	901
8	49	235	343	583	715
9	55	265	385	649	793
10	61	295	427	715	871
11	67	325	469	781	949
12	73	355	511	847
13	79	385	553	913
14	85	415	595
15	91	445	637
16	97	475	679
17	103	505	721
18	109	535	763
19	115	565	805
20	121	595	847
21	127	625	889
22	133	655	931

44 Часть 1. Полное множество простых чисел

Окончание табл. 1.7

c 31- $ 29	c 29- $ 31		c 25- $ 23 c 23- $ 25 c19-$ 17 c17-$ 19 c13-$ 11 c11-$ 13	c	7-$ 5	c 5-$ 7	q i-	Индекс i
		Минус составные числа до 1000

				959		695	137	23
						725	143	24
						755	149	25
						785	155	26
						815	161	27
						845	167	28
						875	173	29
						905	179	30
						935	185	31
						965	191	32
						995	197	33
							203	34
							209	35
							215	36
							221	37
							227	38
							233	39
							239	40
							…	…
							971	162
							977	163
							983	164
							989	165
							995	166

1.4. Пример работы алгоритма нахождения простых чисел

Окончание табл. 1.7 по горизонтали

Индекс i	q i+	c 5+$ 5	c 7+$ 7	c11+$ 11 c13+$ 13 c17+$ 17 c19+$ 19 c 23+ $ 23 c 25+ $ 25 c	29+ $ 29 c 31+ $ 31
				Плюс составные числа до 1000

23	139	685	973
24	145	715
25	151	745
26	157	775
27	163	805
28	169	835
29	175	865
30	181	895
31	187	925
32	193	955
33	199	985
34	205
35	211
36	217
37	223
38	229
39	235
40	241
…	…
162	973
163	979
164	985
165	991
166	997

46	Часть 1. Полное множество простых чисел

Оно находится из уравнения (1.47) при m = 0:

1	9fqi
qimax = n)1 + 2	2	3 - 3fqi .
qimax = n)1 + 2	n	3 - 3fqi .
При больших n

qimax = n - 3fqi .

Из (1.50) и (1.44) следует:

n - 3 # qimax # n . Учитывая, что

qimax = 6imax ! 1,

находим

i = qimax ! 1. max 6

Применительно к рассмотренному n = 1000

28,6 1 qimax # 31,6 ,

(1.49)

(1.50)

(1.51)

(1.52)

(1.53)

примеру

т.е. qimax = 31, imax = 5, что соответствует данным правой части табл. 1.7 для ПСЧ.

Для левой части, оценивая q i-max , можно использовать и третье, и четвертое уравнение (1.20). Из третьего уравнения (1.20) следует

qi- _qi- + 2i + 6qi- m + 6qi-fq -i - n = 0,

(1.54)

i = 1, 2, 3, ...; m = 0, 1, 2, 3, ... .

1.4. Пример работы алгоритма нахождения простых чисел

Отсюда

qi- =-`1 + 3m + 3fq -i j + `1 + 3m + 3fq -i j2 + n . (1.55) По аналогии с предыдущим рассмотрением при-

менительно к МСЧ имеем:

					1		+ 3f -		2
q -	=- 1	+ 3f -	+ n 1		+	`	q i	j
q -	=- 1	+ 3f -	+ n 1		+		n
imax	`	q i j					n
При n >> 1
		qi- . n		- 1 - 3fq- .
		max			i
					i

.(1.56)

(1.57)

Отсюда, используя (1.44), получаем
n - 4 # qi-				#	n - 1.		(1.58)
			max
Учитывая, что q i- =6i			max	– 1,
	max		max
имеем:
	n - 3	# imax #			n	.	(1.59)
6		# imax #			6	.	(1.59)
6					6

Для нашего примера n = 1000

31,6 - 4 # qi- # 31,6 - 1,

max

т.е. q i-max = 29, q i+max = 31, imax = 5, что соответствует данным левой части табл. 1.7 для МСЧ.

Обобщая полученные результаты зависимости q imax от n, имеем следующую оценку: максимальное число q i+ вида {6k + 1}, k = 1, 2, 3, ..., участвующее в алгоритме формирования составных чисел (МСЧ и ПСЧ), равно целой части n :

48	Часть 1. Полное множество простых чисел
Соответственно,	qi+max = 7	n A*.	(1.60)
	qi-max = 7	n A - 2.
При этом			(1.61)
	imax = 8	n 6B.
			(1.62)

В заключение отметим, что доказательство теоремы о полном множестве простых чисел вида {6k ± 1}, k = 1, 2, 3, ..., и формальное описание механизма формирования составных чисел в виде аддитивных прогрессий [4–7, 10] позволило предложить и реализовать простой и эффективный алгоритм нахождения всех простых чисел подряд, что является фундаментальным достижением в области математики.

Представляется, что дальнейшее использование нового математического аппарата, описывающего формирование простых и составных чисел вида {6k ± 1}, k = 1, 2, 3, ..., приведет в ближайшей перспективе к серьезным изменениям и новым открытиям в теории чисел и прикладных областях, связанных с применением простых чисел.

* В уравнениях (1.60)–(1.62) квадратичные скобки [ ] обозначают целую часть числа, введенного Гауссом, в других местах статьи – обычные квадратные скобки.

Часть 2

МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИНТЕРВАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Основываясь на теореме о полном множестве простых чисел, доказательство которой приведено в части 1 настоящей работы, опишем результаты, связанные:

•с моделированием эффекта «пересечений» аддитивных последовательностей, формирующих составные числа {6n ± 1}, n = 1, 2, 3, ...;

•обоснованием нового метода интервальных оценок распределения простых чисел;

•доказательством гипотез Лежандра, Брокарда, «простых-близнецов».

Втеореме доказано, что уравнения, описывающие механизм формирования составных чисел вида {6k ± 1}, k = 1, 2, 3, ..., и дающие возможность од-

50 Часть 2. Методы оценки интервальных распределений простых...

нозначно выделить из них все простые числа [4–7, 10], представляются следующим образом:

c +p - = pi- pi-			+ pi- $	6m ,
i		pi	+ pi $	6m ,
c p i+ = pi		pi	+ pi $	6m ,
+	+	+	+
-	-	+	-	6m ,	(2.1)
c p i- = pi		pi	+ pi $	6m ,	(2.1)
c -p + = pi+ pi- + pi- $				6m ,
i
i = 1, 2, 3, ...;		m = 0, 1, 2, 3, ... .

Напомним, что в (2.1) введены следующие обозначения:

•p i-, i = 1, 2, 3, ... – простое число из множества {6k – 1}, k = 1, 2, 3, ..., с недостающей единицей для деления нацело на 6 (МПЧ);

•p i+, i = 1, 2, 3, ... – простое число из множества {6k + 1}, k = 1, 2, 3, ..., с избыточной единицей для деления нацело на 6 (ППЧ);

•c i- – минус составное число (МСЧ) из множества {6k – 1}, k = 1, 2, 3, ..., с недостающей единицей для деления нацело на 6;

•c i+ – плюс составное число (ПСЧ) из множества {6k + 1}, k = 1, 2, 3, ..., с избыточной единицей

для деления нацело на 6.

Как показано при доказательстве теоремы о полном множестве простых чисел, без ограничения общности в уравнениях (2.1) p i+ и p i- можно заменить на q i+ и q i-, обозначающие два проиндек-

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]