Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Применение временных рядов для анализа больших данных. Учебное пособие по курсу «Математические методы анализа больших данных»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

3.2. Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

for the usual periodogram

K =

for the modified periodogram .

2 n

Масштабный множитель обычной периодограммы соотносит ам-

плитуды гармоник с сумой квадратов X

− ˆ

(Fuller, 1976). Если ампли-

туда первой гармоники (соответствующая

k = 0 )

заменяется половиной

её значения,

то,

если N –

нечётное,

то

сумма

квадратов амплитуд

2 +1 гармоник, соответствующих k = 0;1; ; N

2 равна

( X t − X

)

t=1

Для чётного N, если амплитуда первой гармоники (соответствую-

щая

k = 0 )

амплитуда

последней

гармоники

(соответствующая

k = N 2) заменяются каждая половиной их значений, то выдерживается

такое же соотношение. Модифицированная периодограмма является асимптотически объективной оценкой функции ненормализованной спек-

тральной плотности для каждой частоты		(Priestley, 1981). Аргумент
	k

IPVER используется, чтобы специфицировать тип периодограммы. Альтернативное представление дискретного преобразования Фурье

подразумевает

				I		(	) = A				2		(		)+ B		2		(		),
											2						2
	( ) = K				n,N , X	k			(	X			)	k			X		(	k		)
где A	( ) = K			( )		и	B		(				)	= K		1 2			(			)
		1 2														1 2
X	k		X		k			X				k						X			k		представляют (мас-
X	k		X		k			X										X

штабированные) косинус- и синус-преобразования соответственно. Поскольку периодограмма – чётная функция частоты, то достаточно оценить периодограмму на дискретном множестве неотрицательных частот

= 2 k N ,k = 0;1;	; N	2 .
k
		̃	} (без дополнения ну-
Использование центрированных данных {			} (без дополнения ну-

лями) вместо оригинальных данных { }	для	t =	1; 2; ; n	не влияет на
		t =	1; 2; ; n

асимптотические выборочные свойства периодограммы, т.е.

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

n,n, X

(

) I

n,n,X

(

Для

= 0

~ (0)

n,n, X

(0)= K

t=1

отражают средние значения данных.

		0.
k
0
Kn	2	X	2
Kn		X

3.2.5. Процедура SSWD

Процедура SSWD оценивает, используя спектральное окно, ненормализованную функцию спектральной плотности стационарного временного ряда, заданного выборочной последовательностью n = NOBS наблю-

дений { } для t = 1; 2; ...; n.

Пусть { ̃ } для t = 1; 2; ...; N представляет центрированные и дополненные нулями данные

X t	X	t	− ˆ	X	t =1;2;	;n
	=	t		X
	=				t = n +1;	; N,
	0				t = n +1;	; N,

где N = NOBS + NPAD и = XCNTR определяется как

		X
		X
ˆ X			1
ˆ X	=		1	n
				n
	X =			X t
			n t=1

known unknown .

Модифицированная периодограмма { ̃ } для t = 1; 2; ...; N оценива-

ется

(

) = A

(

)+ B

(

n,N , X

где AX ( k ) = K1 2 X t cos( k t )

BX ( k )

= K1 2 X t sin ( k t )

пред-

t=1

ставляют косинус- и синус-преобразования

соответственно,

и K –

{ }

масштабный фактор, равный

1 (2 n). Поскольку периодограмма – чётная

3.2. Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

функция частоты, то достаточно оценить периодограмму на дискретном множестве неотрицательных частот

= 2 k N , k = 0;1;	;	N 2	.
k
Чтобы рассчитать модифицированную		периодограмму		̃
Чтобы рассчитать модифицированную		периодограмму		{ }, ис-

пользуется процедура PFFT.

Оценка ненормализованной спектральной плотности ̂ вычис-

( )

ляется в соответствии с

h	( )
ˆ
X

где спектральное окно

N k

W	( )
n

N 2
	I	n,N ,X	(	)W	( −	),
		n,N ,X	k	n	k
=− N 2

специфицируется аргументом ISWVER. До-

ступны спектральные окна (3)–(7).

Аргумент NM специфицирует число параметров M окна и соответствует числу оценок спектральной плотности, которые должны быть вычислены для данного спектрального окна. Ненормализованная спектральная плотность оценивается на множестве частот = , t = 1; 2; ...; nf, где nf = NF. Эти частоты – в масштабе, специфицируемом аргументом IFSCAL, но преобразуются к масштабу радианов в единицу времени для вычисли-

тельных целей.
̂		( ) принято, что данные { } соответству-
В формуле выше для		( ) принято, что данные { } соответству-

ют реализации стационарного процесса с дискретным параметром, наблюдаемого последовательно во времени. В этом случае наблюдения равно разделены во времени с интервалом ∆ = TINT, эквивалентным единице. Однако, если данные соответствуют реализации стационарного процесса с непрерывным параметром, записанные с равными интервалами времени, то оценка ненормализованной спектральной плотности должна

быть скорректирована		с учетом эффекта наложения. В общем случае
̂	̂	̂

оценка ( ) дается ( ) = ∆ ( ), | | ≤ /∆. Заметим, что частота

желаемой спектральной оценки принимается, чтобы быть введённой в

форму, уже скорректированную для интервала времени ∆. Приближенные доверительные интервалы для ( ) могут быть вычислены, используя формулы, данные во введении.

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

3.2.6. Процедура SSWP

Процедура SSWP оценивает, используя спектральное окно, ненормализованную функцию спектральной плотности стационарного временного ряда, заданного модифицированной периодограммой предварительно центрированных и дополненных нулями данных { ̃ } для t = 1; 2; ...; N.

Может быть использована процедура PFFT, чтобы получить модифицированную периодограмму ,̃ ( ) на дискретном множестве неотрицательных частот

= 2 k N , k = 0;1;	;		N 2		.
k

Симметрия периодограммы используется, чтобы восстановить ординаты на отрицательных частотах.

Оценка ненормализованной спектральной плотности ̂ вычис-

( )

ляется в соответствии с

h	( )
ˆ
X

где спектральное окно

N k

W	( )
n

N 2
	I	n,N ,X	(	)W	( −	),
		n,N ,X	k	n	k
=− N 2

специфицируется аргументом ISWVER. До-

ступны спектральные окна (3)–(7).

Только один параметр окна M может быть специфицирован, так что

рассчитывается только одна оценка	̂
рассчитывается только одна оценка	( ). Ненормализованная спек-
тральная плотность оценивается	на	множестве частот = ,

t = 1; 2; ...; nf, где nf = NF. Эти частоты –		в масштабе радиан в единицу

времени. Временной интервал ∆ выборки принимается за единицу.

3.2.7. Процедура SWED

Процедура SWED оценивает, используя фиксированную последовательность весов, ненормализованную функцию спектральной плотности стационарного временного ряда, заданного выборочной последовательностью n = NOBS наблюдений { } для t =1; 2; ...; n.

Пусть { ̃ } для t = 1; 2; ...; N представляет центрированные и дополненные нулями данные

X t	Xt − ˆX	t =1;2;	;n
X t	=
	0	t = n +1;	; N,

3.2. Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

где N = NOBS + NPAD и = XCNTR определяется как

		X
		X
ˆ X			1	n
ˆ X	=		1

	X =			X t
			n t=1

known unknown .

Модифицированная периодограмма {̃

(

) = A

(

)+ B

n,N ,X

где A

(

) = K

X cos( t )

( )

1 2

t=1

} t =

2	(

X
= K

1; 2;

k	),
		N
1 2
1 2
		t=1

; N			оценивается
X	t	sin (		t )	пред-
			k

ставляют косинус- и синус-преобразования {̃ } соответственно, и K – масштабный фактор, равный 1 (2 n). Поскольку периодограмма – чётная

функция частоты, то достаточно оценить периодограмму на дискретном множестве неотрицательных частот:

	= 2 k N , k = 0;1;	; N 2 .
k

(здесь означает наибольшее целое, не превосходящее ). Чтобы рассчитать модифицированную периодограмму {̃ }, используется процедура PFFT.

Рассмотрим последовательность m = NWT весов { } для

j = − m 2 ;

(			)
;	m −	m 2	−1	,

где

wj	=1.
j

Значения этих весов фиксированы, так что они не зависят от частоты, для которой оценивается ненормализованная спектральная плотность

̂	̂	вы-
( ). Оценка ненормализованной спектральной плотности	( )	вы-
числяется в соответствии с

где

		ˆ
		h
		X
	k, j	= 2 (k( )+ j) N
	k, j

( ) и k

j ( )

w	I	n,N ,X	(	k , j	),
j		n,N ,X		k , j

– целое такое, что ,0ближайшее к ω.

Веса, специфицируемые аргументом WT, могут быть относительными, поскольку они нормализуются, чтобы в сумме равняться единице,

при действующем вычислении ̂ . Обычно m нечётное с симметрией

( )

весов около среднего веса 0. Если m чётное, вес правее середины рас-

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

сматривается как 0. Заметим, что ордината периодограммы I, ,̃(0) заменяется I, ,̃ (1) и сумма отражается от каждой границы. Ненормализо-

ванная спектральная плотность оценивается на множестве частот = ,

t = 1; 2; ...; nf, где nf = NF. Эти частоты –		в масштабе, специфицируемом
аргументом IFSCAL, но преобразуются к масштабу радианов в единицу
времени для вычислительных целей.
̂	( ) принято, что данные { } соответству-
В формуле выше для

оценка ̂ дается

( )

h		( )=
ˆ	X
	X

ˆ thX

( )

Заметим, что частота ω желаемой спектральной оценки принимается, чтобы быть введённой в форму, уже скорректированную для интервала времени t . Приближенные доверительные интервалы для h( ) могут

быть вычислены, используя формулы, данные во введении.

3.2.8. Процедура SWEP

Процедура SWEP оценивает, используя последовательность фиксированных весов, ненормализованную функцию спектральной плотности стационарного временного ряда, заданного модифицированной периодограммой предварительно центрированных и дополненных нулями данных

{̃ } для t = 1; 2; ...; N.

	= 2 k N , k = 0;1;	; N 2 .
k

(здесь означает наибольшее целое, не превосходящее ). Симметрия периодограммы используется, чтобы восстановить ординаты на отрицательных частотах.

3.2. Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

Рассмотрим последовательность m = NWT весов { } для

j = − m 2 ;		;(m − m 2 −1),

где

wj	=1.
j

вы-

( ). Оценка ненормализованной спектральной плотности

( )

числяется в соответствии с

)

n,N ,X (

k , j )

X (

w I

где

k , j

= 2 (k( )+ j)

k( )

–

целое такое, что

k ,0

ближай-

шее к ω.

Веса, специфицируемые аргументом WT, могут быть относительными, поскольку они нормализуются, чтобы в сумме быть равными еди-

нице, при действующем вычислении	̂
	( ). Обычно m нечётное с сим-

метрией весов около среднего веса 0. Если m чётное, вес правее середи-

ны	рассматривается	как	0.	Заметим, что ордината периодограммы
I	̃ (0) заменяется I	̃	( )	и сумма отражается от каждой границы.
, ,		, ,	1

Оценка ненормализованной спектральной плотности вычисляется на

множестве частот = , t = 1; 2; ...; nf, где nf = NF. Эти частоты – в мас-

штабе радиан в единицу времени. Временной интервал	t выборки при-
нимается за единицу.
Приближенные доверительные интервалы для	h( ) могут быть

вычислены, используя формулы, данные во введении.

3.2.9. Процедура CPFFT

Процедура CPFFT рассчитывает кросс-периодограмму двух совместно стационарных временных рядов, заданных выборочными последовательностями n = NOBS наблюдений { } и { } для t = 1; 2; ...; n.

Пусть { ̃ } для t = 1; 2; ...; N представляет центрированные и дополненные нулями данные

Xt	Xt − ˆX	t =1;2;	;n
	=	t = n +1;	; N,
	0

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

где N = NOBS + NPAD и ̂ = XCNTR определяется как

		X
		X
ˆ X			1
ˆ X	=		1	n
				n
	X =			X t
			n t=1

known unknown .

Аналогично, пусть { ̃ } для t = 1; 2; ...; N представляет центрированные и дополненные нулями данные

− ˆ

Y =

t =1;2;

; n

t = n +1;

; N,

где ̂ = YCNTR определяется как

known

Y =

unknown .

n t=1

Периодограмма выборочной последовательности { } t = 1; 2; ...; n, рассчитанная по дополненной нулями данным { ̃ } для t = 1; 2; ...; N, определяется как

I		(	) = A	2	(	)+ B	2	(	),
	n,N , X	k	X		k		X	k

				N
где A	(	) = K	1 2		X	cos(	t )
где A	(	) = K			X	cos(	t )
X	k				t	k
				t=1

			N
и	BX ( k ) = K	1 2	X t	sin ( k t )
и	BX ( k ) = K		X t	sin ( k t )
			t=1

пред-

			̃
ставляют косинус- и синус-преобразования соответственно, и K – мас-

штабный фактор
	2	for the usual periodogram
n		for the usual periodogram
n			.
K =	1		.
	1	for the modified periodogram



2 n
Периодограмма выборочной последовательности				{ } t = 1; 2; ...; N,

рассчитанная по дополненной			нулями последовательности		̃	для
рассчитанная по дополненной			нулями последовательности		{ }	для

t = 1; 2; ...; N, определяется как

In,N ,Y ( k ) = AY2 ( k )+ BY2 ( k ),

3.2. Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

				N
где A	(	) = K	1 2	Y cos(		t )
где A	(	) = K		Y cos(		t )
Y	k			t	k
				t=1

и	B	( ) = K		N
и	B	( ) = K	1 2	Y sin ( t )
	Y	k		t	k
				t=1

пред-

ставляют косинус- и синус-преобразования ̃ соответственно. Поскольку периодограмма – чётная функция частоты, то достаточно оценить периодограмму на дискретном множестве неотрицательных частот

	= 2 k N ,k = 0;1;	; N 2
k

(здесь означает наибольшее целое, не превосходящее ). Процедура PFFT используется, чтобы вычислить обе периодограммы {̃ } и {̃ } в соответствии с версией, специфицируемой аргументом IPVER. Вычислительная формула кросс-периодограммы дается как

(

) = Re I

(

)

+ i Im I

(

)

n,N ,XY

где

[

̃ ̃

(

)] = ̃

(

) ̃

(

) + ̃

(

) ̃

(

)

, ,

[

̃ ̃

(

)] = ̃

(

) ̃

(

) − ̃

(

) ̃

(

, ,

Действительная часть (модифицированной) кросс-периодограммы представляет «сырой» выборочный коспектр (cospectrum) и отрицательная мнимая часть (модифицированной) кросс-периодограммы представляет «сырой» выборочный спектр квадратур (quadrature spectrum).

Отношение между кросс-периодограммами и их комплексносопряжёнными дается как

In,N , XY (−k ) = In*,N , XY ( k ),0 k

и может быть использовано, чтобы восстановить кросс-периодограмму на отрицательных частотах.

3.2.10. Процедура CSSWD

Процедура CSSWD оценивает, используя спектральное окно, ненормализованную функцию кросс-спектральной плотности двух совместно стационарных временных рядов, заданных выборкой n = NOBS наблю-

дений { } и { } для t = 1; 2; ...; n.

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

Пусть { ̃ } для t = 1; 2; ...; N представляет центрированные и дополненные нулями данные

	X		ˆ		t =1;2;	; n
X t	X	t	−	X	t =1;2;	; n
	=	t		X
	=
	0				t = n +1;	; N,

где N = NOBS + NPAD и ̂ = XCNTR определяется как

		X
ˆ X			1	n
ˆ X	=		1

	X =			X t
			n t=1

known unknown .

Аналогично, пусть { ̃ } для t = 1; 2; ...; N представляет центрированные и дополненные нулями данные:

						− ˆ
Y =			Y			− ˆ			t =1;2;		;n
Y =				t				Y
				t				Y
t
		0							t = n +1;		; N,
где ̂ = YCNTR определяется как

	Y								Y	known
ˆY
	=						1 n
	=						1 n
	Y				=			Yt	Y	unknown .
	Y				=			Yt	Y	unknown .
							n t=1

Модифицированная периодограмма { ̃ } для t ется как

(

)

= A

(

)+ B

(

n,N , X

где A

(

) = K

X cos( t )

(

) = K

1 2

t=1

= 1; 2; ...;

X	sin (	t
t	k

N, оценива-

)

представ-

ляют косинус- и синус-преобразования ̃ ный фактор, равный 1/(2 ).

Модифицированная периодограмма ется как

I		(		) = A	2	(		)
					2
	n,N ,Y		k	Y			k
N				и BY ( k ) =
где AY ( k ) = K1 2 Yt cos( k t )				и BY ( k ) =

t=1

соответственно, и K – масштаб-

{ ̃ } для t = 1; 2; ...; N, оценива-

+ B	2	(	),
	2
Y		k

K12 Yt sin ( k t ) представляют

t=1

косинус- и синус-преобразования ̃ соответственно. Поскольку периодо-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]