Пространственные и плоские кривые. Учебное пособие

3. Вторая квадратичная форма поверхности

Для однозначного определения поверхности с точностью до движения и зеркального отображения в пространстве нужно задать еще вторую квадратичную форму. Второй квадратичной формой называется дифференциальная форма вида

II d 2 r, n bij dui du j , i 1,2

Нормальной кривизной линии на поверхности называется проекция вектора кривизны кривой на вектор нормали поверхности. Нормальные кривизны всех линий идущих через заданную точку в заданном направлении равны и вычисляются по формуле

kn III .

Наибольшее и наименьшее значение нормальных кривизн называются главными кривизнами k1 и k2 . Главные нормальные кривизны – корни квадратного уравнения

21

Если нормальное сечение поверхности (сечение поверхности плоскостью, проходящей через нормаль) образует угол с

первым главным направлением, то для нормальной кривизны этого сечения имеет место формула Эйлера

kn k1 cos2 k2 sin 2 .

Точки, в которых главные направления не определены, называются омбилическими. Аналитическим условием омбилических точек является отношение

g11 g12 g22 . b11 b12 b22

Задачи

1. Написать вторую квадратичную форму круглого цилиндра.

Решение:

Уравнение круглого цилиндра r R cos v, R sin v,u .

r1 0,0,1 , r2 R sin v, R cos v,0 .

r11 r12 0,0,0 , r22 R cos v, Rsin v,0 .

22

b11 b12 0 , b22 R2 .

IIR2 dv 2 .

2.Найти нормальную кривизну гиперболического

координаты точки при такой параметризации совпадают с первыми двумя декартовыми координатами ( u v 0 ).

r1 1,0,2au , r2 0,1, 2bv .

23

Нормальная кривизна в произвольной точке поверхности в произвольном касательном направлении имеет вид

В данной точке и в данном направлении du 2dv это число равно

kn 8a 2b 2 4a b .

5 5

3. Найти среднюю и гауссову кривизну поверхности гиперболического параболоида z axy в точке x y 0 .

параметризации в данной точке, ее криволинейные координаты равны нулю ( u v 0 ).

24

Отсюда в данной точке

K a2 a2 .

1

H 02 0 .

Данная поверхность является минимальной H 0 , все точки ее являются гиперболическими K 0 .

4. Найти гауссову кривизну поверхности, образованной касательными к линии r r s .

Решение:

И так как исходная кривая задана в натуральном параметре, можно воспользоваться деривационными формулами репера Френе

ddsr e1 , ddse1 ke2 , ddse2 ke1 e3 , ddse3 e2 ,

где k s , s – кривизна и кручение исходной прямой.

R1 R r r e1 ke2 ,s

R2 r e1 .

g11 1 2 k 2 , g12 1 , g22 1 , g 2 k 2 .

R11 ke2 k e2 k ke1 e3 k 2 e1 k k e2 k e3 ,

R12 ke2 , R22 0 .

25

N R1 , R2 k e2 , e1 ke3 . n e3 .

b11 k , b12 0 , b22 0 , b 0 .

Kbg 0 .

5.Определить тип точек на поверхности z a2 x4 b2 y 4 .

26

Главные кривизны определяются уравнением

Главные направления определяются уравнением

27

7. Докажите, что гауссова кривизна линейной поверхности не положительна.

Решение:

Пусть дана направляющая кривая r r s . Линейная поверхность,

образованная прямыми, проходящими через точки кривой, имеет уравнение

R s, r s a s ,

где a s – направляющий вектор прямолинейной образующей.

b11 R11 , n , b12 R12 , n , b22 R22 , n 0 .

28

Так как K bg и определитель первой квадратичной формы

положителен, значит гауссова кривизна поверхности, как и определитель второй квадратичной формы, не положительна, а, значит, эллиптических точек на поверхности нет.

Задачи для самостоятельного решения

1. Написать вторую квадратичную форму поверхности x r cosu cos v , y r sin u cos v , z r sin v

Ответ: II r cos2 v du 2 r dv 2 .

2.Доказать, что для сферы ее первая квадратичная форма пропорциональна второй.

3.Найти главные направления и главные кривизны прямого геликоида x u cos v , y u sin v , z av .

4.Определить характер точек на конусе. Ответ: параболические.

5.Исследовать характер точек на поверхности вращения линии y ln x вокруг оси OY .

Ответ: гиперболические.

6.Показать, что все точки эллипсоида эллиптические.

7.Доказать, что омбилические точки характеризуются равенством H 2 K .

29

ЛИТЕРАТУРА

Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М., 1956. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. М., 1958.

Чешкова М.А. Дифференциальная геометрия. Барнаул, 1994. Сборник задач по дифференциальной геометрии / под ред. А.С. Феденко. М., 1979.

Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометрии / под ред. В.Т. Воднева Минск, 1970.

30