Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Применение временных рядов для анализа больших данных. Учебное пособие по курсу «Математические методы анализа больших данных»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

3.2. Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

грамма – чётная функция частоты, то достаточно оценить периодограмму на дискретном множестве неотрицательных частот

= 2 k

N ,k = 0;1;

; N

2 .

Процедура PFFT используется, чтобы вычислить обе периодограм-

мы

{ } и {

Вычислительная формула кросс-периодограммы дается как

n,N ,XY

(

)

= Re

n,N ,XY

(

)

+ i Im

n,N ,XY

(

) ,

где

Re I

(

k )

= A

)

+ B

k )

[

̃ ̃(

)] =

n,N ,XY

( k )

( k

(

( k )

, ,

= ̃( ) ̃( ) − ̃ ( ) ̃ ( ).

Процедура CPFFT используется, чтобы вычислить модифицированную периодограмму между { ̃ } и { ̃ }.

Ненормализованная спектральная плотность ̂ оценивается как

( )

N 2

(

)W ( −

h ( ) =

n,N ,X

k =− N 2

оценивается как

и ненормализованная спектральная плотность ( )

N 2

( )

(

)W ( −

n,N ,Y

k =− N 2

где спектральное

окно

( ) специфицируется аргументом ISWVER.

Доступны спектральные окна (3)−(7).

Аргумент NM специфицирует число параметров М окна и, следовательно, соответствует числу оценок спектральной плотности, которые должны быть вычислены для данного спектрального окна. Чтобы полу-

̂	̂
чить обе ( ) и	( ), заметим, что используется одно и то же спек-
тральное окно W	( ) и множество параметров М.
n
В формулах спектральной плотности выше данные { } и		{ } соот-

ветствуют реализации бивариантного стационарного процесса с дискретным параметром, наблюдаемого последовательно во времени. В этом случае, наблюдения равно разделены во времени с интервалом ∆ = TINT, равным единице. Однако, если данные соответствуют реализации бивари-

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

антного стационарного процесса с непрерывным параметром, записанные с равными интервалами времени, тогда оценки спектральной плотности должны быть скорректированы с учетом эффекта наложения. В общем слу-

чае, оценка	̂	̂	̂	̂
чае, оценка	( ) дается	( ) = ∆ ( ), \| \| ≤ /∆ и оценка ( )
̂	̂	\| \| ≤ /∆.		Ненормализованная спектральная
дается ( ) = ∆ ( ),		\| \| ≤ /∆.		Ненормализованная спектральная
плотность	оценивается на		множестве	частот = , t = 1; 2; ...; nf, где

nf = NF. Эти частоты – в масштабе, специфицируемом аргументом IFSCAL, но преобразуются к масштабу радианов в единицу времени для вычислительных целей. Частота желаемой спектральной оценки принимается, чтобы быть введённой в форму, уже скорректированную для интервала времени ∆.

Функция кросс-спектральной плотности в общем случае комплекс- но-значная и может быть записана в следующей форме:

( )

= c

( )−iq

( ).

Коспектр (cospectrum) оценивается как

N 2

( ) =

(

)

( −

n,N , XY

k =− N 2

и спектр квадратур (quadrature spectrum) оценивается как

N 2

qˆ

( ) =

(

) W

( −

n,N , XY

k =− N 2

Заметим также, чтобы вычислить ( ), используются такие же

спектральное окно Wn ( )

и параметр окна М, что используются, чтобы

получить ( ) и ( ).

Оценка ненормализованной кросс-спектральной плотности вычисляется на таком же множестве частот, что и оценки ненормализованных спектральных плотностей с аналогичной коррекцией для ∆.

Эквивалентное представление ̂ в полярной форме определя-

( )

ется как

hXY ( ) = XY ( )exp (i XY ( )).

Кросс-амплитудный спектр (cross-amplitude spectrum) оценивается

как

3.2. Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

		(	)		(			(	)			(	))
ˆ				=		cˆ	2			+ qˆ	2		1 2	,
ˆ	XY			=		cˆ	2			+ qˆ	2			,
	XY						XY				XY

и фазовый спектр (phase spectrum) оценивается как

ˆXY ( ) = arctan (−qˆXY ( )cˆXY ( )).

Наконец, спектр когерентности (coherency spectrum) оценивается

как

		cˆ	2		( )+ qˆ		2		1 2
		cˆ	2		( )+ qˆ		2	( )
w		( ) =	XY				XY		.
ˆ	XY		XY			( )h	XY
				h		( )h	( )
				ˆ		ˆ
					X	Y

Выводится когерентность или квадрат когерентности.

3.2.11. Процедура CSSWP

Процедура CSSWP оценивает, используя спектральное окно, ненормализованную функцию кросс-спектральной плотности двух совместно стационарных временных рядов, заданных модифицированными периодограммами и спектральными плотностями предварительно центрированных и дополненных нулями данных выборкой n = NOBS наблюдений

{̃ } и {̃ } для t = 1; 2; ...; n.

Процедура CPFFT может быть использована, чтобы рассчитать модифицированные периодограммы ,̃ ( ) и ,̃( ), и кросс-периодо- грамму ,̃ ̃ ( ) на дискретном множестве неотрицательных частот

	= 2 k N , k = 0;1;	; N 2
k

(здесь означает наибольшее целое, не превосходящее ). Или процедура SSWP, или процедура SWEP могут быть применены к периодограммам, чтобы получить оценки ненормализованной спектральной плотности

̂	̂	( ) на множестве частот = , t = 1; 2; ...; nf, где nf = NF. Эти
	( ) и

частоты – в масштабе радиан в единицу времени. Выборочный временной интервал ∆ принимается равным единице. Заметим, что спектральное окно или весовая последовательность, используемые, чтобы рассчитать

̂ , могут отличаться от используемых, чтобы рассчитать ̂ .

( ) ( )

Функция кросс-спектральной плотности в общем случае комплекс- но-значная и может быть записана как

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

( ) = c

( )− iq

( ).

Коспектр (cospectrum) оценивается как

N 2

cˆ

XY (

)

n,N , XY (

W −

k )

n (

k )

N k =− N 2

и спектр квадратур (quadrature spectrum) оценивается как

N 2

( ) =

(

)

W ( −

n,N ,XY

k =− N 2

где спектральное окно

( ) специфицируется аргументом ISWVER.

Только один параметр окна М может быть специфицирован, чтобы

рассчитать только одну

оценку

Оценка ненормализованной

( ).

кросс-спектральной плотности рассчитывается на таком же множестве частот, как и оценки ненормализованной спектральной плотности, обсуждавшиеся выше. Однако частное спектральное окно, используемое, чтобы

	̂
рассчитать ( ), может не соответствовать ни спектральному окну, ни
весовой	последовательности, использованным, чтобы рассчитать или
̂	̂
( ), или ( ).
Эквивалентное представление ( ) в полярной форме определя-
ется как
	h	( ) =	XY	( )exp (i	XY	( )).
	XY		XY		XY

Кросс-амплитудный спектр (cross-amplitude spectrum) оценивается

как

ˆ XY ( ) = (cˆXY2 ( )+ qˆXY2 ( ))1 2 ,

и фазовый спектр (phase spectrum) оценивается как

ˆ	XY	( ) = arctan (−qˆ	XY	( )	cˆ	XY	( )).
	XY		XY			XY

Наконец, спектр когерентности (coherency spectrum) оценивается

как

cˆXY2		( )+ qˆXY2		( ) 1 2
wˆ XY ( ) =					.
	ˆ	ˆ
			( )
	hX ( )hY

Выводится когерентность или квадрат когерентности.

3.2. Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

3.2.12. Процедура CSWED

Процедура CSWED оценивает, используя фиксированную последовательность весов, ненормализованную функцию кросс-спектральной плотности двух совместно стационарных временных рядов, заданных выборкой n = NOBS наблюдений { } и { } для t = 1; 2; ...; n.

Пусть { ̃ } для t = 1; 2; ...; N представляет центрированные и дополненные нулями данные

Xt	Xt − ˆX	t =1;2;	;n
Xt	=	t = n +1;
	0	t = n +1;	; N,

где N = NOBS + NPAD и ̂ = XCNTR определяется как

		X
		X
ˆ X			1
ˆ X	=		1	n
				n
	X =			X t
			n t=1

known unknown .

Аналогично, пусть { ̃ } для t = 1; 2; ...; N представляет центрированные и дополненные нулями данные

− ˆ

t =1;2;

Y =

t = n +1;

; N,

где ̂ = YCNTR определяется как

known

Y =

unknown .

n t=1

Модифицированная периодограмма { ̃ } для ется как

(

) = A

(

)+ B

(

n,N ,X

где A

(

) = K

X cos( t )

(

) = K

1 2

t=1

t = 1; 2; ...; N,

),
	N
2	X t	sin ( k t
	X t	sin ( k t
	t=1

оценива-

)

пред-

ставляют косинус- и синус-преобразования ̃ соответственно, и K – масштабный фактор, равный 1/(2 ).

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

Модифицированная периодограмма { ̃ } для t = 1; 2; ...; N, оценива-

ется

I		(	) = A	(	)+ B		(	),
			2			2
	n,N ,Y	k	Y	k	Y		k

				N
где A	(	) = K	1 2	Y cos(		t )
где A	(	) = K		Y cos(		t )
Y	k			t	k
				t=1

и	B	( ) = K		N
и	B	( ) = K	1 2	Y sin ( t )
	Y	k		t	k
				t=1

представ-

ляют косинус- и синус-преобразования ̃ соответственно. Поскольку периодограмма – чётная функция частоты, то достаточно оценить периодограмму на дискретном множестве неотрицательных частот

	= 2 k N , k = 0;1;	; N 2 .
k

Процедура PFFT используется, чтобы вычислить обе периодограм-

мы { ̃ } и { ̃ }.

Вычислительная формула кросс-периодограммы дается как

(

) = Re

(

)

+ i Im I

(

)

n,N ,XY

где [

̃ ̃(

)] = ̃

(

) ̃

(

) +

̃ (

) ̃

(

) и

, ,

[

̃ ̃

(

)] =

(

)

(

) − ̃

(

)

̃(

, ,

Процедура CPFFT

используется,

чтобы

вычислить

}

ванную кросс-периодограмму между {

{

	,

	модифициро-

Ненормализованная спектральная плотность {X } оценивается как

( )=

~ (

)

n,N ,X

k , j

и ненормализованная спектральная плотность {Y } оценивается как

X (

)

n,N ,X (

k , j )

w I

где

= 2 ( ( ) + )/ и ( ) – целое такое, что

ближайшее к .

Последовательность m = NWT весов { } для

j = − m2 ; ;(m − m2 −1)

удовлетворяет

wj =1.

3.2. Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

Эти веса фиксированы, так что они не зависят от частоты, для которой оценивается спектральная плотность. Обычно m нечётное с симметрией весов около среднего веса 0. Если m чётное, вес правее середины рассматривается как 0. Аргумент WT может содержать относительные веса, поскольку они нормализуются, чтобы в сумме быть равными единице, при действующем вычислении. В формулах спектральной плотности выше данные {X } и {Y } соответствуют реализации бивариантного стационарного процесса с дискретным параметром, наблюдаемого последовательно во времени. В этом случае наблюдения равно разделены во времени с интервалом ∆t = TINT, равным единице. Однако, если данные соответствуют реализации бивариантного стационарного процесса с непрерывным параметром, записанные с равными интервалами времени, тогда оценки спектральной плотности должны быть скорректированы с


учетом	эффекта	наложения.	В общем	случае,		оценка		̂	дается
								( )
̂	̂	\| \| ≤ /∆	и оценка	̂	дается		̂		̂
( ) = ∆ ( ),				( )				( ) = ∆ ( ),

| | ≤ /∆ . Ненормализованная спектральная плотность оценивается на множестве частот = , t = 1; 2; ...; nf, где nf = NF. Эти частоты – в масштабе, специфицируемом аргументом IFSCAL, но преобразуются к масштабу радианов в единицу времени для вычислительных назначений. Частота желаемой спектральной оценки принимается, чтобы быть введённой в форму, уже скорректированную для интервала времени ∆ . Функция кросс-спектральной плотности в общем случае комплексно-значимая и может быть записана в следующей форме:

h	( ) = c	XY		( )−iq	XY	( ).
XY		XY			XY
Коспектр (cospectrum) оценивается как
cˆXY ( ) = wj
cˆXY ( ) = wj			Re In,N , XY			( k , j ) ,
	j
и спектр квадратур (quadrature spectrum) оценивается как

qˆXY ( ) = wj Im In,N , XY						( k , j ) .
	j
Чтобы оценить ̂	( ) и ̂			( ) заметим, что используется такая

же последовательность весов, и используется, чтобы оценить							̂	и
же последовательность весов, и используется, чтобы оценить							( )	и

̂ .( )

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

ное представление ̂ в полярной форме определяется как

( )

h	( ) =	XY	( )exp (i	XY	( )).
XY		XY		XY

Кросс-амплитудный спектр (cross-amplitude spectrum) оценивается как

		(	)		(			(	)			(	))
ˆ				=		cˆ	2			+ qˆ	2		1 2	,
ˆ	XY			=		cˆ	2			+ qˆ	2			,
	XY						XY				XY

и фазовый спектр (phase spectrum) оценивается как

ˆXY ( ) = arctan (−qˆXY ( )cˆXY ( )).

Наконец, спектр когерентности (coherency spectrum) оценивается как

			cˆ	2		( )+ qˆ		2		1 2
			cˆ	2		( )+ qˆ		2	( )
w		( ) =		XY				XY		.
ˆ	XY			XY			( )h	XY
	XY				h		( )h	( )
					ˆ		ˆ
						X	Y

Выводится когерентность или квадрат когерентности.

3.2.13. Процедура CSWEP

Процедура CSWEP оценивает, используя фиксированную последовательность весов, ненормализованную функцию кросс-спектральной плотности двух совместно стационарных временных рядов, заданных модифицированной кросс-периодограммой и спектральными плотностями предварительно центрированных и дополненных нулями данных { } и { } для t = 1; 2; ...; N.

Процедура CPFFT может быть использована, чтобы рассчитать модифицированные периодограммы ,̃ ( ) и ,̃ ( ) и кросс-периодо- грамму ,̃ ̃( ) на дискретном множестве неотрицательных частот:

	= 2 k N , k = 0;1; K; N 2
k

3.2. Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

̂	̂	( ) на множестве частот = , t = 1; 2; ...; nf, где nf = NF. Эти
	( ) и

̂ , могут отличаться от используемых, чтобы рассчитать ̂ .

( ) ( )

h	( ) = c	XY	( )− iq	XY	( ).
XY		XY		XY
Коспектр (cospectrum) оценивается как
cˆXY ( ) = wj
cˆXY ( ) = wj			Re In,N ,XY ( k , j ) ,
	j
и спектр квадратур (quadrature spectrum) оценивается как
qˆXY ( ) = wj
qˆXY ( ) = wj			Im In,N , XY ( k , j ) ,
	j
где k , j = 2 (k( )+ j)	N и k( ) – целое такое, что					k ,0

к ω. Последовательность m = NWT весов { } для

j = − m2 ; ;(m − m2 −1)

удовлетворяет

wj	=1.
j

ближайшее

Эти веса фиксированы, так что они не зависят от частоты, для ко-

торой оценивается спектральная плотность ̂ . Обычно m нечётное с

( )

симметрией весов около среднего веса 0 . Если m чётное, вес правее се-

редины рассматривается как 0 . Аргумент WT может содержать относи-

тельные веса, поскольку они нормализуются, чтобы в сумме быть равными единице, при действующем вычислении. Оценка ненормализованной кросс-спектральной плотности рассчитывается на таком же множестве частот, что и оценки ненормализованных спектральных плотностей. Однако частная весовая последовательность, используемая, чтобы рассчи-

тать ̂ , может не соответствовать ни весовой последовательности,

( )

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

ни спектральному окну, использованным, чтобы рассчитать или

( ),

или ( ).

Эквивалентное представление ( ) в полярной форме определя-

ется как

( )

( )exp (i

( )).

Кросс-амплитудный спектр (cross-amplitude spectrum) оценивается

как

(

)

(

)

(

))

cˆ2

+ qˆ2

1 2

и фазовый спектр (phase spectrum) оценивается как

( ) = arctan (

−q

( )

( )).

Наконец, спектр когерентности (coherency spectrum) оценивается

как

cˆ

( )+ qˆ

( )

1 2

( )

( )h

( )

Выводится когерентность или квадрат когерентности.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]