Моделирование систем и процессов. Статистическое моделирование. Учебное пособие

Легко проверяется, что

Наряду с nсв бывает удобно пользоваться коэффициентом простоя одного канала обслуживания, равным отношению nсв к числу каналов n,

Этот показатель имеет смысл доли времени, в течение которого каждый канал свободен от обслуживания. В частном случае, когда n = 1 имеем

Возможность получения аналитического решения рассмотренной задачи обусловлена простотой предположений, заложенных при ее постановке. Отказ от части этих предположений, например, от предположения о простейшем входящем потоке, может сделать аналитическое решение практически недостижимым. Тогда единственным средством исследования останется статистическое моделирование.

Разумеется, и аналитические выводы далеко не исчерпываются приведенными выше уравнениями и расчетными формулами. Среди них заслуживает специального упоминания замечательный результат, согласно которому формулы (2.20)–(2.21) для системы с отказами остаются справедливыми при любом (не обязательно экспоненциальном) законе распределения времени обслуживания. Следует только понимать под 1/µ математическое ожидание времени обслуживания, соответствующее этому закону. Этот результат позволяет надеяться, что упрощающие предложения и в других случаях не очень искажают подлинную картину.

Остановимся на одной важной особенности математической модели, рассмотренной СМО: случайный процесс изменения состояния в системе может быть описан простой однородной цепью Маркова. Вводя состояния системы так, как об этом сказано в начале параграфа и рассматривая последовательность моментов времени t0, t1, t2, . . . , разделенных интервалами t, получим матрицу переходных вероятностей P в следующем виде:

61

Для наглядности номера состояний нанесены сверху и слева. Это трехдиагональная матрица. Элементы наддиагонали все равны t, элемент поддиагонали в строке i равен iµ t, а элементы главной диагонали равны разности между 1 и остальными элементами соответствующей строки. При ее заполнении учтены вероятности поступления и обслуживания требований за малый интервал времени t, разделяющий моменты переходов между состояниями.

Так, вероятность поступления за t одного требования независимо от состояния системы обслуживания равна t; в простейшем потоке вероятность поступления за t более одного требования пренебрежимо мала.

Вероятность обслуживания за t одного требования теперь зависит от номера состояния, т. е. от числа занятых обслуживанием каналов и равна iµ t. Вероятностью обслуживания за t более одного требования также можно пренебречь. Переходные вероятности получены на основе вероятностей поступления и обслуживания.

Например, первый элемент строки с номером 1 – это вероятность перехода за t из состояния 1 в состояние 0. Она равна вероятности обслуживания заt единственного требования, имеющегося в начале промежутка t. Третий элемент той же строки это вероятность перехода из состояния 1 в состояние 2, равная вероятности поступления за t одного требования. Второй элемент – это вероятность сохранения состояния 1, т. е. события, заключающегося в том, что имеющееся требование не будет обслужено, а иные не поступят. Во всех выражениях для вероятностей сохранены слагаемые порядка не выше t, как это сделано при записи вероятностей поступления и обслуживания. С учетом принятого уровня точности вероятности других переходов (и остальные элементы строки) равны 0.

Таким образом, наряду с другими подходами для рассматриваемой СМО можно использовать и методы анализа цепей Маркова, упомянутые в приложении А, п. 8. Вообще говоря, для полного описания цепи нужны еще и начальные вероятности. Однако в рамках поставленной ранее задачи исследования стационарного режима достаточно найти предельные абсолютные вероятности состояний. Если цепь регулярная, то эти вероятности существуют и не зависят от начальных. В том, что рассматриваемая цепь регулярная, и нужный результат удается получить, можно убедиться путем непосредственных вычислений.

62

Воспользуемся вторым из матричных уравнений (А.124) и запишем его в форме системы скалярных уравнений с учетом (А.123) и конкретного вида матрицы PT , получающейся транспонированием матрицы (2.26):

. . . . . . . . . . . . . . . .

πn πn 1λ t πn πn nμ t 0.

Непринципиальное отличие использованных здесь обозначений от тех, что применены в приложении А, заключается в иной нумерации состояний (и вероятностей), начиная с 0, а не 1.

Элементарные преобразования в (2.27) дают

π0 λ π1 μ 0,

. . . . . . . . . . . .

πn 1λ πn nμ 0.

Система (2.28) сопровождается условием (А.125) с учетом измененной нумерации состояний. В результате πi (i = 0, 1, …, n) подчиняются равенству

Последовательно выражая предельные вероятности через 0 сначала из первого, затем из второго и всех последующих уравнений (2.28), найдем

Подстановка найденных значений в (2.29) позволит найти 0 , а вслед за тем Pпот и nсв . Результаты совпадут с (2.20) и (2.21).

63

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как следует из названия пособия, предлагаемый в нем материал образует отдельный раздел лекционного курса по дисциплине «Моделирование систем и процессов», входящей в учебный план бакалавриата по направлению 15.03.04 – Автоматизация технологических процессов и производств. Требования учебного плана сказались и на выборе вопросов, нашедших свое отражение в пособии. Основное внимание уделено задачам производственного характера, в которых преимущественное значение имеют случайные факторы, и методам их решения средствами моделирования.

Обширную область приложений этих методов дает теория массового обслуживания (ТМО). Для многих ее задач статистическое моделирование представляет собой единственную возможность получить решение. В пособии рассмотрен один пример из этой теории, допускающий, впрочем, аналитическое решение в целях сравнения с результатами моделирования. Более подробные сведения о статистическом моделировании как средстве исследования задач ТМО можно найти в книге [6].

Ввиду общей направленности дисциплины на производственную тематику рассмотрена проблема моделирования сложного для аналитического исследования процесса электрофлокирования. Показаны возможности графических средств в ходе его статистического моделирования.

Продемонстрированы преимущества статистического моделирования при решении одной из задач теории надежности, не нашедшей отражения в соответствующем курсе.

К сожалению, за рамками рассмотрения остался и ряд других заслуживающих специального изложения проблем. Некоторые из них можно найти в кни-

ге [10].

64

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бусленко, Н. П. Метод статистических испытаний / Н. П. Бусленко, Ю. А. Шрейдер. – Москва: Физматлит, 1961. – 226 с.

2.Ван дер Варден, Б. Л. Математическая статистика / Б. Л. . Ван дер Варден. – Москва: Иностранная литература, 1960. – 434 с.

3.Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – Москва: Наука, 1988. – 408 с.

4.Вентцель, Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – Москва: Наука, 1991. – 384 с.

5.Виленкин, С. Я. Статистическая обработка результатов исследования случайных функций / С. Я. Виленкин. – Москва: Энергия, 1979. – 320 с.

6.Ермаков, С. М. Курс статистического моделирования / С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов. – Москва: Наука, 1976. – 319 с.

7.Смирнов, И. Н. Компьютерное моделирование технико-экономических процессов. Типовые модели / И. Н. Смирнов. – Санкт-Петербург: СПГУПТД, 2020. – 160 с.

8.Смирнов, И. Н. Примеры SIMULINK-моделей систем автоматического управления / И. Н. Смирнов. – Санкт-Петербург: СПГУПТД, 2013. – 37 с.

9.Смирнов, И. Н. Моделирование случайных процессов на основе аппроксимации корреляционных функций / И. Н. Смирнов. – Санкт-Петербург:

СПГУПТД, 2016. – 17 с.

10.Основы имитационного и статистического моделирования / Ю. С. Харин, В. И. Малюгин, В. П. Кирлица, В. И. Лобач, Г. А. Хацкевич. – Минск: Ди-

зайн ПРО, 1997. – 288 с.

65

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

А1. Случайные события

Событие А называется случайным, если оно может произойти или не произойти в результате испытания осуществления определенного комплекса условий. С каждым таким событием связывают численную меру объективной возможности, называемую вероятностью события и обозначаемую Р(А)*. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

Событие U называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит; для него

Событие V называется невозможным, если в результате испытания оно не может произойти; для него

Событие Ā называется противоположным событию А, если оно заключается в том, что А не происходит; при этом

Пусть в результате испытания может происходить несколько событий А1, А2, …, Аn. Событие В называется суммой этих событий, если оно состоит в том, что в результате испытания происходит хотя бы одно из них. Применяют обозначение

Событие С называется произведением событий А1, А2, …, Аn, если оно состоит в том, что в результате испытания происходят все эти события. Применяют обозначение

* Запись Р(…) всюду далее означает "вероятность события …". Событие может обозначаться одним символом, как в формулах (А.1)–(А.4), или более подробно.

66

События А1, А2, …, Аn называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти вместе, т. е. вероятность произведения любых двух из них есть событие невозможное:

События А1, А2, …, Аn образуют полную группу, если в результате испытания обязательно происходит хотя бы одно из них, т. е. их сумма есть событие достоверное:

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей (теорема сложения вероятностей для несовместных событий):

Из последних двух формул вытекает, что вероятности несовместных событий, образующих полную группу, в сумме равны единице:

Условной вероятностью события А при наличии события В называют вероятность события А, вычисленную при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р(А / В).

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на появление другого. Для независимых событий

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Для независимых событий А и В

Обобщением последнего результата является теорема умножения вероятностей для независимых событий: когда события независимы, т. е. появление одного из них не меняет вероятностей остальных, вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

67

Пусть исходом опыта может стать одно из полной группы несовместных событий В1, В2, …, Вn, вероятности которых равны Р(В1), Р(В2 ), …, Р(Вn). Пусть для события А получены условные вероятности Р(А/В1), Р(А/В2),…, Р(А/Вn). Тогда вероятность (безусловная) события А вычисляется по формуле полной вероятности

Р(А) Р(В1)Р(А/В1) + Р(В2)Р(А/В2) + … + Р(Вn)Р(А/Вn). (А.15)

А.2. Дискретные случайные величины

Дискретной случайной величиной Х называется величина, которая в результате испытания принимает одно из возможных дискретных значений х0, х1, х2, …, но не известно заранее, какое именно. Дискретными называются значения, отличные друг от друга, которые можно пронумеровать. Число возможных значений может быть конечным или бесконечным, но счетным .

Исчерпывающей характеристикой дискретной случайной величины является закон ее распределения, который задается перечнем возможных значений хi (i = 0, 1, …, n; n – натуральное число) и соответствующих им вероятностей рi, например, в виде таблицы

Факт принятия случайной величиной Х значения хi можно рассматривать как случайное событие «Х хi» и задавать закон распределения в виде

Р(Х = х0 ) = р0 , Р(Х = х1 ) = р1, …, Р(Х = хn ) = рn . (А.16)

Поскольку случайная величина в результате испытания принимает одно и только одно из возможных значений, эти события образуют полную группу и несовместны, а значит,

Вместо записи (А.16) может существовать алгоритм (например, формула), позволяющий вычислять вероятности рi. В случае счетного множества возможных значений такая форма закона распределения является единственно возможной.

* Напомним, что бесконечное множество счетно, если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел (иными словами, элементы счетного множества можно перенумеровать).

68

Пример А.1: биномиальный закон распределения.

х0 0, х1 1, х2 2,…, хn n;

где 0 r 1 – параметр закона,

n!

Cni i!(n i)! биномиальные коэффициенты (число сочетаний из n по i).

Например, при n 3

Пример А.2: распределение Пуассона. Возможные значения Х целые неотрицательные числа: х0 0, х1 1, х2 2, … . Их вероятности

i

рi Р(Х хi) e- , (А.19) i!

где 0 – параметр закона Пуассона.

В частности, Р(Х 0) e- , Р(Х 1) e- , Р(Х 2) e- 2/2.

Математическим ожиданием mX дискретной величины Х называется ее среднее значение, вычисляемое по формуле

i 0

Дисперсией DX величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от среднего:

Средним квадратичным (или стандартным) отклонением называется арифметическое значение квадратного корня из дисперсии

69

А.3. Непрерывные случайные величины

Непрерывной случайной величиной (в широком смысле слова) называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал.

Функцией распределения FX(x) непрерывной случайной величины Х называется вероятность того, что Х примет значение, меньшее х:

где FХ(x) – неубывающая функция; FX(– ) 0, FX(+ ) 1.

Если FХ(x) везде непрерывна и имеет производную, случайная величина называется непрерывной в узком смысле или просто непрерывной. Далее рассматриваются только такие случайные величины*.

Плотностью распределения fX(x) называется производная функции FX(x):

* Существуют еще смешанные случайные величины, принимающие как дискретные, так и непрерывные значения. Для них функция распределения на некоторых участках непрерывна, а наотдельных участках имеет разрывы.

70