Моделирование систем и процессов. Статистическое моделирование. Учебное пособие

Итак, если случайная величина Y задана своей функцией распределения FY (y), то ее можно моделировать, найдя зависимость (1.16) и используя в качестве аргумента функции значения случайной величины .

Для существования функции , обладающей свойствами непрерывности и строгой монотонности, использованными при выводе, нужно, чтобы теми же свойствами обладала в своей области определения функция распределения FY. Обычно так и бывает для большинства используемых при моделировании распределений*.

Пример 1.1. Функция экспоненциального распределения описывает случайную величину Y, принимающую только неотрицательные значения, и имеет вид

где >0 параметр распределения (см. также формулы (А.32), (А.33) и пояснения к ним). Это распределение часто используется в теории надежности, массового обслуживания и других областях. Обратной по отношению к FY является функция

Согласно (1.13)

Как отмечалось в § 1.1, величина (1 – ) имеет то же распределение, что и . Поэтому с тем же успехом можно использовать и формулу

Пример 1.2. Найдем функцию для моделирования случайной величины , равномерно распределенной на произвольном, не обязательно совпадающем с (0,1) интервале (a,b)

* Процедуру моделирования по формулам (1.13) и (1.16) можно обобщить и на функции распределения не обязательно непрерывные и строго монотонные. Однако в этих случаях обычно удобнее вместо стандартного метода использовать индивидуальный подход для каждого распределения.

21

Пример 1.3. В целом ряде задач оказывается полезным понятие случайной точки, равномерно распределенной в некоторой области на плоскости, например, в прямоугольнике*. Случайные декартовы координаты X и Y такой точки с возможными значениями x и y выбираются с помощью двух независимых случайных чисел 1 и 2 по формуле вида (1.22)

Y c + (d c) 2 ,

где а, b абсциссы, а c и d ординаты углов прямоугольника (рис. 1.9, а).

*Строго говоря, этот пример выходит за рамки данного параграфа и относится, скорее,

к§ 1.9, поскольку использует понятие системы двух случайных величин. Однако ввиду особой простоты и полезности для ближайших рассуждений целесообразно поместить его здесь.

22

§1.7. Моделирование непрерывных случайных величин (метод исключения)

Предполагается, что моделируемая случайная величина задана своей плотностью распределения fY(y), которая, во-первых, ограничена некоторой величиной M

fY(y) M

и, во-вторых, сосредоточена на конечном промежутке [a, b], т. е.

(рис. 1.9, б).

Согласно методу исключения выбираются абсцисса 1 и ордината 2 случайной точки E, равномерно распределенной в прямоугольнике aa b b, по формулам (1.23) с соответствующей заменой X на 1, Y на 2; при этом c 0, d = М,

1 a + (b a) 1,

(1.26)

2 = M 2.

Если точка Е оказывается под кривой fY(y), то величине Y присваивается значение 1. В противном случае точка Е отбрасывается и выбирается новая пара 1, 2 при других значениях 1, 2.

Оказывается, что получаемая таким образом случайная величина Y действительно обладает плотностью распределения fY(y). Строгое доказательство этого факта существует, но здесь воспользуемся вместо него упрощенным рассуждением.

В соответствии с методом исключения в расчет принимаются только точки, расположенные в области под кривой fY(y). В данной области точки распределены равномерно так же, как и в квадрате aa b b (собственно говоря, для обеспечения равномерности распределения по этой области и применена схема равномерного распределения по прямоугольнику с отбрасыванием части точек).

Вероятность P(y < Y < y + dy) попадания случайной величины Y в малый интервал (y, y + dy) равна вероятности попадания точки Е в показанный на рис. 1.9, б заштрихованный прямоугольник с высотой fY(y). Площадь прямоугольника при малых dy равна

Площадь всей области под кривой fY(y)

24

b

В соответствии с (А.29) это и означает, что Y обладает заданной плотностью распределения fY(y).

Метод исключения удобно использовать, когда fY(y) задана графически, например, в результате обработки опытных данных. Для большинства теоретических распределений метод исключения вносит методическую погрешность, поскольку не соблюдается условие (1.25). Впрочем, эта погрешность за счет выбора параметра b может быть сделана практически приемлемой. Для моделирования многих случайных величин применяют и специальные приемы, использующие индивидуальные особенности их распределений. Два таких приема рассмотрены в следующем параграфе.

§ 1.8. Моделирование для некоторых специальных распределений

В теоретических и прикладных исследованиях широко используются случайные величины, обладающие нормальным распределением, функция которого дается формулой (А.36). Ее применение требует вычисления специальной функции «интеграла вероятности». Та же проблема с уже обсуждавшимися в § 1.5 негативными последствиями возникает при попытках применения стандартного метода. Вместо него может быть использована простая процедура, непосредственно опирающаяся на центральную предельную теорему (см. при-

ложение А, формула (А.79)).

Теорема допускает использование в качестве X1, X2, …, Xn случайных величин практически с любым распределением. Выберем в качестве Хi случайные числа i с равномерным на (0,1) распределением, для которых согласно (1.4) и (1.6) m = 1/2 и 112 .

n

Составим сумму i , тогда при достаточно большом n случайная вели-

i 1

чина

будет иметь стандартное нормальное распределение (А.38). Обычно считают, что величина Z0 практически нормальнa при количестве слагаемых n,

25

большем 10. Особенно удобно брать n = 12: при этом формула (1.30) упрощается

что может иметь немаловажное значение, когда реализации Z0 необходимо получать в больших количествах. Строгости ради следует отметить, что при использовании формулы (1.31) значения Z0 не могут быть больше 6 или меньше (–6) в отличие от «настоящей» нормальной величины, которая имеет возможные значения в диапазоне ±∞. Однако вероятность выхода последней за пределы ±6 настолько мала, что это обычно не имеет значения.

Располагая стандартной нормальной величиной Z0 с математическим ожиданием mz0 0 и стандартным отклонением z0 1, можно построить нормальную величину Z с любым заданным математическим ожиданием mz и стан-

Таким образом, в целом алгоритм моделирования нормальной случайной величины Z с заданными параметрами mz, z укладывается в блок-схему, показанную на рис. 1.10, а.

В теории массового обслуживания и в других приложениях находит применение распределение Эрланга. Его определяют как распределение случайной величины Y, представляющей собой сумму n случайных величин X1, X2, …, Xn, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром μ.

Известно также, что распределение Эрланга представляет собой частный случай гамма-распределения (А.39) при b μ, a n.

Однако при моделировании Y можно обойтись даже без знания выражений для плотности или функции распределения, опираясь непосредственно на формулу (1.33). В ней следует использовать в качестве Xi величины, получаемые путем преобразования (1.20) после несущественного изменения обозначений. Тогда с учетом (1.33)

26

Возможен и другой вариант, вытекающий из свойств логарифмов,

который более экономичен с точки зрения вычислений на ЭВМ, поскольку требует только одной операции логарифмирования. Блок-схема алгоритма представлена на рис. 1.10, б.

Рис. 1.10. Блок-схема моделирования нормального распределения (а)

ираспределения Эрланга (б)

§1.9. Моделирование случайных векторов

Стандартный метод моделирования случайного вектора X ║X1, X2,…, Xn║, для которого известна совместная n-мерная плотность распределения fx (x1, x2, …, xn), основан на формуле (А.53).

Рассмотрим сначала двумерный вектор ║X1, X2║. Пусть получено некоторое значение x1 случайной величины X1, имеющей частную плотность распределения f1(x1). Это можно сделать средствами, некоторые из которых описаны в двух предыдущих параграфах. Затем, пользуясь теми же средствами, получим значения x2 случайной величины X2 с плотностью распределения f2 (x2/x1), куда вместо произвольного значения x1 подставлено значение x1 .

27

Можно доказать, что найденная таким образом пара чисел x1 ,x2 является выборкой из совокупности случайных величин X1, X2 с совместной плотностью распределения, равной

f1 (x1) f2 (x2/x1).

В силу (А.53) при n = 2 это выражение совпадает с f1,2 (x1, x2).

Таким образом, для моделирования случайного вектора ║X1, X2║ нужно по заданной совместной плотности распределения f1,2 (x1, x2) определить f1 (x1) (по формуле (А.54) при k = 1, n = 2 или, что то же самое, по формуле (А.56)):

Далее нужно найти f2(x2/x1) по формуле (А.55) при i = 2, k = 1 (или по формуле (А.57))

Затем следует выполнить описанную выше последовательность получения x1 , x2 .

Нетрудно обобщить изложенную схему на вектор любой размерности, пользуясь методом индукции. В результате получится довольно простая процедура, сводящаяся к воспроизведению n случайных величин, подчиняющимся различным одномерным законам распределения.

Однако этой процедуре должна предшествовать значительная подготовительная работа, заключающаяся в определении по fХ (x1, x2, …, xn) безусловной f1 и условных вероятностей f2, f3, …, fn, входящих в выражение (А.53), по формулам (1.36), (1.37) и им подобным, вытекающим из (А.55). Иногда, особенно при высокой размерности n вектора X, такая работа может оказаться трудно выполнимой. Впрочем, возможны и ситуации, когда заданная плотность вероятности fx (x1, x2, …, xn) известна сразу в форме (А.53).

Особо следует остановиться на многомерных нормальных векторах X, поскольку они, во-первых, часто встречаются в приложениях и, во-вторых, допускают простую схему моделирования, отличающуюся от стандартной. Плотность распределения случайного нормального вектора X ║X1, X2, …., Xn║ описывается формулой (А.61), требующей знания только математических ожиданий m1, m2, ..., mn и корреляционной матрицы K (см. (А.60)).

Пусть Z ║Z1, Z2,…, Zn║ система (вектор) независимых нормальных случайных величин с математическими ожиданиями mz 0 и стандартными отклонениями z 1. Такой вектор легко моделируется путем n-кратного применения формулы (1.30), предназначенной для получения одной такой величины (обозначенной там Z0).

28

Применим по отношению к Z линейное преобразование вида

Xn an1 Z1 + an2 Z2 + … + ann Zn +mn.

При надлежащем выборе коэффициентов aij (i, j 1, 2, …, n; j ≤ i) получающиеся в результате преобразования величины Xi будут обладать нормальным распределением с требуемыми математическими ожиданиями mi и корреляционной матрицей K с элементами Kij (i, j 1, 2, …, n) (в развернутом виде см. (А.60)).

В самом деле, нормальное распределение остается таковым после линейного преобразования (см. замечание в конце п. 4 приложения А). Выбирая те-

перь a11= K11 и используя (А.65), (А.68) и (А.69), легко убедиться, что X1

действительно обладает математическим ожиданием m1 и стандартным откло-

нением 1.

Опуская дальнейшее доказательство, укажем, что остальные коэффици-

енты aij следует, стартуя от a11 K11 и постепенно увеличивая номера i, j,

выбирать по рекуррентной формуле* [6]

j 1

* Формула безоговорочно применима только для невырожденного распределения, т. е. такого, которое не сосредоточенно в области с меньшей, чем n размерностью.

29

§1.10. Моделирование одномерных непрерывных случайных процессов

Одномерный непрерывный случайный процесс X(t) – это процесс, состояния которого характеризуются одной непрерывной случайной величиной, а изменения состояний могут происходить в любой момент времени из некоторого промежутка (см. приложение А, п. 7). Поэтому моделирование такого процесса должно предполагать возможность выбора любых моментов времени из промежутка, на котором определен процесс. В то же время, как только этот выбор сделан, задачей моделирования становится воспроизведение последовательности случайных величин, являющихся сечениями процесса для выбранных моментов времени.

Кроме того, в результате выбора получается конечное множество моментов времени t0, t1, t2, …, tN, а значит соответствующие им сечения процесса образуют случайный вектор X с координатами

X0 X(t0), X1 X(t1), X2 X(t2), …, XN X(tN).

Таким образом, задача моделирования процесса в принципе может быть сведена к задаче моделирования случайного вектора, рассмотренной в § 1.7. Однако такая возможность остается, как правило, только теоретической. Препятствием ее практическому воплощению является высокая размерность вектора X, обычно встречающаяся в прикладных задачах, а также отсутствие данных о необходимых при моделировании X многомерных плотностях распределения. Некоторые упрощения возникают для нормальных случайных процессов, но и они, чаще всего, оказываются недостаточными.

Более конструктивными оказываются методы моделирования, использующие описание случайных процессов на основе корреляционной теории. В рамках этой теории случайный процесс задается только своим математическим ожиданием и корреляционной функцией (см. приложение А, п. 7). Дисперсия процесса определяется однозначно через корреляционную функцию второй из формул (А.84). Вид закона распределения для сечений случайного процесса, в принципе, может быть при этом любым. Тем не менее, преимущественно исходят из предположения о нормальном законе. Впрочем, это почти не сказывается на алгоритмах моделирования. Существеннее другое предположение, которое чаще всего и используют, о стационарности (в широком смысле) случайного процесса. При этом его математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от одного аргумента. Дальнейшее изложение опирается на оба предположения.

Итак, пусть нормальный стационарный случайный процесс задан своим математическим ожиданием mx и корреляционной функцией KX ( ). Пусть вы-

30