Преображение иррациональных выражений. Методические рекомендации

УДК 1:51

Л-79

Лоскутова О.И.

Преображение иррациональных выражений. Методические рекомендации - М. Альтаир, 2014 - 31с.

Рецензенты: Старший преподаватель кафедры ВМ: Золотов А.В.

Старший преподаватель кафедры ВМ:Беляева С.Ю.

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ.

Рассмотрен и рекомендован к использованию в учебном процессе на заседании кафедры Высшей математики (протокол №6 от 20 февраля 2014 года)

Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать материалов несут автор и кафедра Высшей математики МГАВТ.

© МГАВТ,2014

© Лоскутова О.И.,2014

3

СОДЕРЖАНИЕ

3.Решение примеров на действия со степенями

7.Действие над арифметическими корнями

4

I.Определение степени с натуральными показателем и её свойства

1 Степенью называется произведение,составленное из одинаковых множителей.

Повторяющийся множитель называется основанием степени, а число.

Одинаковых множителей называется показателем степени.

Например, произведение 7х7х7х7 есть степень; основание этой степени равно 7, а показатель равен 4.

Произведение а*а*……*а(n раз),в которой множитель а повторяется n раз ,есть степень с основанием а и показателем n.Эту степень принято обозначать символом an .

Степень х*х*х*х изображают символом x4 .

Степень а*а изображают символом a2 .

Выражение a2 принято называть квадратом числа а.

Выражение a3 называется кубом числа а.

Выражение an будем называть n-ой степенью числа а.

Итак, первоначально степень определяется для случая, когда показатель является натуральным числом, большим единицы; основание степени может быть любым действительным числом: положительным с отрицательным нулем.

Из определения степени n=1 получаем “произведение одного множителя”, то есть выражение, которое не имеет степени.

Поэтому при n=1 вводится другое определение степени.

Степенью числа а с показателем 1 называется само число.

Действие,с помощью которого вычисляется значение степени,называется

возведением в степень.

Возведите в степень:

5

в степень число 5; б)умножьте значение степени на (-1).

2) 1 15 1; 1 32 1;1n 1;0n 0

Свойства степени

Свойство 1

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, а основание остается прежним.

am an am n

Например, 23 2 22 23 2 1 26 64

Свойство 2

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остается прежним.

am an am n ;a 0;m n

Например,39 35 39 5 34 81.

Свойство 3

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются,а основание остается прежним.

an m anm

Например, b2 3 b6 .

Свойство 4

При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель.

ab n an bn

abcd n anbncnd n .Например, 3 4 2 32 42 9 16 144 .

6

Свойство 5

При возведении в степень дроби в эту степень возводится числитель и знаменатель.

Свойство 6

Если две степени с одинаковыми основаниями равны,то и показатели степеней равны.

Если a 1 ar1 ar2 ,то r1 r2

Применяйте при решении уравнений.Решим уравнение

23x 2 16 23x 2 24 3x 2 4 3x 6 x 2

II Обобщение степени

Историческая справка

Из практики решений все более сложных алгебраических задач и операций со степениями возникла необходимость расширить и обобщить понятие степени с нулевым отрицательным и дробным показателем.

Равенство a0 1(для a 0 ) применял в своих трудах в начале XV в самарканский ученый ал-Каши.Независимо от нулевой показательбыл введен Н.Шюке.В XV веке последний ввел и отрицательные показатели степени.Идея дробного показателя содержится у французского математика Н.Орема (XIVв) в его труде”Алгоризм пропорций”.Позже дробные,как и отрицательные показатели,встречаются в “Полной арифметике”(1544г) у немецкого математика М.Штифеля и у С. Стевина.

О целесообразности введения нулевого, отрицательного и дробного показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон.

Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателем определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т.е. чтобы сохранились основные свойства степени.

8

Определение №5

m

Если a>0 ; n-натуральное число,m-целое число,то a n nam

m

Символ a n называется степенью с дробным показателем.

Для обобщенных степеней справедливы правила, установленные ранее для степеней с натуральным показателем.

am an am n

am an am n

am n amn

ab n an bn

Если a 0; a 1 и

ar1 ar2 , то r1 r2

III.Решение примеров на действия со степенями

1. Вычислите: