Пространственные и плоские кривые. Учебное пособие

r

1,0,

a3

2

1

u

v

r

0,1,

a3

.

2

2

uv

x u

y v

z

a3

uv

1

0

a3

0

u 2 v

0

1

a3

uv2

3a

3

B 0,3v,0 ,

0,0,

. Значит ребра тетраэдра, образованного

C

uv

касательными

и

координатными

плоскостями

равны

соответственно 3u , 3v ,

3a3

Объемы таких тетраэдров равны

uv

V

1

1

3u 3v

3a3

9a

3

3

2

uv

2

.

9.

Написать уравнение

касательной

плоскости тора

x 3 2 cos u cos v ,

y 3 2 cos u sin v ,

z 2 sin u

параллельной плоскости x y

2z 5 0 .

Решение:

r 3 2 cos u cos v, 3 2 cos u sin v,2 sin v

r1

2 sin u cos v, 2 sin u sin v,2 cos u

r2

3 2 cos u sin v, 3 2 cos u cos v,0 .

Нормаль N r1 , r2 имеет координаты

i

j

k

sin u cos v

sin u sin v

cos u

3 2 cos u sin v

3 2 cos u cos v

0

плоскости, то есть вектору 1,1,

2 . Отсюда получаем

cos v cosu sin v cos u

sin u .

1

1

2

Получаем систему

cos v cosu sin v cos u

.

2 sin v cosu sin

Так как cos u 0 ,

иначе sin u 0 , что невозможно, получаем

u

2

c

2

u

2

c

2

u

r u, v

cos v,

sin v,

.

c

c

c

эллиптического параболоида.

Ответ: x a cos u cos v , y b cos u sin v ,

z c sin u – уравнение

эллипсоида,

x ua cos u , y ub sin v , z

u 2

– уравнение эллиптического

2

а)

x u ,

y u 2 2v ,

z u3 3uv в точке 1,3,4 ;

б)

x cos u cos v ,

y cos u sin v ,

z sin v

в точке

u

, v 0 .

Ответ:

4

а) 6x 3y 2z 11 0 ;

x 1 6t ,

y 3 3t ,

z 4 2t ;

б) x z 2 0 ;

x

2

t ,

y 0 ,

z

2

t .

2

2

4. Напишите

уравнение касательной плоскости

и нормали

поверхности xy2 z3 12

в точке 1,2,2 .

Ответ: x y 3z 9 0 ;

x 1 t , y 2 t ,

z 2 3t .

5. Найдите уравнение касательной плоскости в произвольной

точке прямого геликоида,

заданного

уравнениями

x u cos v ,

y u sin v ,

z av .

Ответ: xa sin v yacisv uz auv 0 .

6. Составить

уравнение

нормали

к

псевдосфере

x a sin u cos v ,

y a sin u sin v ,

z a ln tg

u

a cosu

в

2

Ответ: x a sin u cos v tctgu cos v ,

y a sin u sin t tctgu sin v ,

r a cos u, a sin u, v ,

r1 a sin u, a cos u, o ,

r2 0,0,1 ,

g11 a2 , g12 0 , g22 1

I a2 du dv .

2. На косом геликоиде

x u cos v ,

y u sin v ,

z u v

cos

1

1

.

5

1

5

arccos

1

.

5

3. На поверхности

с

первой

квадратичной формой

I du 2 dv2

найти угол между линиями

2u v и 2u v .

Решение:

g11 1,

g12 0 , g22 1 . Вдоль

Для данной поверхности имеем

первой линии

dv 2du ,

значит, d r r1

2r2 du . Вдоль второй

линии r r1

2r2 u .

g11 4g22 du u

3

cos

5 .

g11 4g12 4g22

g11 4g12 4g22 dudv

4. Доказать, что на поверхности

3v

2

u

2

1

x u

3

,

3u

2

v

2

1

z 2uv

координатные линии ортогональны.

y v

3

,

векторы, то есть g12

r1 , r2 0 . Вычисляем

r1

2

3u

2

1

3v

3

,6uv,2v ,

r2

2

3v

2

1

6uv,3u

3

,2u .

r , r 18uv3 18u3v 2uv 18u3v 18uv3 2uv 4uv 0 .

1

2

Что и требовалось доказать.

5.

На

поверхности с

первой

квадратичной

формой

I du 2

1 sh2u dv 2

найти длину дуги кривой

2u v

между

4

точками P1 u1 , v1 и P2 u2 , v2 u2

u1 .

Решение:

1 sh2u .

Для

данной

поверхности

g11

1,

g12 0 ,

g22

dv

du

4

2

Дифференциальное уравнение линии dv 2du

.

dt

dt

t2

du

2

1

2

du 2

t2

2

du

S

sh

u 4

dt

1 sh

u

dt

4

dt

t1

dt

dt

t1

геликоиде

x u cos v ,

y u sin v ,

z v и ограниченного

кривыми u 0 , u 1, v 0 , v 1

Решение:

r u cos v,u sin v, v ,

r1 cos v,sin v,0 , r2

u sin v,u cos v,1 ,

g11 1,

g12 0 , g22 u 2 1.

g

g11

g12

u 2 1 .

g12

g22

1 1

S

u2 1dudv .

0 0

1

u sht

arsh1

arsh1

ch2t 1

u2

1du

t arshu

ch2tdt

dt

0

du chtdt

0

0

2

1

sh2t

1

arsh1

1

sht 1 sh

2

t

1

arsh1

4

2

t

0

2

t

0

2

1

2

arsh1

1

2 ln 1

2 .

2

2

2 ln 1 2 .

S 1

2 ln 1 2 dv 1

1

0

2

2

7.

Доказать,

что

на

прямом

геликсоиде

x u cos v ,

y u sin v ,

z av

дифференциальное

уравнение

du2 u 2

a2 dv2 0 определяет ортогональную сеть.

Решение:

r u cos v,u sin v, av ,

r1

cos v,sin v,0 , r2 u sin v,u cos v, a ,

g11 1,

g12 0 ,

g22 u 2 a2 .

Дифференциальные уравнения этих линий

du

u 2 a2 dv ,

4. На поверхности z xy

вычислите угол между

линиями x const ,

y const

Ответ: arccos

xy

.

1 x2 1 y 2

5. На катеноиде x chu cos v , y chu sin v , z u найти

угол между линиями u v 0

и u v 0 в их общей точке.

Ответ: .

2