Простые числа. Новый взгляд на закономерности формирования. Монография

УДК 519.6 ББК 22.131

М80

Рецензенты:

С.В. Дворянкин, доктор технических наук, профессор

Н.Д. Подуфалов, доктор физико-математических наук, профессор

Минаев В.А.

М80 Простые числа: новый взгляд на закономерности формирования: монография / В.А. Минаев. – М.: Логос, 2011. – 80 с.

ISBN 978-5-98704-628-9

Уточняется классификация чисел натурального ряда, приводится доказательство теоремы о полном множестве простых чисел, детально описывается алгоритм нахождения всех простых чисел подряд. Получены фундаментальные следствия теоремы в виде обоснования нового метода интервальных оценок распределения простых чисел, доказательства гипотез Лежандра и Брокарда, а также гипотезы «простых-близнецов».

Для специалистов в области теории чисел, информационной безопасности, математического моделирования. Может быть полезна преподавателям, аспирантам и студентам.

УДК 519.6 ББК 22.131

ISBN 978-5-98704-628-9

© Минаев В.А., 2011 © РосНОУ, 2011

© Оформление. Логос, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Со времен древнегреческой цивилизации лучшие умы человечества пытались познать закономерность, согласно которой формируются простые числа. До наших времен дошли две жемчужины математического мышления древних: «решето просеивания» Эратосфена и доказательство Евклидом бесконечности ряда простых чисел [1].

Исследованиями проблемы формирования простых чисел занимались гиганты математики, создавшие мощный фундамент теории чисел, в которой названная проблема является основополагающей. Ее решение открывает новые горизонты для развития математической науки.

На пути познания закономерности формирования простых чисел поистине великими были достижения К.Ф. Гаусса, П.Л. Чебышева, Ж. Адамара, Валле Пуссена, Б. Римана, усилиями

которых сформирован асимптотический закон распределения простых чисел. Но, к сожалению,

спомощью этого закона нельзя точно определить ни количество простых чисел в определенном интервале, ни число по индексу, ни сам индекс простого числа.

Л.Эйлер, А. Лежандр, П. Ферма, И.М. Виноградов, П.Г. Дирихле и другие великие математики своими исследованиями приблизили тот день, когда оказалось возможным вычислить все простые числа подряд на всем интервале натурального ряда

спомощью понятных и однозначных процедур. Настоящая работа состоит из двух частей. В ча-

сти 1 уточняется классификация чисел натурального ряда, приводится доказательство теоремы о полном множестве простых чисел, детально описывается алгоритм нахождения всех простых чисел подряд. В части 2 описывается метод оценки интервальных распределений простых чисел, приводятся доказательства гипотез Лежандра, Бертрана и Брокарда, а также описывается решение проблемы «простых-близнецов».

Автор еще раз показал в своей работе – природа выбирает наиболее простые решения. Это относится и к механизму формирования простых чисел.

Часть 1

ПОЛНОЕ МНОЖЕСТВО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

В части 1 работы производится уточнение классификации чисел натурального ряда, осуществляется доказательство теоремы о полном множестве простых чисел и детальное описание алгоритма нахождения всех простых чисел подряд.

Согласно основной теореме арифметики, впервые точно сформулированной и доказанной в книге К.Ф. Гаусса в 1801 году, каждое натуральное число n > 1 единственным образом представимо в виде

i = 1

где p1 < p2 < ... < pk – простые числа; α1, ..., αk – некоторые натуральные числа. Представление числа n

ввиде (1.1) называется его каноническим разложением. Несмотря на особую роль соотношения (1.1)

втеории чисел, его практическое применение, например, для решения задач информационной безопасности, подчас затруднительно из-за вычислительной сложности оперирования с мультипликативным представлением натуральных чисел.

Вместе с тем, аддитивное представление любого составного числа через простые числа позволяет, с одной стороны, существенно ускорить вычислительные процедуры (в частности, при решении задач факторизации чисел), а с другой стороны, эффективно подойти к решению многих математических проблем, включая проблему формального и однозначного описания полного множества простых чисел.

Эмпирически аддитивное представление со-

ставных чисел вида {6k ± 1}, k = 1, 2, 3, ..., было использовано в 2005 году при реализации программы «Линейный генератор простых чисел подряд», на которую получено свидетельство о регистрации [3]. В 2008 и 2009 годах появился ряд работ, в которых впервые приведено математическое описание механизма формирования множеств как составных, так и простых чисел [4–7].

1.1. Уточнение классификации чисел натурального ряда

Учитывая то, что в современной математике натуральные числа определены неоднозначно (на самом деле, например, 2 – одновременно простое и четное, 9 – одновременно нечетное и составное, 5 – одновременно нечетное и простое), для доказательства теоремы о полном множестве простых чисел и дальнейшего изложения уточним их классификацию.

Для этого весь ряд натуральных чисел разобьем на следующие последовательные циклы подмножеств:

где k = 0, 1, 2, 3, …; l = 1, 2, 3, 4, 5, 6;

При k = 0 будем иметь

{n0, l} = {1, 2, 3, 4, 5, 6},

при k = 1

{n1, l} = {7, 8, 9, 10, 11, 12},

при k = 2

{n2, l} = {13, 14, 15, 16, 17, 18} и т.д.

Таким образом, бесконечное множество чисел натурального ряда N представляет собой сумму

подмножеств {nk, l}, где k = 0, 1, 2, 3, …; l = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

l = 1 k = 0

Среди l простыми числами являются 2, 3 и 5, а составными – 4 и 6. В каждом из подмножеств {nk, l} находятся и простые числа, и составные. Определим l, при котором число в подмножестве {nk, l} может быть простым.

Очевидно, что при любом k и l, равном 2, 4, 6, формируется подмножество четных (двукратных) чисел натурального ряда:

{c2} = {2, 4, 8, ...}, члены которого образуются по формуле

где m = 0, 1, 2, 3, 4 …

Напомним, что четных чисел в натуральном ряду – половина (50%) и их определение в данной работе – классическое.

Таким образом, первый член арифметической прогрессии (1.4) и ее разность равны первому простому числу 2.

Далее, для любого k при l = 3 формируется подмножество троекратных чисел натурального ряда

{c3} = {3, 9, 15, ...},

члены которого образуются с помощью соотношения