Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Применение временных рядов для анализа больших данных. Учебное пособие по курсу «Математические методы анализа больших данных»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

2.2. Процесс ортогонализации Грама−Шмидта

Операции умножения вектора на матрицу y←Ax, y←Bx, z←Ax, требуют O(n2) операций, в то время как скалярное произведение требует O(n). Однако процесс ортогонализации Грама−Шмидта для ek+1 будет требовать уже O(kn) операций. При приближении k к n эти затраты становятся сравнимы. Кроме того, для нахождения каждого последующего ek+1 будет требоваться всё больше самих итераций. При сильном замедлении процесс ортогонализации Грама−Шмидта можно запускать не после каждого обновления x, а через итерацию, через две на третью, …, через девять на десятую и т.п.

При вычислениях с одинарной точностью в качестве ε ε можно использовать 10−6. Если не срабатывает правило остановки, то ε можно увеличить до 2 10−6, 3 10−6. Значение 5 10−6 является уже критическим, поскольку при таком «огрублении» сама точность нахождения собственных пар может оказаться такой, что это составит проблему для самого процесса ортогонализации Грама−Шмидта.

2. Частичная проблема собственных значений

ПРОЦЕДУРЫ IMSL АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

3.1.Процедуры IMSL автокорреляционного

икросс-корреляционного анализа

3.1.1. Процедура ACF

Процедура ACF оценивает автокорреляционную функцию стацио-

нарного временного ряда, заданного				выборкой		n = NOBS наблюдений
{ } для t = 1; 2; ...; n.

Пусть ̂ = XMEAN - оценка среднего					временного ряда { }, где

				known
ˆ =		1	n
ˆ =		1

			X t	unknown .
	n t=1

Автоковариационная функция ( ) оценивается как

		1	n−k
	(k ) =	1	(X t	− )(X t+k
ˆ		n − k		ˆ
		n − k
			t=1

− ˆ ),

k = 0;1;

; K,

где K = MAXLAG. Заметим, что ̂(0) – оценка дисперсии выборки. Автокорреляционная функция ( ) оценивается как

ˆ (k ) = ˆˆ ((k0)),

k = 0;1;

; K.

Заметим, что ̂(0) ≡ 1 по определению.

Стандартные ошибки автокорреляций выборки могут быть выборочно рассчитаны в соответствии с аргументом ISEOPT. Один метод (Bartlett, 1946) основан на общем асимптотическом выражении для дисперсии коэффициента автокорреляции выборки стационарного временного ряда с независимыми, идентично распределёнными нормальными ошибками. Теоретическая формула

3.1. Процедуры IMSL автокорреляционного и кросс-корреляционного анализа

var (k ) =	1
var (k ) =	1		2	(i )+ (i − k ) (i + k )− 4 (i ) (k ) (i − k )+ 2	2	(i )	2	(k ) ,
ˆ	n		2		2		2
	n	i=−
		i=−

где

ˆ(k)

принимает μ известным. Для вычислительных целей автокорре-

ляции (k ) заменяются их оценками			ˆ(k) для	k K	и пределы сумми-
рования ограниченны, потому что по предположению					(k )= 0 для всех k,
		K .
таких что	k	K .

Второй метод (Moran, 1947) использует точную формулу для дисперсии коэффициента автокорреляции выборки случайного процесса с независимыми, идентично распределёнными нормальными ошибками. Теоретическая формула

var (k ) =	n − k	,
ˆ	n(n + 2)
	n(n + 2)

где μ принимается равным нулю. Заметим, что эта формула не зависит от автокорреляционной функции.

3.1.2. Процедура PACF

Процедура PACF оценивает частные автокорреляции стационарно-

го временного ряда,

заданного выборкой k = MAXLAG автокорреляций

ˆ(k ) для k = 0; 1; ...; K. Рассмотрим

AR(k) процесс, определённый как

t−1

k 2

t−2

t−k

+ A ,

где Фkj означает j-й коэффициент процесса. Множество оценок

kk для

k = 1; 2; ...; K является

частной

автокорреляционной

функцией

выборки.

Авторегрессионные параметры kj для

j = 1;2; ; k

аппроксимируются

оценками Юла–Уолкера (Yule–Walker) для последующих AR(k) моделей, где k = 1; 2; ...; K, основанные на Yule–Walker–уравнениях для выборки

ˆ ( j ) = ˆk1 ˆ ( j −1)+ ˆk 2 ˆ ( j − 2)+

+ ˆkk ˆ ( j − k ),

j =1; 2;

рекурсивные отношения для k = 1; 2; ...; K были развиты (Durbin, 1960). Уравнения:

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

	(1)
		ˆ
		(k )	k −1
		(k )	−
ˆ		ˆ		ˆ
kk =			j=1
			k −1	ˆ
				ˆ
		1−
			j=1
			j=1

k −1, j

k =1ˆ (k − j)

k = 2; ; Kˆ (j)

и

ˆkj	ˆ	k −1, j	− ˆ	kk	ˆ	k −1, j−1	j =1; 2;	;k −1
	=	k −1, j		kk		k −1, j−1		.
	=						j = k	.
	ˆ	kk					j = k
		kk

Процедура чувствительна к ошибкам округления и не должна использоваться, если параметры вблизи границы нестационарности. Воз-

можна альтернатива, чтобы оценить		kk	для последующих	AR(k)	мо-
		kk

делей, используя метод наименьших квадратов (IMSL процедура NSLSE) или метод максимального правдоподобия. Основываясь на гипотезе, что истинный процесс является AR(p), (Box and Jenkins, 1976) показали, что

ˆ		1	,
ˆ
var	kk	n
	kk

k p +1.

3.1.3. Процедура CCF

Процедура CCF оценивает кросс-корреляционную функцию двух

совместно стационарных

временных

рядов,

заданных

выборками

n = NOBS наблюдений { } и

{ } для t = 1;2;...;n.

Пусть ̂ = XMEAN − оценка среднего

временного ряда { }:

known

ˆ X = 1 n

X t

unknown .

n t=1

Автоковариационная функция ( ) для

{

} оценивается как

n−k

ˆ X (k ) =

(X t

− ˆ X )(X t+k − ˆ X ),

k = 0;1;

; K,

n − k

t=1

где K = MAXLAG. Заметим, что ̂ (0) эквивалентна дисперсии XVAR выборки. Автокорреляционная функция оценивается как

3.1. Процедуры IMSL автокорреляционного и кросс-корреляционного анализа

(k )

(0)

k = 0;1;

; K.

Заметим, что

̂ (0) ≡ 1 по

определению.

Пусть

̂ = YMEAN,

̂ ( ) и ̂

( ) определяются аналогично.

Кросс-ковариационная функция

( ) оценивается как

n−k

−

)(Y

−

)

k = 0;1;

; K

− k

t+k

t=1

XY (k ) =

)(Y

)

k = −1;−2;

;−K.

−

t+k

n − k t=1−k

Кросс-корреляционная функция

( )

оценивается как

ˆ XY (k )

k = 0; 1;

; K.

1 2 ,

( ˆ X (k ) ˆY (k ))

Стандартные ошибки кросс-корреляций выборки могут быть выборочно рассчитаны в соответствии с аргументом ISEOPT. Один метод, основанный на общем асимптотическом выражении для дисперсии коэффициента кросс-корреляции выборки двух совместно стационарных временных рядов с независимыми, идентично распределёнными нормальными ошибками, дается (Bartlett, 1978).

Теоретическая формула:

{ ̂( )} = −1 ∑∞=−∞ [ ( ) ( ) + ( − ) ( + ) +

			+ 2		( ) {					( )		+	1	2		( ) +		1	2( )} −

																		2
		(				(		)			(	2						2			)			(			)
		(		)		(		)			(				)				(		)			(			)
−2	XY		k		X		i		XY			i + k				+	XY			−i					i + k			.
	XY				X				XY								XY					Y
Для вычислительных целей автокорреляции																							( ) и					( ), и кросс-

корреляции		( )		заменяются								их			соответствующими											оценками для

| | ≤ и пределы суммирования равны нулю для всех , таких что | | > . Второй метод оценивает Bartlett–формулу при дополнительном

предположении, что два ряда не имеют кросс-корреляции. Теоретическая формула:

var ˆ XY (k ) =	1
	1	X (i ) Y (i ),	k 0.
		X (i ) Y (i ),	k 0.
	n − k i=−
Важное свойство коэффициента кросс-корреляции				(− ) =

= ( ) для ≥ 0. Этот результат используется при вычислении стан-

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

дартной ошибки кросс-корреляции выборки для лага < 0. В общем, кросс-ковариационная функция несимметрична относительно нуля, так что положительные и отрицательные лаги представляют интерес.

3.1.4. Процедура MCCF

Процедура MCCF оценивает многоканальную кросс-корреляцион- ную функцию двух совместно стационарных многоканальных временных рядов. Определим многоканальный временной ряд X как

X = (X1, X2 , , X p ),

где

X		= (X		, X		,	, X		T	,
	j		1 j		2 j			nj	)

j = 1;2; ; p

с n = NOBSX и p = NCHANX. Аналогично определяется многоканальный временной ряд Y как

Y =	(	Y ,Y		,	,Y	)	,
		1	2		q

где

Y		= (Y	,Y	,	,Y	T	,
	j					)
		1 j	2 j		mj

j = 1;2; ; q

с m = NOBSY и q = NCHANY. Столбцы X и Y соответствуют индивидуальным каналам многоканальных временных рядов и могут быть исследованы из рассмотрения одной переменной. Строки X и Y соответствуют наблюдениям p переменных и q переменных временных рядов соответственно и могут быть исследованы из рассмотрения многих переменных.

Пусть ̂ = XMEAN – вектор-строка, содержащая средние кана-

лов X. В частности,

ˆ X

= ( ˆ X

, ˆ X

, , ˆ X

где для j = 1; 2; …; p

known

ˆ X j

= 1

X tj

X j

unknown .

n t=1

Пусть ̂ = YMEAN определяется аналогично. Кросс-ковариацией

лага k между каналом i X и каналом j Y оценивается как

3.2. Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

ˆ	X Y	j
	i	j

(

)

(

− ˆ

)( t+k , j

)

− ˆ

k = −K; ;−1;0;1; ; K,

ˆ	X Y	j
	i	j

1		(	X		− ˆ		Y	− ˆ
				t ,i		X i
							)( t+k , j	Y j
N		t
(k ) =	1
		(	X		− ˆ		Y	− ˆ
				t ,i		X
N							)( t+k , j	Y
		t

) )

k = 0;1; ; K
k = −1;−2;	;−K.

где i = 1; 2; …; p, j = 1; 2; …; q и К = MAXLAG. Суммирование по t производится по всем возможным кросс-произведениям с N равным числу кросс-произведений в сумме.

Пусть

σˆ

(0) = XVAR – вектор-строка, содержащая оценки дис-

персий каналов X. В частности

)

(0)

(

(0),

(0)

где

(0) =

(X tj

− X

) ,

t=1

j = 1; 2; …; p.

Пусть

σˆ

(0)=YVAR определяется аналогично. Кросс-корреляция

лага k между каналом i X и каналом j Y оценивается как

ˆ	X Y	j
	i	j

						(k )
(k ) =			ˆ	X Y	j				,
(k ) =				X Y					,
	(	X		i		Y		)
	(	X				Y		)
	ˆ		(0) ˆ				(0)	1 2
	ˆ		(0) ˆ				(0)
			i				j

k = 0; 1;

; K.

3.2.Процедуры IMSL спектрального

икросс-спектрального анализа

3.2.1. Процедура DIRIC

Процедура DIRIC оценивает ядро Дирихле (Dirichlet) ( ) для заданного параметра M, угла = RANGLE и допуска = EPS. Вычислительная форма функции задаётся как

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

						1
	(2 + 1)				sin (( +	2) )
								,
		2			1			,
		2			1
					( + 2)				\| \| < ,
			(			)			\| \| < ,
( ) =					1				≤ \| \| ≤ ,
					1
1				sin (( + 2) )
							,
		2			1		,
		2			1
			(		sin (2 )	)
			(			)
{					0,				\| \| > .
Первый случай является аппроксимацией									( ) для небольших ,

второй случай является обычным теоретическим определением.
В спектральном анализе ядро Dirichlet соответствует усеченной пе-
риодограмме спектрального окна, и M называется параметром спектраль-

ного окна. Поскольку ядро Dirichlet может быть отрицательным для определённых значений , оценка спектральной плотности усеченной периодограммы может также быть отрицательной. Это нежелательное свойство, поскольку истинная спектральная плотность является неотрицательной функцией.

3.2.2. Процедура FEJER

Процедура FEJER оценивает ядро Феджера (Fejer) ( ) для заданного параметра M, угла = RANGLE и допуска = EPS. Вычислительная форма функции задаётся как

							2
					sin (1 )
			(			2		) ,
		2	(			1		) ,
						2	2
( ) =							2
1						sin (1 )
				(		2			) ,
	2			(		1			) ,
						sin (2	)
{						0,

| | < ,

≤ | | ≤ ,

| | > .

Первый случай является аппроксимацией ( ) для небольших , второй случай является обычным теоретическим определением.

3.2.Процедуры IMSL спектрального и кросс-спектрального анализа

Вспектральном анализе ядро Fejer соответствует модифицированному спектральному окну Bartlett, и M называется параметром спектрального окна. Поскольку ядро Fejer неотрицательно для всех значений , модифицированная оценка Bartlett спектральной плотности также неотрицательна. Это желательное свойство, поскольку истинная спектральная плотность является неотрицательной функцией.

3.2.3. Спектральные окна

Доступны следующие спектральные окна ( ):

Модифицированный Bartlett:

sin (M 2)

( ) =

= F ( ),

2 M

sin ( 2)

где ( ) соответствует ядру Fejer порядка M.

Daniell:

( )

(2 )

− M

otherwise

Tukey:

( ) = ( −

) + (1 − 2 )

( ) +

( +

0 < ≤ 0,25,

(3)

(4)

(5)

где ( ) представляет ядро Dirichlet. Окно Tukey-Hamming получается, когда a = 0,23 и окно Tukey-Hanning получается, когда a = 0,25.

Parzen:

	(	)		6	(		(	2	(		(	))
W	(	)	=		(	F	(	))	(	− 2 sin2	(	))	,
W			=			F			1	− 2 sin2	2		,
n				M		M 2				3
				M

(6)

где M – чётное. Если M нечётное, то M+1 используется вместо M в формуле выше.

Bartlett-priestley:

		3M	M	2
		3M	M
W ( )=			1−		M
		4	1−		M	.	(7)
		4
n

					M
	0				M

3. Процедуры IMSL анализа временных рядов

3.2.4. Процедура PFFT

Процедура PFFT рассчитывает периодограмму стационарного временного ряда, заданного выборкой n = NOBS наблюдений { } для t = 1; 2; ...; n.

Пусть { ̃ } для t = 1; 2; ...; N представляет центрированные и дополненные нулями данные:

− ̂

= 1; 2; … ;

= {

= + 1; … ; ,

где N = NOBS+NPAD и ̂ = XCNTR определяется как

known

̂ = {

∑

unknown .

Дискретное преобразование Фурье

} для = 1; 2; … ; опреде-

{

ляется как

(

) = ∑ (− )

для дискретного набора частот

, = 0; ±1; … ; ±

Альтернативное представление

( k ) в терминах косинус- и си-

нус-преобразований

̃ (

) = ̃( )

− ̃

( ),

где ̃

(

) и ̃ (

)

) = ∑ (

= ∑ (

Чтобы рассчитать дискретное преобразование Фурье использует-

ся алгоритм быстрого преобразования Фурье. Периодограмма выбороч-

ной последовательности			{ }, t = 1; 2; ...;		n, рассчитанная по центриро-

ванной и дополненной нулями последовательности								̃	},	t = 1; 2; ...; N
ванной и дополненной нулями последовательности								{	},	t = 1; 2; ...; N

определяется как
							2

	̃ (		̃	(−		)\|	= \| ̃	(	)\|	2	,
	̃ (	) = \|∑		(−		)\|	= \| ̃	(	)\|		,
	, ,

где К – масштабный множитель

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]