Планирование и техника эксперимента. Учебное пособие

менении значений другого, причем эта связь может проявляться с различной степенью силы.

Выборочный коэффициент корреляции определяют по формуле

Знак r указывает на направление связи: прямая или обратная. Абсолютная величина r указывает на силу (тесноту) связи.

Оценка тесноты линейной связи (шкала Чаддока)

При r 0 связь прямая, то есть с ростом х растет у. При r 0 связь обратная, то есть с ростом х убывает у.

Оценку значимости коэффициента парной корреляции (проверку наличия корреляции) выполняют по формуле

Подставив в формулу значение t f ,a / 2 , получают предельное значение коэффициента корреляции, с которым сравнивают r0. При условии

r0 rf ,a / 2 принимается решение о наличии взаимосвязи. Поскольку

для вычисления r используют два расчетных значения x, y , то число степеней свободы f = n –2.

Метод наименьших квадратов. Наиболее простой и употребляемый вид зависимости – линейная зависимость. Она определяется уравнением

31

y b0 P0 (x) b1 P1 (x) ... bk Pk (x) ,

где P0 (x), P1 (x),..., Pk (x) – ортогональные полиномы Чебышева на множе-

стве точек x1, x2, …, xn. Это означает, что для всех u ≠ j выполняется соотношение

n

Pu (xi )Pj (xi ) 0 ,

i 1

где Pk+1(x) зависит только от объема выборки n. Зная многочлены Чебышева Pk+1(x), при каждом увеличении степени уравнения регрессии необходимо вычислять только коэффициент bk+1. Многочлены Чебышева определяются по формулам:

P0 (x) 1,

P1 (x) x n 2 1,

...............................

Pk 1 (x) P1 (x)Pk (x) k 2 (n2 2 k 2 ) pk 1 (x). 4(4k 1)

Например:

Определяя коэффициенты b0, b1,…,bk уравнения регрессии по методу наименьших квадратов, получим:

i 1

..............................

n

yi Pk (xi )

bk in 1

yi Pk 2 (xi )

i 1

33

После получения уравнения регрессии переменную z заменяют обратно на переменную x.

Множественная регрессия. Во многих случаях необходимо исследовать зависимость величины у от нескольких переменных x1, x2, …, xl. Эти переменные x1, x2, …, xl называются факторами, а зависимая переменная y откликом (или параметром оптимизации). Зависимость отклика от изучаемых факторов у = f(x1, x2, …, xl) называется функцией отклика. Поскольку вид функции отклика, как правило, неизвестен, ее представляют в виде полинома (многочлена) и, находя по экспериментальным данным оценки коэффициентов полинома, получают эмпирическое уравнение регрессии в виде

y b0 l bj X j bjt X j Xt l bjj X j 2 ...

Коэффициент bo называется оценкой свободного члена уравнения регрессии, коэффициенты bj оценками линейных эффектов, bjt оценками эффектов взаимодействия, bjj оценками квадратичных эффектов.

Ограничимся рассмотрением задачи определения коэффициентов линейного уравнения регрессии:

y b0 b1 X1 b2 X 2 ... bl Xl

и квадратичного

y b0 l bj X j bjt X j Xt l bjj X j 2 .

В некоторых случаях получают уравнение вида

35

которое называется неполным квадратичным или уравнением с парными взаимодействиями.

Пусть выбран вид функции регрессии и по результатам n наблюдений (опытов) над откликом у и факторами x1, x2, …, xl требуется оценить коэффициенты эмпирического уравнения регрессии.

Поскольку это уравнение линейно относительно параметров bo, bj, bjt, bjj, ..., для оценки коэффициентов можно использовать МНК. Идея обобщения метода наименьших квадратов на случай регрессионной модели такого вида заключается в том, что любое произведение факторов или их степень можно рассматривать в качестве нового фактора.

Упростим систему обозначений, заменив члены второго и более высоких порядков линейными: X l 1 X1 X 2 , X l 2 X1 X 3 ,... Кроме того, введем

фиктивную переменную X 0 1, которая всегда принимает значение 1.

Тогда эмпирическое уравнение регрессии примет вид однородного линейного уравнения

Здесь Хij означает значение фактора Xj в i-м опыте. Система состоит из k + 1 уравнений, а неизвестными являются bo, b1, …, bk.

При вычислении коэффициентов нелинейного уравнения регрессии вводят замену переменных: обозначают через x0, x1, x2, …, xk те факторы или те функции от исходных факторов, при которых стоят неизвестные искомые коэффициенты bo, b1, …, bk. При этом необходимо, чтобы новые перемен-

36

ные были линейно независимы (т.е. их значения не могут быть пропорциональны, не могут линейно выражаться друг через друга).

Проверка значимости коэффициента корреляции и адекватности уравнения регрессии. Для проверки коэффициента корреляции выбирают уровень значимости и определяют число степеней свободы f = n-l (l – количество коэффициентов в уравнении регрессии). По табл. прил. 3 определяют rf, . Если r0 rf, , то найденный коэффициент корреляции обладает высокой степенью значимости.

Для проверки значимости и адекватности уравнения регрессии используют критерий Фишера (F-критерий). Для этого определяют общую дисперсию y2 и остаточную дисперсию 2ост

2

и определяют их отношение F0 2y .

ост

Если F0 Fn-1, n-l, , то уравнение статистически значимо описывает результаты экспериментов.

37

ходимо иметь количественную оценку ошибок эксперимента в целом, то есть общую для всех опытов дисперсию параметра у, которую будем обозначать s2y. Эта дисперсия называется дисперсией воспроизводимости.

Для расчета дисперсии воспроизводимости необходимы повторные опыты, то есть несколько наблюдений над величиной у, проведенных при неизменных значениях основных факторов. При этом если различные опыты повторяются по несколько раз, нужно рассчитать дисперсию для каждого опыта, а затем вычислить общую средневзвешенную дисперсию воспроизводимости. Объединять все наблюдаемые значения у в одну выборку нельзя, поскольку значения отклика в различных опытах могут существенно отличаться из-за разных условий проведения опытов, то есть разных значений основных факторов.

Пусть производится дублирование опытов, то есть каждый из n различных опытов проводится m1, m2, … , mn раз соответственно (рисунок). Обозначим уi u наблюдаемое значение отклика при и-м повторении i-го опыта. Для каждого опыта нужно рассчитать

Здесь yi среднее значение отклика, наблюдаемое в i-м опыте (при i-м комплексе условий), дисперсия s2yi характеризует степень разброса значений отклика в i-м опыте, ее число степеней свободы fi тем больше, чем больше наблюдений проведено при i-м комплексе условий.

Рисунок. Дублирование опытов в эксперименте

39