Моделирование систем и процессов. Статистическое моделирование. Учебное пособие

браны моменты времени t0, t1, t2, …, ti, …, разделенные равными интервалами h*,

Несколько забегая вперед, отметим, что излагаемые далее алгоритмы позволяют строить практически неограниченные по длине последовательности. Поэтому впредь нет необходимости ограничивать перечень моментов времени определенной величиной N, как это было сделано выше при трактовке случайного процесса как вектора.

Требуется построить реализацию случайной последовательности Х0, Х1, …, Хi, …, которую можно было бы рассматривать как сечения реализации заданного случайного процесса в моменты t0, t1,…, ti,…, т. е. Х0 Х(t0), Х1 Х(t1), …, Хi Х(ti), … (рис. 1.11, а).

h

Kx(kh)

Рис. 1.11. Реализация непрерывного случайного процесса и соответствующей случайной последовательности (а); их корреляционные функции (б)

Это требование в свою очередь означает, что математическое ожидание каждой из величин Xi должно быть равно mx, а корреляционный момент величин Xi, Xi+k должен совпадать со значением корреляционной функции при τ kh

(рис. 1.11, б).

независимо от i.

* Можно было бы рассматривать и не обязательно равноотстоящие моменты. На практике это делается редко, и ради такого обобщения не стоит усложнять последующие выкладки. Заметим также, что отсчет моментов времени начинается с t0, а не с t1, как раньше. Для дальнейшего это удобнее.

31

Алгоритмы получения требуемых последовательностей вполне могут быть изложены в предположении, что исходный процесс центрированный, т. е.

В самом деле, если удастся построить последовательность Х1 , Х2 , …,

Xi , …, удовлетворяющую дополнительному условию (1.43), то путем элементарного преобразования

где mX заданное, не обязательно равное 0 математическое ожидание, можно легко вернуться к исходным требованиям. Итак, условие (1.43) принимается, а «черточка» над символом Xi для краткости обозначений будет опущена.

Наибольшее распространение получили два алгоритма моделирования: метод «скользящего среднего» и метод «авторегрессии скользящего среднего (АРСС)». Рассмотрим их поочередно.

Согласно методу скользящего среднего каждое значение Xi в последовательности вычисляется по формуле

где p количество слагаемых, которое можно выбирать, а Z с индексами независимые нормальные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (стандартные). Способ их получения изложен выше в § 1.6 (формула (1.30) или (1.31), где для этих величин применялось обозначение Z0). Для моделирования X0 необходимо иметь p таких величин Z1, Z2, …, Zp, для X1 еще одну величину Zp+1 и (p – 1) предыдущих, начиная с Z2 и т. д., как показано на рис. 1.12. При этом полоса величин Z, участвующих в вычислениях, «скользит» в сторону увеличения их номеров по мере моделирования новых значений Xi. Взаимосвязь между двумя значениями обеспечивается тем, что при их получении используется (p – k) общих величин Z. При k p Xi и Xi+k оказываются независимыми.

Z1 Z2 … Zp Zp+1 … Zi+1 Zi+p …

X1 Xi

X0

Рис. 1.12. Схема метода скользящего среднего

32

Как видно из формулы (1.45), процедура получения Xi весьма проста. Однако она требует сложной предварительной подготовки, заключающейся в выборе коэффициентов cj таким образом, чтобы удовлетворялось требование (1.42). С этой целью запишем равенство, подобное (1.45), заменив i на i + k и составим произведение этих равенств:

Вычислим затем математическое ожидание обеих частей равенства (1.46); в левой части получим корреляционный момент, который согласно (1.42) должен быть равен Kx(kh). При вычислениях в правой части следует учитывать, что математическое ожидание произведения ZjZl равно 0 при j l (в силу независимости этих величин) и равно 1 при j = l , поскольку в этом случае оно совпадает

сдисперсией Z (как принято выше, единичной).

Врезультате при k 0, 1, …, (p – 1) получим систему нелинейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов c1, c2, …, cp

KX(2h) c1c3+c2c4+…+cp-2cp ,

. . . . . . . . . . . .

KX((p-1)h) c1cp .

Решение этой системы представляет определенные трудности. Существуют и другие приемы определения коэффициентов cj. Во всех случаях, как следует из (1.46), корреляционный момент Ki,i+k = 0 при k p в отличие от KX(kh), которая совсем не обязательно обращается в 0 при таких значениях k. Это означает, что условие (1.42) выполняется лишь частично. Таким образом, метод скользящего среднего обладает методической погрешностью, которая может быть заметной при небольших значениях p. Зато метод не накладывает каких либо ограничений на вид корреляционной функции KX.

Метод АРСС, напротив, свободен от методических погрешностей, но связан с ограничениями на характер моделируемого процесса. Он применим только по отношению к процессам, обладающим дробно-рациональной спектральной плотностью, т. е. такой, что ее зависимость от аргумента 2 представляет собою отношение двух полиномов

причем m < n .

33

Примеры таких спектральных плотностей приведены в приложении А (формулы (А.97) (А.99)). Им соответствуют корреляционные функции (А.87) (А.89). Доказано, что в общем случае спектральной плоскости (1.48) соответствует корреляционная функция вида

где Ak( ) и Bk( ) полиномы от ; αk и βk – числовые параметры. Количество слагаемых в формуле (1.49), наличие или отсутствие гармонических составляющих и степени полиномов зависят от конкретного характера Sx( ) (точнее, от вида корней числителя и знаменателя в выражении (1.48)).

Итак, если случайный процесс задан своей спектральной плотностью (1.48) или корреляционной функцией (1.49), его можно моделировать методом АРСС. Опишем метод в общих чертах.

Последовательность значений Xi получается по формуле

Значения X0, X1, …, Xs-1 должны быть получены иными средствами, о чем будет сказано позже. Как видно, принципиальная разница между формулами (1.45) и (1.50) состоит в наличии в правой части (1.50) слагаемых, зависящих от значений случайной последовательности, предшествующих текущему Xi и отстоящих от него на разное количество шагов от 1 до s. Эти слагаемые определяют «авторегрессионую» часть формулы. Вторая сумма в (1.50) подобна правой части формулы (1.45) для метода скользящего среднего.*

Коэффициенты Ar и Bj должны быть выбраны так, чтобы соблюдалось требование (1.42). Для этого существует процедура, упоминание которой можно найти, например, в книге [6]. Здесь она не рассматривается по двум причинам.

Во-первых, трудоемкость процедуры настолько возрастает с увеличением степени числителя и знаменателя в выражении (1.48), что ее вряд ли можно рекомендовать для практического применения уже при n 3. Во-вторых, для наиболее распространенных, важных в прикладном отношении и доступных в плане вычислений спектральных плотностей и корреляционных функций соответствующие выкладки уже проделаны некоторыми авторами, и их результаты (параметры моделей) могут быть использованы в готовом виде. Приведем такие результаты в форме табл. 1.1 для уже упомянутых примеров. Более полный их набор, включая и модели скользящего среднего, содержится в [8].

* Очевидно, этим и объясняется название метода АРСС.

34

Выше отмечалось, что значения X0, X1…вплоть до Xs-1 по формуле (1.50) не могут быть найдены. Если задать их произвольно, то последовательность будет иметь начальную нестационарную часть той или иной длины. Существуют приемы выбора этих значений, обеспечивающие отсутствие нестационарной части. Однако проще всего положить X0 = X1 = … = Xs-1 = 0 и вычислить часть последовательности на интервале, равном или большем времени, когда заданная корреляционная функция практически обращается в 0. Затем следует отбросить все элементы этой последовательности, кроме s последних, используемых для старта новой процедуры, которая уже дает последовательность, стационарную с самого начала.

Как уже стало ясно, рассмотренные методы обладают весьма скромными возможностями выбора корреляционных функций моделируемых процессов. Впрочем, это является не очень существенным их недостатком в плане практического использования. Дело в том, что корреляционные функции или спектральные плотности сложного вида целесообразно заменять их аппроксимациями с помощью ограниченного набора типовых выражений, примеры которых уже обсуждались выше.

Рассмотрим теперь пример, подводящий некоторые итоги.

Пример 1.4. При длительном исследовании случайного процесса изменения давления U(t) в трубопроводе обнаружилось, что его математическое ожидание mU 105 Па, а корреляционная функция процесса приближенно описывается выражением

KU(t) 2e- ,

35

где 1 000 Па стандартное отклонение; 10-2 с-1 параметр, иногда именуемый коэффициентом корреляции. Требуется получить реализацию процесса в виде случайной последовательности на промежутке времени 3 600 с (1 ч).

Выберем сначала h шаг по времени, разделяющий значения искомой последовательности (шаг дискретизации). Вообще говоря, этот выбор произволен, но целесообразно осуществить его так, чтобы между значениями последовательности сохранялась зависимость, присущая ординатам исходного непрерывного процесса. Иными словами, шаг должен быть достаточно мал по сравнению с промежутком времени, на котором корреляционная функция еще не убывает значительно по сравнению со своим начальным значением 2. В данном случае в качестве такого промежутка взято k 1/ 100 с (часто k именуют временем корреляции). На этом промежутке корреляционная функция убывает в e k 2,7 раза. Выберем на нем 10 значений последовательности, т. е. h k /10 10 с.

где A1 e- h e-0,1 0,904 8;

B1 1 2 1000 0,425 8 425,8 Па.

Величины Zi получим по формуле (1.31). Положим далее X0 0 и вычислим 40 значений последовательности (X1, X2,… X40) согласно (1.51). Соответствующий интервал непрерывного времени составляет 400 с. На этом интервале корреляционная функция убывает до значения, составляющего менее 0,02 от максимального и, начиная с X40, процесс определенно можно считать стационарным, не зависящим от выбранного начального X0 0.

Продолжим дальше вычисление Xi по формуле (1.51) до i 400 и переобозначим их символом U по схеме

Ui Xi 40,i 0,1,...,360.

Получатся значения U на заданном промежутке 360 h = 3 600 с. Черта над символом означает, что это реализация центрированного (с нулевым математическим ожиданием) процесса. Чтобы учесть заданное значение mU, достаточно воспользоваться формулой (1.44) с очевидным изменением обозначений. Окончательно получим

Расширению возможностей изложенных методов способствуют некоторые теоремы корреляционной теории случайных процессов. Так, одна из них гласит, что, если стационарный случайный X(t) процесс равен сумме независи-

36

ные центрированные процессы с одинаковыми корреляционными функциями

Таким образом, используя теоремы, можно на основе простых процессов получать процессы с более сложными корреляционными функциями. Существует также ряд приближенных методов, эффективных при практическом применении, особенно с использованием ЭВМ.

Внекоторых случаях бывает известен «механизм» возникновения случайного процесса, который предстоит моделировать. Тогда могут оказаться доступными алгоритмы моделирования, непосредственно использующие этот

«механизм» и не требующие столь серьезной подготовительной работы, как методы скользящего среднего и АРСС*.

Вкачестве примера рассмотрим процесс, называемый «телеграфная волна». Этот процесс может принимать только два значения а и ( а) попеременно

через случайные промежутки времени (рис. 1.13).

X(t)

t

-a

a

Рис. 1.13. Телеграфная волна

Промежутки времени между переменами знака распределены по экспоненциальному закону с параметром (см. формулу (1.17)).

* Идея метода АРСС тоже использует определенные представления о механизме процесса: прохождение «белого шума» через линейную динамическую систему.

37

F (t) 1 e- t , t 0.

Моделирование этого процесса можно свести к следующим действиям: 1)получить значение 1 по правилам, изложенным в примере 1.1 § 1.6, и

положить X(t) а при 0 ≤ t < 1;

2)получить новое значение 2 по тем же правилам и положить X(t) а при 1 ≤ t < 1 + 2 и т. д.

В качестве исходного можно выбрать и значение ( а) или «разыграть» его как случайную величину, поскольку описание «телеграфной волны» дано без указаний относительно начала процесса. С течением времени процесс перестает зависеть от этого выбора и становится стационарным.

Можно показать, что математическое описание установившегося процесса равно 0, а корреляционная функция описывается одним из стандартных выражений

KX ( ) а2е-2 .

В то же время этот процесс весьма далек от нормального.

Существует целый ряд процессов, происхождение и характеристики которых определяются свойствами порождающих их физических систем: «обобщенная телеграфная волна», «импульсный дробовой эффект» и др. [4].

Следует упомянуть еще два метода воспроизведения стационарных процессов. Один из них использует «формирующий фильтр» – преобразование белого шума системой с частотной характеристикой, вид которой определяется заданной спектральной плотностью воспроизводимого процесса. Этот метод подробно описан в методических указаниях к лабораторной работе [8] и потому здесь не рассматривается.

Второй метод основан на АРСС-модели упрощенного вида с предварительной аппроксимацией заданной корреляционной функции. Его описание приведено в указаниях к лабораторной работе [9], и здесь также не повторяется.

§ 1.11. Моделирование цепей Маркова

Теория марковских процессов предоставляет широкие возможности исследования случайных явлений. Особенно продуктивной является теория простых однородных цепей Маркова, к которым при определенных предположениях часто сводятся марковские процессы других типов. Известно большое количество прикладных задач, при решении которых находят применение цепи Маркова. Это, например, задачи теории надежности, теории массового обслуживания, некоторые проблемы физики полимеров, а также ряд задач биологии. Классическим примером является броуновское движение. В последние десятилетия интенсивно развивались исследования управляемых марковских процессов, обогатившие общую теорию управления.

38

Одной из важных особенностей цепей Маркова является простота их моделирования на ЭВМ. Рассмотрим некоторые методы моделирования, опираясь на общие сведения, приведенные в п. 7 приложения А.

Рассмотрим марковскую цепь с n состояниями Е1, Е2, …, Еn. Каждому из них сопоставим возможное значение 1, 2, …, n дискретной случайной величины Е. Введем начальный момент времени t0 и моменты t1 t0+h, t2 t0+2h, …, tk t0+kh, …, в которые возможны переходы из одного состояния в другое. С этими моментами свяжем случайные величины Е(t0), Е(t1), …, Е(tk), … с теми же возможными значениями 1, 2, …, n.

Пусть задана матрица переходных вероятностей P и столбец начальных вероятностей П0

Под моделированием цепи будем понимать воспроизведение с помощью ЭВМ реализации последовательности случайных величин Е(t0), Е(t1), …, вообще говоря, вместе с порождаемыми ими последствиями.

Рассмотрим сначала момент времени t0. Для него получение случайной величины Е(t0) ничем не отличается от процедуры моделирования дискретной случайной величины с вероятностями возможных значений 10, 20, …, n0, заданными столбцом П0 в (1.56). Эта процедура была рассмотрена в §1.4.

Для момента времени t1 распределение Е(t1) уже будет зависеть от исхода моделирования в начальный момент времени t0: если Е(t0) 1, то вероятности будут задаваться строкой 1 матрицы Р; если Е(t0) 2, то строкой 2 и т. д. В остальном схема моделирования остается прежней. Моменты t2, t3, …, tk ,…, не вносят принципиальных изменений в процедуру моделирования, изложенную для момента t1: распределение E(tk) дается строкой i матрицы, если Е(tk-1) i. Блок-схема модели представлена на рис. 1.14.

Переменные pj сначала принимают значения начальных, а затем переходных вероятностей той или иной строки матрицы P. Переменная q играет ту же роль, что и в схеме рис. 1.5: образует переменную правую часть неравенства в условном операторе для выяснения, какое из состояний реализуется после обращения к ГСЧ.

Врезультате многократного моделирования по этой схеме можно судить

очастоте появления (а вслед за тем и о вероятности) того или иного состояния цепи. Для этого нужно дополнить схему счетчиками числа появлений состояний. Предельные вероятности, когда они существуют и не зависят от начальных, могут быть оценены и путем однократного моделирования при достаточно больших k.

39

Впрочем, существуют и задачи, в которых интерес представляет поведение только самой марковской цепи. В этом случае наряду с рассмотренным ме-

40