Планирование и техника эксперимента. Учебное пособие

7. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Основная задача дисперсионного анализа – оценить влияние каждого из факторов и их комбинаций на выходной параметр, то есть выделить из всего многообразия воздействующих на изучаемый процесс факторов лишь те, влияние которых наиболее существенно. При классическом методе исследования варьируют только один фактор, а остальные оставляют постоянными. При этом для каждого фактора проводится своя серия наблюдений, не используемая при изучении других факторов. Кроме того, при таком методе исследования не удается определить взаимодействие факторов при одновременном их изменении. При дисперсионном анализе каждое наблюдение служит для одновременной оценки всех факторов и их взаимодействий.

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменчивость изучаемой случайной величины. Для этого производится разложение суммарной выборочной дисперсии на составляющие, обусловленные независимыми факторами. Каждая из этих составляющих представляет собой оценку дисперсии генеральной совокупности. Чтобы решить, значимо ли влияние данного фактора, необходимо оценить значимость соответствующей выборочной дисперсии в сравнении с дисперсией воспроизводимости, обусловленной случайными факторами. Проверка значимости оценок дисперсий проводится по критерию Фишера. Если рассчитанное значение критерия Фишера окажется меньше табличного, то влияние рассматриваемого фактора нет оснований считать значимым. Если же рассчитанное значение критерия Фишера окажется больше табличного, то рассматриваемый фактор влияет на изменчивость средних. Для реализации дисперсионного анализа необходимо принять следующие допущения: 1) случайные ошибки наблюдений имеют нормальное распределение; 2) факторы влияют только на изменение средних значений, а дисперсия наблюдений остается постоянной; эксперименты равноточны.

Требование нормального распределения определяет выбор основных факторов при исследовании процесса методом дисперсионного анализа. Если нужно получить нормальное распределение выходной величины, к случайным желательно относить только те факторы, влияние которых на выходную величину очень мало. Исключение можно делать лишь для тех фак-

41

торов, которые сами по себе (из каких-либо других соображений) дают нормальное распределение результатов.

Факторы, рассматриваемые в дисперсионном анализе, бывают двух родов: 1) со случайными уровнями и 2) с фиксированными. В первом слу-чае предполагается, что выбор уровней производится из бесконечной сово-купности возможных уровней и сопровождается рандомизацией. При этом результаты эксперимента имеют большее значение, поскольку выводы по эксперименту можно распространить на всю генеральную совокупность. Если все уровни выбираются случайным образом, математическая модель эксперимента называется моделью со случайными уровнями факторов (случайная модель). Когда все уровни фиксированы, модель называется моделью с фиксированными уровнями факторов. Когда часть факторов рассматривается на фиксированных уровнях, а уровни остальных выбираются случайным образом, модель называется моделью смешанного типа. Иногда отсутствует различие в критериях, применяемых для разных моделей, и единственное различие состоит в общности выводов, в других случаях существует различие в критериях.

Однофакторный дисперсионный анализ. Рассмотрим действие единичного фактора А (количественного или качественного), который принимает к различных значений (уровней фактора). На i-м уровне производится ni наблюдений.

Будем предполагать, что необходимые для дисперсионного анализа допущения соблюдены.

Общее число опытов N n1 n2 ... nk . Рассмотрим сначала вариант с одинаковым количеством опытов (наблюдений) на каждом уровне фактора А ( n1 n2 ... nk n ). При этом N nk . Для наглядности результаты эксперимента сведены в таблицу

42

Среднее значение наблюдений на i-м уровне: yi Ani . Общее среднее

Для проведения дисперсионного анализа находят общую выборочную дисперсию, разлагают ее на составляющие, которые будут характеризовать вклад фактора А SA2 (k-1 степеней свободы) и фактора случайности Sош2 (N-k число степеней свободы). Точную оценку для дисперсии фактора также можно получить, рассматривая отклонения средних на отдельных уровнях от общего среднего всей выборки. Затем влияние фактора А проверяется с помощью критерия Фишера. Влияние фактора А считается значимым, если

Дисперсионный однофакторный анализможно провести по алгоритму. 1. Считают итоги по столбцам:

n

Ai y ji .

j1

2.Считают сумму квадратов всех наблюдений:

k n

SS1 y 2 ij .

i 1 j 1

3. Считают сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце:

SS2 1 k Ai2 . n i 1

4. Считают квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений (корректирующий член):

SS3 1 ( k Ai )2 . N i 1

5.Считают сумму квадратов для столбца:

SSA SS2 SS3 .

6.Считают SSобщ – общую сумму квадратов, равную разнице между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом:

SSобщ SS1 SS3 .

7.Считают SSост – остаточную сумму квадратов для оценки эксперимента:

SSост SS1 SS2 .

43

8. Считают дисперсию фактора А:

S A2 kSS A1 . 9. Считают дисперсию случайного фактора:

Sош2 kSS(nост1) .

чимым. При этом общая дисперсия связана только с фактором случайности и может служить оценкой воспроизводимости.

Рассмотрим алгоритм дисперсионного анализа для случая с разными количествами наблюдений на каждом уровне фактора. На уровне ai прове-

k

дено ni количества опытов ( N ni ). Тогда:

i 1

1. Считают итоги по столбцам:

ni

Ai y ji , i 1,2,..., k

j1

2.Считают сумму квадратов всех наблюдений:

k ni

SS1 y2 ij .

i 1 j 1

3. Считают сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце:

4. Считают квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений (корректирующий член):

SS3 1 ( k Ai )2 . N i 1

Дальнейшие расчеты сводятся к предыдущему алгоритму

44

8. ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Двухфакторный дисперсионный анализ делает возможным изуче-

ние влияния на процесс одновременно двух факторов А и В. Фактор А исследуется на уровнях a1 , a2 ,..., ak , фактор В — на уровнях b1 ,b2 ,..., bm . При

такой постановке задачи возможны две модели представления результатов эксперимента. Первая: при каждом сочетании уровней факторов А и В проводится п параллельных наблюдений, таким образом возможно выделить эффект влияния фактора A, фактора B, случайного фактора, а также эффект взаимодействия факторов.

Вторая модель – модель без учета взаимодействия факторов, которая применима в случае невозможности проведения параллельных наблюдений (в таблице в ячейках только одно значение выходной величины y).

Так же, как и для однофакторного дисперсионного анализа, принимаются допущения, что влияние случайного фактора (ошибка) описывается нормальным распределением, математическое ожидание равно нулю.

Рассмотрим процесс дисперсионного анализа для второй модели (без взаимодействия между факторами A и B). В этом случае выделяют дисперсию фактора А SA2 ((k-1) степеней свободы) через рассеяние по столбцам и дисперсию фактора B SB2 ((m-1) степеней свободы) через рассеяние по строкам от общего среднего всех наблюдений. Следует учитывать, что на рассеяние значений в столбце bj не влияет фактора А, и оно обусловлено толь-

45

SS B SS3 SS4 .

9.Считают SSобщ – общую сумму квадратов, равную разнице между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом:

SSобщ SS1 SS 4 .

10.Считают SSост – остаточную сумму квадратов для оценки эксперимента:

SSост SSобщ SS A SS B SS1 SS 2 SS3 SS 4 .

11. Считают дисперсию фактора А:

S A2 kSS A1 . 12. Считают дисперсию фактора B:

SB2 mSSB1 . 13. Считают дисперсию случайного фактора:

Установив при помощи дисперсионного анализа значимость влияния фактора, возможно выяснить какие именно средние значения различны (например, припомощикритерияСтьюдентаилиранговогокритерияДункана).

В случае если между факторами A и B существует взаимодействие, то этому взаимодействию как фактору влияния также соответствует дисперсия SAB2. Взаимодействие АВ служит мерой того, насколько влияние фактора А зависит от уровня фактора В, и наоборот, насколько влияние фактора В зависит от уровня А. В приведенном алгоритме при наличии взаимодействия между факторами SAB2 как составная часть входит в дисперсию Sош2. Выделить SAB2 можно только при наличии параллельных наблюдений. Для этого дополнительно к предыдущему алгоритму определяют дисперсию в каждой ячейке таблицы (плана) эксперимента. При наличии факторного взаимодействия степень свободы дисперсии взаимодействия f(SAB2)=(k-1)(m-1), а для дисперсии случайного фактора f(Sош2)=mk(n-1).

Алгоритм проведения дисперсионного анализа в этом случае примет следующий вид:

1. Считают суммы наблюдений в каждой ячейке:

n

yij yiju , j 1,2,..., m;i 1,2,..., k .

u1

2.Считают квадрат сумм наблюдений в каждой ячейке:

47

9. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ДИСПЕРСИОННОГО

ИРЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗОВ

Впредыдущих разделах были рассмотрены основные приемы обработки экспериментальных данных. Ниже будут рассмотрены механизмы разработки стратегии планирования эксперимента, исходя из задач, поставленных перед экспериментатором, реализующие все возможные неповторяющиеся комбинации опытов n независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируется на k уровнях. Необходимое число опытов N при ПФЭ равно N = kn. Если число уровней составляет 2, то N = 2n.

Существуют следующие виды планов: центральные композиционные, ортогональные, ротатабельные, планы Хартли и др.

Рассмотрим способ построения центрального композиционного плана (ЦКП). ЦКП представляет собой набор точек, расположенных симметрично относительно центра изучаемой области факторного пространства.

Все расчеты проводятся в безразмерной системе координат, которая называется кодированной системой. В случае двухфакторного пространства (две независимые переменные) переход от натуральной системы к кодированной осуществляется по следующей формуле:

Хi = xi – xi0/ xi, i = 1, 2, 3, …, n,

где хi – размерные (натуральные) значения факторов; Хi – безразмерные (кодовые) значения факторов; xi0 – базовые значения i-го фактора (значение нулевого или основного уровня).

В этом случае верхние и нижние уровни варьирования Хiв и Хiн в относительных единицах равны соответственно +1 и –1 независимо от физической природы факторов, значений базовых уровней и интервалов варьиро-

вания хi.

План ПФЭ составляется следующим образом: каждому фактору отводится колонка значений; первая колонка состоит из последовательного чередования по одному +1 и –1, во второй колонке чередование по два, в третьей – по четыре и т.д. При увеличении числа факторов n 2 проводят последовательное достраивание матриц ПФЭ (см. таблицы).

50