Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Преображение иррациональных выражений. Методические рекомендации

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

2		1	2				1			1
			2
2) y3 1 y3				12 y3 1 y3 1								;

	1 1		1	2		1	2		1	1		1 1

3) a 3 b3
3) a 3 b3		a 6			b6			a 6 b6			a 6 b6

4) решите самостоятельно:

1 1

m-n; 4a 2 b2 .

4. Пользуясь тождествами a3 b3 a b a2 ab b2 и a3 b3 a b a2 ab b2

разложите на множители

			1	3				1		3			1		1			2				1 1				2
1) a x				3						3
1) a x		a 3			x3							a 3 b3 a 3 a 3 b3 x 3 ;

	1 1			1		3				1	3			1		1					1		2		1 1				1	2		1	1		1	1 1	1

2) a 2 b2 a 6								b6				a 6			b6					a 6					a 6 b6 b6						a 6		b6	a 3		a 6 b6	b3	;



		1				1	3				1	3					1		1					2			1 1		1

3) 27a c2
3) 27a c2				3a 3					c6						3a 3 c6					9a 3					3a 3c6			c3		;

4)самостоятельно x 3 y3 .

5)Записать выражение без отрицательных показателей степени:

1) 2a 2b

; 2)

5 1 m2n 1

; 3) a b 1 x3

;

a a2 b2

2a2

2a2 5n

10a2n

a a b

a a b a b

3 2 a 2 2 b

b a2 23 b 3 3

8a2 b b 3 3

;

2 3 b 3 3 a 2

32 a 2 2

9 a 2 2

5) a 1 b 1 a 1b 1 b a a b ab

6) Решите уравнение:

1)	x 5x 1	6	ОДЗ x 0
	x 5x 1
		6	0
Вынесем x 1			за скобку,получим:

				12
x 1 x2 5 6x 0	x 1 0
x2 6x 5 0
D 36 20 16;	x1,2	6 4	; x1	5 ОДЗ
D 36 20 16;	x1,2		; x1	5 ОДЗ
	2
			x2 1 ОДЗ

Ответ : 1;5
2)
3 x 1 5 4x 1 5 x 1 2				ОДЗ x 0

Вынесем x 1 в каждой скобке л. части, получили :

x 1

3x 1 x 1

5 x 2

x 2

5x2

1 5x 4

3x 1 5x 4

5x2 1

Если две дроби с одинаковыми знаменателями равны, то и числители дробей равны.

3x 1 5x 4 5x2 1 15x2 5x 12x 4 5x2 1

15x2 5x 7x 3 0
10x2 7x 3 0
D 49 120 169 132 ;							x1,2		7 13	;
D 49 120 169 132 ;							x1,2		20	;
									20
x1 1 ОДЗ; x2 0, 3 ОДЗ

Ответ :			0, 3;1
3)
		3					1
92 3x					32 2 3x	31
								3

		3 3
		3 3
		2				2
34 6x
	33			4 6x
	33			4 6x		3
						3

4 23 6x 6x 103 x 95 .

7) Упростите:

				1		2			1	2
						2				2
	a b		a 2					b2
1)	a b
1)	3	3			1		3		1		3

	a 2 b2
	a 2 b2				2				2
			a					b

		1	1		1	1

	a 2 b2			a 2 b2

	1	1		1		1
	1	1		1		1

a 2 b2			a a 2 b2 b

1		1

a 2	b2		;
	1	1

a a 2 b2 b

																																																																						13
																																													1												1				1					2
																																																																		2
																																																																					12
																																													2
						3							1							1																					b				2					a 2 b2
		ab			2				b				2						b2						ab 1
		ab							b
				1					1													1				1																															1				1
				1					1													1				1																															1				1
2) a 2 b2 1																				a 2 b2 1																																	a 2 b2 1
								1					1				1												1			1

					b2 a 2 b2 1 a 2 b2																																		1																	1							1 1

																																																								2							2				2								b			ab 1 .
																																																b										a						b							1
																		1 1																														b										a						b							1

																	a 2 b2 1
											1															2																										1																				2

					2x					3													x 3																					2x						3																				x 3					2						1

			2											1								5								2													1																								2										x 3			x 1
3)																																																																													x 3			x 1
3)		x 3 3x 3																	x 3 x 5																			x 3											x																x 3						x
		x 3 3x 3																	x 3 x 5																			x 3											x								3								x 3						x		1
												x 1


							x 3										x		1
										1																																									1
					2a 3																			1																						2a 3																									1
			4										1						1		4a										1									1																								a					1
																		a																											a 4																									a 4
		a 3 4a 3																a		2											2								a 3						a 4																								2	a 4
4)																			1																1																								1
							2										a 2										2 a 2																															a 2 2																	1				.
					a 4											a 4												a 4																						1																	1									1			.
					a 4											a 4												a 4																																															a 2 2
																																												a 2 2																	a 2											2			a 2 2

																																										IV Решите самостоятельно
1. (Устно)Вычислите:
										2									1							2					3																								1 3																							2			1	4
						1																																																																				0,5
						1																																																																				0,5
1) 3													; 2)																				;3) 3																													; 4) 0, 64													;5)8			3 ;6)
1) 3													; 2)																				;3) 3																													; 4) 0, 64													;5)8			3 ;6)
																			2																																																														2

2. Вычислите:
																													2							7																	3
1)									1									1							153 33																						105										2 0,6

				255 1255 ; 2)																																			;3)																													;
				255 1255 ; 2)																												1							;3)															5 1.4														;
																																																						5 1.4
																													5		3
			105														125																	2																																3					1
																																		2																		2																			3
4)																									;5)273 2																											2											3								3	;

	2		6							7							3					4
	2								5						2				3																																															8
																																								1							1
6) 0, 5												4										0,25														1				1							2
															625																	2																	;
															625																	2																	;
																																					4
									2 3																3			2											3 1 : 92 3 2 3
7)															3 2																	;8)																																						;
7)															3 2																	;8)																												2										;
									3																																							27
									3																																							27

																																																											14
9)											1 1 2 2																																							23 2 1 5 3 54
																																											;10)																									;
	2					2																																					;10)									3							2							0		;
	2							4											1																			2											10				:10							0, 25
																						5 0, 5
																						5 0, 5
	3
									2										2						3							1 3
			2 : 4									3																																											1						0,75					1						6
			2 : 4									3																																																	0,75											6
11)																																9										;12)16									0,5																						;

																															1				2
5			3			25						2		0, 7										0							1																								16											2


																															2
													1																				3
13) 9 0,5							8 1										0, 25																3
															3
															3																		2 .
3. (Устно) Сократите дробь:
						m2 3																																																							10 y2
		1)				m2 3																							a b																		y 7														10 y2
																	; 2)																							; 3)														; 4)																;
					m																								1					1														y2 7													y
													3																1					1																																10
													3												a 2 b2																																									10
																									a 2 b2
																																																																								1			1		1
																																																														a c															1
																																																			1					1															a 2 c2
					m n																										b c																		x 2 y2																						a 2 c2
		5)			m n													; 6)													b c										;				7)				x 2 y2										; 8)																				.
		5)																; 6)																							;				7)														; 8)																				.
								1								1																1					1														x y																				1			1
								1								1																1					1																																		1			1

					m3 n 3																							b3 c3																																									a 2 c2
4. Упростите:
										4											4															3										3																2
				1)				a 3 b ab													3												a 2 b2																								1				1
								a 3 b ab													3												a 2 b2
																									; 2)																							; 3) a										2 a 2						;
																																			1											1
									3 a 3											b															1											1

																																	a 2 b2
																																	a 2 b2
									1								7													1				5																			1										1
				4)			a 3 a 3																	a						3 a 3																		1 b					2						1 b				2
							a 3 a 3																	a						3 a 3																		1 b					2						1 b				2
																																							; 5)																										;
									1								4									2								1					; 5)														1										1		;

							a 3 a 3																a				3 a							3														1 b					2						1 b				2
							a 3 a 3																a				3 a							3														1 b					2						1 b				2
																										1							1																																		1														1
				6)					a 1													a				2 a							4											1														b 1								b2 1								2						b2			b
									a 1													a				2 a							4			a 4									1;						7)							b 1								b2 1								2				;8)		b2			b	;
									3								1									1										a 4									1;						7)									1						3										1		;8)		a b		1 1		;
																																																																																a b
							a 4 a 2																		a 2 1																												b b2 1													b2 1 b									2							a 2 b2

9)		x y				x y				1 m 2
								;10)
			1 1			1	1	;10)		1	1

	x 2 y2				x 2 y2					m 2 m	2
	x 2 y2				x 2 y2					m 2 m	2
11)				a x			a1,5 x1,5
									.
		a0,5 x0,5					a x		.

2	m 2 n			;
3	1		1	;


m2	m2	m 2

5. Запишите выражение без отрицательного показателя степени:

1) 3x 1y 2 ; 2)	2a2	;	3)	a x
	b 1x 3			a x 1 b2

6. Решите уравнение:

1) 6x 1 x 1; 2) 3 x 1 5 x 1 5 x 1 2 ;


3) 42x 5 2									2; 4)95 x		33 9
7. Проверьте равенства(самостоятельно на два варианта)
IB														IIB
																	3				9
1)	61,7 21,3						216;				1)		124						34				108;
1)		3 1,3					216;				1)									1			108;
																				1

													4						4
				1			1												1					2						2
2)6					ax			2ax;				2)8									m				n				4m		n;
2)6					ax			2ax;				2)8									m				n				4m		n;
				3															2
		m n								1						b c										1
3)		m n					n 2 m;					3)				b c								b 2				c;
3)			1			1	n 2 m;					3)												b 2				c;
			1			1												1				1
		m2 n 2													b2 c2

4)22 3				3 8			3	4;				4)41 2 3									16 3							4;
5)		a 1					a2 .					5)				b 2 b 1												1
5)		a 1 a 2					a2 .					5)
		a 1 a 2																	b 1								b2

V Свойства монотонности степени (выражены неравенствами)

a 0; b 0

1)Если a b и x 0, то a x bx . 2)Если a b и x 0, то a x bx .

3)Если a 1 и x1 x2 , то a x1 a x2 . 4)Если 0 a 1 и x1 x2 , то a x1 a x2 .

Рассмотрим эти свойства на примерах. Сравните мжду собой следующие пары чисел:

1) 4 27 и 4 15 . Применим третье свойство:a 4 1; 27 15 4 27 4 15 ;

		1	1,2			1	0,8
				и				.Применим четвертое свойство :
		3		и		3		.Применим четвертое свойство :
2)		3				3
2)									1 1,2	1 0,8
					1				1 1,2	1 0,8
	0 a						1; 1, 2 0,8				;
	0 a				3		1; 1, 2 0,8				;
					3				3	3

													16
3)	25 и 35 ; 2 5					и 3 5.Применим 1е и 2е свойства :
	2 3 и 5 0 25 35 ; 2 3 и 5 0 2 5 3 5 ;
4)		2 6			2	6									2	2		2 6	2 6
					и	.Применим первое свойство :											и 0			;
					и	.Применим первое свойство :											и 0			;
		5			9										5 9			5	9
5)			5 4			5	4			5 0			е
					и 1;			и			.Применим 4 свойство :
					и 1;			и			.Применим 4 свойство :
		19				19			19
a			5	1 и 4 0						5 4		5 0		5	4 1.
a				1 и 4 0											4 1.
		19
		19							19			19	19

VI Корень n-ой степени и его свойства

1) Из школьного курса алгебры известно понятие арифметического квадратного уравнения которое часто использовали при решении квадратных уравнений.

Определение.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число

,квадрат которого равен а.

Например, числа 6 и -6 являются квадратными корнями из числа 36. При этом число 6 является арифметическим квадратным корнем, а число -6 не является арифметическим корнем.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначается символом a .

Знак называется знаком арифметического квадратного корня, a

называется подкоренным выражением.

Выражение a читается так:“арифметический квадратный корень из числа а ”.

В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, кратко говорят:

“корень квадратный из числа а”

(Квадратный корень называют также корнем второй степени)

Например, 49 7 (но не 7 ); 19 13 (но не 13 )

Определение арифметического корня означает, что выражение a имеет смысл только при a 0.

Исходя из определения:

Если a 0, то a2 a .

Если a 0, то a2 a.

Во всех случаях a2 a .

Напимер, 3 2 3 3; x2 2x 1 x 1 2 x 1 .

Используя определение арифметического квадратного корня, решение уравнения x2 36 можно записать так:

x 36 x 6

Свойства арифметмического квадратного корня.

ab a b, a 0; b 0.

a	a	, a 0; b 0.
b

	b

2)Напомним,что квадратным корнем из числа а называется такое число,квадрат которого равен а, т.е. такое число х, которое удовлетворяет уравнению x2 a.Квадратный корень называют также корнем второй степени.

При решении многих задач	приходится находить корни уравнения
xn a, где n N.Например,решенинм	уравнения x3 125 является число х=5,т.к.

53 125 .Это число называют кубическим корней или корнем третьей степени из числа

125.

Определение

Корнем n-ой степени из числа а называется такое число,n-я степень которого равна а n N; n 1 .

Например,число 3 является корнем четвертой степени из числа 81,т.к. 34 81.

Чило -3 также является корнем четвертой степени из числа 81,т.к. 3 4 81.

Число3являетсяарифметическимкорнемчетвертойстепениизчисла81изаписывется 481 3.

Определение

Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа называется неотрицательное число,n-я степень которого равна данному числу.

Обозначается: na;a 0.

Например, 532 2, т.к. 25 32.

Исходя из определения имеем:

na 0; na n a a 0; n N; n 2

Существуют также корни нечетной степени из отрицательного числа;они обозначаются

тем же символом na .(n=2k+1-нечетное

число;a<0).Например, 3 27 327 3; 5 32 532 2.

Действие,посредством которого отыскивается корень n-ой степени,называется извлечением корня n-ой степени.Это действие является обратным для возведения в степень.

VI Основные свойства арифметического корня n-й степени

1)Корень из произведения:

nab na nb;a 0; b 0; n N; n 2

Чтобы извлечь корень из произведения достаточно извлечь корень из каждого множителя.

2)Корень из дроби:


	a		n a	; a 0; b 0; n N; n 2
n	b	n b		; a 0; b 0; n N; n 2
n

Чтобы извлечь корень из дроби достаточно извлечь корень из числителя и знаменателя.

3)Возведение корня в степень:

na m nam ;a 0; n N; n 2; m N

Чтобы возвести корень в степень достаточно подкоренное выражение возвести в эту степень.

4)Извлечение корня из корня:

m na mna;a 0; m N; m 2; n 2

Чтобы извлечь корень из корня достаточно перемножить показатели корней,а подкоренное выражение оставить тем же.

Справедливы и обратные утверждения.

Примеры. Вычислите:

1) 416 81 416 481 2 3 6;

3 12 2 12 36 6;

327 8 125 327 38 3125 3 2 5 30;

										3
	81				4 81				3	3		24							3				3
2) 4	81				4 81				3	;		24	3 8 2; 3 96 3						3	3		96 :	3		3	64	4;
2) 4										;			3 8 2; 3 96 3							3		96 :			3	64	4;
	625			4	625				5	3 3									2				2
3) 6			3 6				6				2; 4				2 4		4				3 1			1
						43		26								9 2		3 4
		4												9											;
		4												9									3		;
																							3

4)33 63; 364 664 626 2;

5)34a 12a;a 0; 3a12b36 6a12b36 a2b6 a2b6.

VII.Действия над арифметическими корнями

1.Упростите выражение 327 54 16 .

Попробуем,если это возможно,представить подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является кубом числа

327 54 16 327 27 2 8 2 327 27 8 4 327 327 38 34 3 3 2 34.

2.Упростите при a 0; x 0 :

а) 3ax5 ;б) 3ax5 ; 32ax5 ; 2 3ax5 .

б)применим 4 свойство корня:

а) 3ax5 6ax5 ;б) 3ax5 6ax5 ;

в)внесем множитель 2 под знак квадратного корня:

32ax5 34ax5 64ax5 ;

г)внесем множитель 2 под знак кубического корня:

23ax5 38ax5 68ax5 .

3. 33 44. Приведем корни к одному показателю,используя основное свойство

арифметического корня.

НОК(3;4)=12 33 44 1234 1243 1234 43 1281 64 125184.

4.Какое число больше 1020 или 55 ?

55 1052 1025;1025 1020 55 1020.

25 20; n 10(свойство монотонности)

5.Упростите выражение: а) 7 43;б)2 9 42 .

a)Обратим внимание,что

7 43 4 43 3 22 43 3 2 2 3 2 .Поэтому 7 43 2 3 2 2 3

2 3, т.к. 2 3 0;

б) Выражение 9 42 представим так:

9 42 8 42 1 22 2 42 12 22 1 2

Тогда данное выражение примет вид:

2 9 42 2 22 1 2 2 22 1 22 2 22 1 2 1 2 2 1.

7. Исключить иррациональность в знаменателе:

Для исключения(уничтожения) иррациональности в знаменателе дроби надо

подыскать простейшее из выражений,которое при умножении на знаменатель,дает

рациональное выражение и умножить на подысканный множитель,числитель изнаменатель дроби.

Например,если в знаменателе дроби двучлен a x ,то надо числитель и знаменатель умножить на выражение,сопряженное знаменателю(сумму на разность и наоборот).

Примеры:

a 3

;

3 b

3 b 3 b2

3 b3

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]