Моделирование систем и процессов. Статистическое моделирование. Учебное пособие

Для бесконечно малого интервала (х, х+dx)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле

Для стандартного отклонения остаeтся в силе формула (А.22).

Пример А.3: экспоненциальное распределение. Это распределение описывает случайные величины, принимающие только неотрицательные значения. Плотность распределения имеет вид

Примерные графики функций fX(x) и FX(x) показаны на рис. А.1.

71

fX(x)

FX(x)

1

Рис. А.2. Графики плотности (а) и функции (б) стандартного нормального распределения

Пример А.5: гамма-распределение. Плотность гамма-распределения имеет вид

где а > 0, b > 0 – параметры распределения, а Г(а) – гамма-функция. Гаммараспределение, как и экспоненциальное, описывает неотрицательные случайные величины. В приложениях часто а – целое число, тогда Г(а) (а-1)!. При а 1 гамма-распределение переходит в экспоненциальное с параметром b.

А.4. Системы случайных величин (случайные векторы)

Совокупность двух случайных величин X, Y, рассматриваемых совместно, называется системой двух случайных величин (двумерным случайным вектором). Эта система может геометрически интерпретироваться как случайная точка с координатами X, Y в декартовой системе координат на плоскости.

Далее рассматриваются только непрерывные случайные величины. Функцией распределения F(x,y) системы двух случайных величин называется вероятность совместного выполнения двух неравенств Х < x и Y < y:

F(x,y) Р(Х х, Y < y). Плотность распределения f(x,y) системы двух случайных величин выражается через F(x,y) формулой

x y

73

Вероятность попадания случайной точки X, Y в произвольную область D описывается выражением

Функция распределения выражается через плотность формулой x y

Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему, (частные плотности распределения) определяются формулами

Условным законом распределения случайной величины, входящей в систему, называется ее закон распределения, полученный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение. Обозначения условных функций и плотностей распределения случайных величин X, Y:

FX(xy); FY( yx); fХ (xy); fY( yx).

Между условными функциями и плотностями распределения сохраняются те же формулы связи (А.24), (А.26), что и между безусловными. Выражения для условных вероятностей через безусловные:

Случайные величины X, Y называются независимыми, если условный закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения примет другая:

74

Из (А.45) следует

а в случае независимых X, Y

В дополнение к математическим ожиданиям и дисперсиям величин X и Y вводят еще одну числовую характеристику – корреляционный момент, представляющий собой среднее значение (математическое ожидание) произведения отклонений X и Y от своих математических ожиданий mХ , mY .

Коэффициентом корреляции kXY называют отношение корреляционного момента к произведению стандартных отклонений X и Y

Этот коэффициент лежит в пределах (-1) kXY 1 и характеризует степень близости зависимости между X и Y к линейной. Величины X, Y называются некоррелированными, если kXY = 0. Из независимости X, Y следует их некоррелированность; напротив, из некоррелированности необязательно следует независимость.

Понятия и формулы, введенные для системы двух случайных величин, без принципиальных трудностей обобщаются на систему многих случайных величин, т. е. на n-мерный вектор X = X1,X2,...,Xn *.

Так, функция распределения случайного вектора F(х1, х2, …, хn) имеет смысл вероятности

* Здесь и везде далее под векторами подразумеваются столбцы. Запись в строку применяется только для экономии места и в отдельных случаях уточняется применением символа транспонирования «T».

75

а плотность распределения находится путем n-кратного дифференцирования F

по х1 , х2 ,…, хn .

Для плотности распределения случайного вектора справедливо представ-

ление

f(х1 , х2 ,…, хn) f1 (x1)f2(x2 / x1)f3(x3 / x1,x2)... fn(xn / x1,x2,...,xn 1), (А.53)

которое является обобщением формул (А.47). Формула сохранится и при иной нумерации координат вектора X. Плотность распределения системы случайных величин X1, X2, ..., Xk, составляющих часть системы Х, может быть найдена по формуле

Условная плотность распределения величины Хi при условии, что k других величин X1, X2, ..., Xk принимают значения х1 , х2 ,…, хk, определяется выражением

Например, для первых двух сомножителей в правой части (А.53) имеем

Основными числовыми характеристиками (моментами) случайного вектора Х являются математические ожидания m1 ,m2 ,..., mn случайных величин

Х1, Х2, …, Хn , их дисперсии σ12,σ22,...,σn2 и корреляционные моменты Кi,j этих величин, взятых попарно (i,j 1, 2, ..., n). При этом сохраняются свойства (А.50)

76

Корреляционные моменты можно объединить в корреляционную матрицу

К:

Матрица К в силу (А.59) симметрична, а на ее главной диагонали стоят дисперсии величин X1, X2, …, Xn.

Особый интерес для приложений представляет многомерный нормальный случайный вектор, плотность распределения которого выражается формулой

где D – определитель матрицы K, а Aij – алгебраическое дополнение ее элемента, стоящего в строке i, столбце j *.

В результате линейного преобразования нормального вектора вновь получается нормальный вектор с иными числовыми характеристиками (подробнее об этом применительно к одной случайной величине сказано в следующем пункте).

А.5. Функции случайных аргументов

Если Х – непрерывная случайная величина с плотностью распределения fX(x), а случайная величина Y получается в результате функционального преобразования

то функция распределения FY(y) величины Y находится по формуле

где интеграл распространен на все возможные значения х случайной величины Х, удовлетворяющие неравенству, записанному под знаком интеграла для воз-

* Алгебраическое дополнение элемента i, j равно определителю матрицы, полученной вычеркиванием строки i и столбца j из матрицы К, взятому со знаком “+”, если (i + j) – четное число, и со знаком “ “, если это число нечетно.

77

можного значения y случайной величины Y. На рис. А.3 эти значения х показаны отрезками жирной линии.

(x)

y

носительно x. Результатом и будет (y) – обратная функция с аргументом y. Обратной по отношению к (y) будет снова (y)(аргументы ниже опущены):

Таким образом, при линейном преобразовании изменения плотности распределения сводятся к ее смещению по оси абсцисс и изменению масштаба по оси абсцисс и ординат.

78

В этом случае для плотности нормального распределения (А.35) имеем после преобразований:

т. е. линейная функция нормального распределения случайной величины также распределена нормально с математическим ожиданием

(дисперсия при этом равна DY = a2DX).

Понятие математического ожидания, введенное ранее для случайных величин, распространяют и на любую функцию (X): математическим ожиданием М{ (Х)} функции случайного аргумента Х, имеющего плотность распределения fX(x), называется интеграл

Математическое ожидание неслучайной величины С равно самой величине С

Операция вычисления математического ожидания обладает свойством линейности, т. е. если

(X) С1 1(X)+ С2 2(X)+…+ Сr r(X),

где С1, С2, … ,Сr – константы, то

M{ (X)} С1М{ 1(X)}+ С2M{ 2(X)}+…+ Сr M{ r(X)}. (А.73)

79

Понятие математического ожидания обобщается и на функции нескольких случайных аргументов.

А.6. Вероятностная сходимость и предельные теоремы

В теории вероятностей возникает необходимость введения понятий сходимости, отличных от принятых в математическом анализе. Рассмотрим два вида вероятностной сходимости.

Последовательность случайных величин Х1, Х2, … называется сходящейся в среднем квадратическом (С. К.) к случайной величине Х, если

Последовательность случайных величин Х1, Х2, … называется сходящейся по вероятности (П. В.) к величине Х, если при любом 0

Для С. К. сходимости необходима и достаточна сходимость последовательности математических ожиданий M{XN} к M{X} и последовательности дисперсий разностей (XN – X) к нулю. Из С. К. сходимости следует П. В. сходимость; обратное в общем случае неверно. Приведенные определения относятся и к сходимости последовательности случайных величин XN к неслучайной величине X (например, к X 0).

Понятия вероятностной сходимости фигурируют в серии теорем теории вероятностей, известных под общим названием «Закон больших чисел». Приведем две из них. Они составляют теоретическое обоснование процедур моделирования, позволяя рассчитывать на получение приемлемых оценок для вероятностей событий и математических ожиданий случайных величин по мере увеличения числа испытаний (опытов) в ходе моделирования.

Пусть А – случайное событие, а р – его вероятность. Введем частоту со-

бытия А – случайную величину f nN, представляющую собой отношение числа n появлений события А в N независимых испытаниях к числу испытаний.

80