Пространственные и плоские кривые. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Е.Е. Корякина

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ

Учебное пособие

Томск Издательский Дом Томского государственного университета

2016

УДК 512.64

ББК В143

К 66

Рассмотрено и утверждено методической комиссией механикоматематического факультета Протокол _1_ от «28» января 2016 г.

Председатель комиссии О.П. Федорова

Корякина Е.Е.

К66 Пространственные и плоские кривые : учеб. пособие. –

Томск : Издательский Дом ТГУ, 2016. – 32 с.

Данное пособие разработано к курсу «Дифференциальная геометрия» для студентов второго и третьего курсов механикоматематического факультета

УДК 512.64

ББК В143

©Корякина Е.Е., 2016

©Томский государственный университет, 2016

1. Уравнение поверхности. Касательная плоскость. Нормальная кривая

Гладкой регулярной поверхностью называется отображение

уравнениями

xx u1 , u 2

yy u1 , u 2

zz u1 , u 2

Если поверхность не регулярная, то те точки, в которых условие 2) выполняется называются обыкновенными, где нарушаются – особыми.

Координаты u1 , u2 точки на поверхности называются

криволинейными координатами. Линии u1 const , u 2 const на поверхности называются координатными линиями. Векторы

координатным линиям. В обыкновенной точке они линейно независимы.

Уравнения касательной плоскости и нормальной прямой в обыкновенной точке r0 x0 , y0 , z0 имеют вид

3

R r0 , r1 , r2 0

и

Rr0 r1 , r2

ввекторном виде или

и

x x0 Ay y0 Bz z0 C

в координатном виде, где A, B,C – декартовы координаты

нормального вектора N r1 , r2 A, B,C .

Гладкой регулярной поверхностью называется геометрическое место точек, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению

F x, y, z 0 ,

если

1) функции F – функции класса C k .

2) gradF F , F , F 0 .x y z

Если поверхность не регулярная, то точки, в которых условие 2) выполняется называются обыкновенными, где нарушается – особенными.

Уравнения касательной плоскости и нормальной прямой в обыкновенной точке x0 , y0 , z0 имеют вид

4

R r0 , gradF 0

и

Rr0 gradF

ввекторном виде или

вкоординатном виде.

Вокрестности обыкновенной точки оба способа задания поверхности эквивалентны. Криволинейные координаты точки

u1 ,u 2 обозначаются так же как u, v .

Задачи

1. Напишите параметрические уравнения поверхности, образованной касательными к кривой x u , y u 2 , z u3 и

найдите линии пересечения этой поверхности с плоскость XOY .

Решение:

r u,u 2 ,u3

r 1,2u,3u2

Уравнение поверхности, образованной касательными к кривой имеет вид

5

R r vr в векторном виде

и

x u v

y u 2 2vu в координатном.z u3 3vu 2

Для линии пересечения поверхности с координатной плоскостью XOY имеем z u 2 u 3v 0 .

а) u 0 .

Уравнение линии пересеченияx v , y 0 , z 0 . Значит, первой

линией пересечения является ось OX .

б) u 3v .

Уравнение линии пересечения в этом случае имеет вид x 2v ,

Уравнение касательной плоскости

6

18x 3y 4z 41 0 .

7

Отсюда видно, что вектор нормали имеет координаты N 18,3, 4 . Уравнение нормальной прямой имеет вид

x 3 18ty 5 3t .z 7 4t

3. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали для поверхности x3 y3 z в точке A 1,2,9 .

Решение:

F x, y, z x3 y3 z 0 , gradF 3x2 ,3y 2 , 1 ,

gradF A 3,12, 1 N .

Уравнение касательной плоскости

3 x 1 12 y 2 z 9 0

или

3x 12 y z 18 0 .

Уравнение нормальной прямой

x 1 3ty 2 12t .

z 9 t

4. Найдите все нормали поверхности, проходящие через начало координат.

Решение:

F x, y, z xyz 1 0 ,

gradF y0 z0 , x0 zo , x0 y0 ,

Уравнение нормальной прямой

8

Чтобы прямая проходила через начало координат x y z 0 , а

значит параметр, соответствующий началу координат, должен удовлетворять условию

дифференцируемая функция).

Решение:

Свободный член в уравнении каждой касательной плоскости должен равняться нулю, то есть

9

Действительно получаем тождество, все касательные плоскости имеют свободный член равный нулю, а значит проходят через начало координат.

6. Докажите, что все касательные плоскости поверхности

Плоскость Ax By Cz D 0 параллельна некоторой прямой с направляющим вектором a , если ее нормаль N A, B,C перпендикулярна направляющему вектору прямой a , то есть

Для прямой с направляющим вектором a 1,1,1

gradF, a 1 f y z f y z 1 0 .

Значит, все касательные плоскости параллельны прямым с таким направляющим вектором.

7. Докажите, что объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и касательными плоскостями

поверхности x u , y v , z a3 постоянен. uv

10