Планирование и техника эксперимента. Учебное пособие

изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов, и при проектировании объектов. Другой задачей обработки, полученной в ходе эксперимента информации, является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий, направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

Под планом эксперимента понимается совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Под словом «опыт» в данном случае имеется в виду отдельная, элементарная часть эксперимента. Соответственно, понятие планирование эксперимента, определяемое как процесс разработки плана эксперимента, включает в себя все, что делается по разработке стратегии экспериментирования от начальных до заключительных этапов изучения объекта исследования, т.е. от получения априорной информации до создания работоспособной математической модели объекта исследования или определения оптимальных условий. Планирование способствует значительной интенсификации труда исследователя и сокращению затрат на эксперимент, повышению достоверности полученных результатов исследования.

Основным математическим аппаратом теории планирования эксперимента является теория вероятностей и математическая статистика.

Многомерное факторное пространство – это множество точек, каждая из которых соответствует определенной комбинации факторов. Область возможных комбинаций факторов называется областью возможных (допустимых) планов эксперимента.

Вектор, образуемый выходными параметрами-характеристиками свойств или качеств объекта, называют откликом, а зависимость отклика от рассматриваемых факторов – функцией отклика. Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве называют поверхностью отклика. Функцию отклика называют также целевой функцией, имея в виду,

11

что при планировании эксперимента с целью нахождения оптимальных условий она является критерием оптимальности.

Планирование эксперимента проводится в несколько этапов:

постановка задачи (определение цели эксперимента, выяснение исходной ситуации, оценка допустимых затрат времени и средств, установление типа задачи);

сбор априорной информации (получение литературы, опрос специалистов и т.п.);

выбор способа решения и стратегии его реализации (установление типа модели, выявление возможных влияющих факторов, выявление выходных параметров, выбор целевых функций, создание необходимых нестандартных технических средств, формулировка статистических задач, выбор или разработка алгоритмов программ обработки экспериментальных данных).

Основными концепциями современного подхода к организации эксперимента являются рандомизация, многофакторность и автоматизация.

Сущностьрандомизациисостоитвследующем. Любоеэкспериментальное исследование проводится, как правило, в условиях действия систематических ошибоки факторов, которые трудно поддаются учету и контролю. При традиционном подходе к эксперименту исследователи нередко пытаются отделить изучаемое явление от мешающих факторов, как это можно сделать в детерминированных объектах с хорошо изученной структурой. Очевидно, что в недетерминированных объектах с огромным количеством случайных факторов ценность эксперимента, проведенноговособыхусловиях, неможетбытьвысокой.

Концепция рандомизации предлагает принципиально новый подход

корганизации выборочных данных эксперимента. План эксперимента составляется таким образом, чтобы рандомизировать, т.е. сделать случайными в пространстве и во времени систематически действующие мешающие факторы. Тогда эти факторы можно рассматривать как случайные величины и, следовательно, учесть статистически их влияние в значении ошибки эксперимента. Иными словами, в противоположность традиционному подходу

кэксперименту со стремлением стабилизировать мешающие факторы рандомизация внесла концепцию случая в эксперимент.

Принцип многофакторности отражает новый подход к эксперименту в задачах с многими факторами. При изучении объектов с несколькими

12

Наиболее часто целью пассивного эксперимента является построение математической модели объекта, которая может рассматриваться либо как хорошо, либо как плохо организованный объект. В хорошо организованном объекте имеют место определенные процессы, в которых взаимосвязи входных и выходных параметров устанавливаются в виде детерминированных функций. Поэтому такие объекты называют детерминированными. Плохо организованные, или диффузные, объекты представляют собой статистические модели. Методы исследования с использованием таких моделей не требуют детального изучения механизма процессов и явлений, протекающих в объекте.

14

2.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ИЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

Математическая статистика – это раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. Теория вероятностей – это раздел математики, где изучаются закономерности массовых случайных явлений.

Под случайной величиной понимают событие (результат испытания), которое не может быть предсказано заранее в ходе эксперимента. Случайная величина обладает рядом допустимых значений, однако в результате испытания принимает лишь одно конкретное. Проведение достаточно большого количества испытаний случайной величины позволяет установить, что результаты испытаний отвечают определенным статистическим закономерностям. Их выявление, изучение и учет составляют неотъемлемую часть любого эксперимента. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Значения дискретной случайной величины могут быть определены, значения же непрерывнойслучайнойвеличинынепрерывнозаполняютнекоторыйпромежуток.

К постоянным величинам отнесены физические постоянные, например, скорость света в вакууме, заряд электрона, постоянная Больцмана и т.п. Можно считать постоянными величинами также некоторые характеристики конкретного объекта, находящегося при фиксированных условиях. Этот тип физических величин чаще всего встречается в экспериментах, например, при определении длины образца, его массы, теплоемкости и т.п.

Пусть в результате испытания могут появиться несколько событий, эти события называются:

–несовместимыми – если появление одного из них исключает появление других;

–единственно возможными – если в результате испытания появится хотя бы одно из них (других нет);

–равновозможными – если нет преимуществ у каждого исхода перед другими при испытании.

Приведем простой, однако достаточно наглядный пример таких событий – бросание монеты:

15

событие Г – выпал герб; событие Ч – выпало число.

События Г и Ч несовместимые, единственно возможные, равновозможные.

События, которые могут появиться в результате испытания, образуют

полную систему элементарных исходов, если они:

1)несовместимы;

2)единственно возможны;

3)по каждому из этих исходов можно судить о появлении или непоявлении любого события, которое может произойти в результате данного испытания.

Рассмотрим пример с игральной костью. Игральная кость – это однородный кубик, на гранях которого изображено количество очков от 1 до 6, так как всего граней 6.

Испытание – бросание игральной кости.

Событие – выпадение определенного количества очков на верхней грани.

Полную систему элементарных исходов образуют шесть событий: E1, E2, E3, E4, E5, E6, которые заключаются в том, что количество выпавших очков составит 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков соответственно.

Действительно, эти шесть исходов удовлетворяют трем перечисленным выше условиям полной системы элементарных исходов. Пусть событие A – «выпало четное число очков». Это означает, что появились события E2

или E4 или E6. По этим трем элементарным исходам можно судить о появлении события A. Они называются благоприятствующими событию A. Пусть событие B – «количество выпавших очков больше четырех». Это означает, что появились события E5 или E6, то есть эти два элементарных исхода благоприятствуют событию B. Отметим также, что так как кубик однородный, то все шесть элементарных исходов являются равновозможными.

Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину недостаточно задать ее конкретные значения, необходимо указать как часто она их принимает.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события

A называется число P(A), равное отношению количества благоприятствующих событию A элементарных исходов m к общему количеству элементар-

ных равновозможных исходов n:

16

P(A) mn .

В примере с игральной костью всего элементарных равновозможных исходов n = 6, поэтому

P(A) mnA 63 12 0,5;

P(B) mnB 62 13 .

Заметим, что P(E1) = P(E2) = … = P(E6) = 1/6, так как любому элементарному событию благоприятствует один исход (одна грань из шести).

В примере с бросанием монеты Р(Г) = 12 и P(Ч) = 12 , так как каждому из событий «выпал герб» и «выпало число», благоприятствует один элементарный исход из двух равновозможных элементарных исходов Г и Ч.

Рассмотрим еще пример с урновой схемой. Урна – это емкость с шарами. Пусть всего в урне 20 одинаковых на ощупь шаров (по размеру, температуре, гладкости), которые отличаются только цветом, например, 12 из них красные, а остальные – белые. Испытание – извлечение наугад одного шара. Событие K – появление красного шара.

Очевидно, что всего элементарных исходов n = 20 (по количеству шаров), причем все эти исходы равновозможны. Событию K благоприятствуют 12 исходов (по количеству красных шаров), поэтому

P(K ) mnK 1220 0,6.

Вероятностьлюбогособытияможетприниматьзначениятолькоот0 до1:

0 P(A) 1..

Вероятность можно задать в процентах, например, P(A) = 0,8, или

P(A) = 0,8 · 100 % = 80 %.

Достоверное событие – обязательно произойдет в результате испытания, так как все исходы благоприятные, то есть m = n:

P(A) mn nn 1.

Невозможное событие – не может произойти в результате испытания, так как благоприятных исходов нет, то есть m = 0:

17

P(A) mn 0n 0.

Случайное событие – может произойти или не произойти в результате испытания: 0 < P(A) < 1.

Статистическое понятие вероятности. На практике чаще пользуют-

ся статистическим понятием вероятности.

Вероятность события А – это число, около которого колеблются устойчивые значения относительных частот W при многократном повторении испытаний:

P A W (A) mn ,

где n – количество испытаний, m – количество появлений события A. Устойчивость означает, что относительные частоты незначительно

изменяются в различных сериях испытаний.

Например, если подбрасывать монету много раз, то, как показывают опыты, примерно в половине случаев выпадет герб, то есть P(Г) 12 , что

соответствует результату, полученному по классическому определению вероятности. Аналогично можно подбрасывать много раз игральную кость или много раз извлекать шар из урны, возвращая его каждый раз обратно, и по результатам этих опытов получить значения вероятностей для конкретных событий.

Основные теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий:

Р(А или B) = P(A) + P(B).

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Р(А и B) = P(A) · P(B).

События называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

Р(А и B) = P(A) · PA(B),

18

где PA(B) – условная вероятность, то есть вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.

Эти теоремы остаются справедливыми для трех и более событий. Теорема сложения вероятностей совместимых событий:

Р(А или B) = P(A) + P(B) – Р(А и B).

Эта теорема позволяет находить вероятность появления хотя бы одного из двух событий А или В.

Ниже на примерах будет показано, как эти теоремы применяют для решения конкретных задач, в частности, для нахождения вероятности появления только одного события, хотя бы одного события и в других случаях.

Полная группа событий. События H1, H2, …, Hn образуют полную группу, если они:

а) несовместимы попарно; б) единственно возможны.

Для таких событий справедливо равенство:

P(H1 ) P(H2 ) P(Hn ) 1.

Если в полной группе лишь два события: A и A (не A), то они называются противоположными, очевидно, при этом

P(A) P(A) 1,

то есть

P(A) 1 P(A).

Формула полной вероятности. Пусть событие A наступает с одним из событий (гипотез) Hi , тогда полная вероятность события A находится по формуле

P( A) P(H1 ) PH1 ( A) P(H 2 ) PH2 ( A) ... P(H n ) PHn ( A),

где события H1, H2, …, Hn образуют полную группу.

Формула Байеса. Эта формула служит для переоценки вероятности гипотезы Hk при условии, что событие A произошло:

19

Здесь в знаменателе стоит полная вероятность события A, а в числителе – одно из ее слагаемых.

Повторение независимых испытаний. Пусть известна вероятность появления события А в одном испытании: Р(А) = р, причем р 0 и р 1, то-

гда Р(A) 1 – p = q – вероятность непоявления события А.

Испытание повторяется n раз. Требуется найти вероятность того, что событие А наступит при этом ровно k раз:

Рn (k) – вероятность, что в n испытаниях событие наступит k раз. Эта вероятность находится по формуле Бернулли

Рn (k) k!(nn! k)! рk qn k ,

где ! – знак факториала, математической операции такой, что n! = 1 2 3 … n,

например, 1! = 1 2! = 1 2 = 2

3! = 1 2 3 = 6 4! = 1 2 3 4 = 24

5! = 1 2 3 4 5 =120 и т.д.

Формулу Бернулли удобно применять, если число повторных испытаний невелико (n 10).

Формулы Лапласа. Если число испытаний велико (n 10), то вместо формулы Бернулли используется так называемая локальная формула Лапласа, которая является приближенной:

Рn (k) npq1 (x0 ) ,

где

x0 k np . npq

Значение функции (x0 ) берется по таблице (прил. 1).

Если число испытаний велико (n 10) и нужно найти вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит от k1 до k2 раза, то применяют интегральную формулу Лапласа, которая также является приближенной:

20