Моделирование систем и процессов. Статистическое моделирование. Учебное пособие

Метод середины квадратов не обеспечивает распределения, достаточно близкого к равномерному.

Впоследствии усилиями многих исследователей были созданы генераторы псевдослучайных чисел с гораздо лучшими свойствами [1]. Все они не идеальны в том отношении, что дают по существу дискретные числа (в связи с ограниченностью количества разрядов, что уже обсуждалось выше), а также образуют обязательно повторяющиеся последовательности псевдослучайных чисел. Правда, период повторения обычно достаточно велик, чтобы это не сказывалось на большинстве практических приложений. Широкое распространение получил так называемый мультипликативный датчик. Псевдослучайные числа строятся в нем по формуле

где M некоторое большое целое число, а фигурные скобки означают операцию выделения дробной части. Хорошие результаты дает выбор М в виде

M 52p 1,

где p максимальное целое число, удовлетворяющее условию

52p 1 2m.

Генераторы псевдослучайных чисел включены в число функций наиболее употребительных алгоритмических языков. Так, в языке С это функция rand( ). Она возвращает 215-1 32 767 псевдослучайных целых чисел от 1 до 32 767 (m = 15). Для приведения этих чисел к стандартному интервалу (0,1) каждое из них необходимо поделить на 32 767. Чтобы функция rand( ) начала работать, нужно задать стартовое число с помощью одной из функций: srand(num) или randomize( ). Первая непосредственно вводит целое стартовое число num, которое следует выбрать из диапазона 1 32 767. При повторных обращениях к программе, содержащей эту функцию, будут воспроизводиться одинаковые последовательности псевдослучайных чисел, что может быть удобно, в частности, при отладке программ. Вторая функция формирует стартовое число, преобразуя текущие показания часов, что действительно вносит элемент случайности в получаемую затем последовательность.

Как уже отмечалось ранее, числа с равномерным на (0,1) распределением служат основой других процедур статистического моделирования. Заметим, что такой основой могли быть и иные случайные величины, но практика подтвердила, что этот исторически сложившийся выбор оказался удачным.

Заметим также, что случайные числа , получаемые вычитанием из 1, т. е. (1 – ) имеют то же распределение, что и . В самом деле, получа-

11

Впрочем, этот результат и без вывода очевиден из соображений симмет-

рии.

В дальнейшем не будем делать различий между случайными и псевдослучайными числами, для генераторов случайных чисел будем применять аббревиатуру ГСЧ, а для самих чисел всюду сохраним обозначение , возможно, с индексами, если речь пойдет о нескольких числах.

§ 1.3. Моделирование случайных событий

Процедура моделирования случайных событий обычно является составной частью модели той или иной системы (объекта), подверженной влиянию случайных факторов. Если в системе-оригинале при создании определенных условий (при испытании) некоторое событие А происходит, то оно сопровождается последствиями, которые можно рассматривать как события (случайные или не случайные) В1, В2, ..., Вf. В противном случае (когда происходит проти-

воположное событие А ) последствия образуются событиями С1, С2, ..., СS. С применением символики блок-схем эта ситуация отражена на рис. 1.2, а.

Рис. 1.2. Блок-схемы функционирования оригинала (а) и модели (б)

Например, событие А может состоять в том, что при проверке состояния станка (скажем, ткацкого) обнаруживается, что он работоспособен. Тогда события В1, В2, ..., Вf могут означать заправку станка, пуск, устранение возможных обрывов, выпуск продукции и т. п. Если станок неработоспособен (событие А не произошло), то события С1, С2, …, СS могут означать обнаружение причины отказа, разборку, замену деталей и т. п.

12

Блок-схема модели показана на рис. 1.2, б. Ее отличия от блок-схемы оригинала состоят в том, что событие А заменено некоторым пока не определенным условием, которое может выполняться или нет при обращении к первому оператору схемы. События-последствия заменены соответствующими моделями.

Далее событие А будет рассматриваться безотносительно к его конкретной сути, а последствия его появления (или не появления) вообще останутся за рамками рассмотрения, поскольку их возможно моделировать только применительно к конкретному объекту.

Тогда единственной принимаемой во внимание характеристикой события А будет его вероятность Р(А). Пусть она известна и равна р. Задача состоит теперь в том, чтобы вероятность выполнения условия, фигурирующего в блоксхеме рис. 1.2, б, тоже равнялась р. Это можно обеспечить с помощью ГСЧ.

Действительно, получим с помощью ГСЧ число , а условие сформулируем в виде двойного неравенства

x1 x2 ,

где 0 x1 1, 0 x2 1.

Согласно (1.7) вероятность выполнения такого условия равна (x2 – x1), и

В качестве x1 и x2 могут быть взяты любые значения из интервала [0, 1], удовлетворяющие (1.9). Например, можно положить x1 = 0, x2 = p, в результате чего получим 0 < < p. Неравенство > 0 выполняется в силу свойств случайных чисел , поэтому условие можно сформулировать и в виде

Итак, на основании приведенных рассуждений основная часть блоксхемы приобретает вид, показанный на рис. 1.3, а.

Обратимся теперь к обобщению рассмотренной ситуации на испытания, исходом которых может быть несколько случайных событий А0, А1, А2, ..., Аn. Предположим, что эти события несовместны и образуют полную группу. По существу это предположение не ограничивает общности постановки задачи. Если исходная группа событий данными свойствами не обладает, ее обычно можно дополнить так, чтобы эти свойства обеспечить, не изменяя сути задачи.

Пусть вероятности событий А0, А1, ..., Аn равны соответственно p0, p1, p2, ..., pn. В силу (А.10)

13

В геометрической трактовке это означает, что отрезки с длиной p0, p1, p2, …, pn могут быть уложены сплошьна интервал (0,1), как показано нарис. 1.3, б.

Случайное число попадет на отрезок длины p0, если выполнится условие < p0 . Этот результат можно рассматривать как воспроизведение события А0 в модели (рис. 1.3, в). Тем самым исход испытания становится ясен, и следует переходить к той части модели, что воспроизводит влекомые А0 последствия (на схеме рис. 1.3, в не показана).

Рис. 1.3. Блок-схема моделирования случайного события (а), геометрическая интерпретация равенства (1.11) (б)

и блок-схема моделирования группы случайных событий (в)

Если p0, то определенного ответа нет, и необходима проверка других условий.

Выполнение неравенства < p0+p1 означает, что число попадает на интервал длины p1 (уже известно, что p0); при этом воспроизводится событие А1 и вытекающие из него последствия. В противном случае осуществляется следующая проверка и т. д. Последним из проверяемых может оказаться неравенство < p0 + p1 + ... + pn-1. Его выполнение означает событие Аn-1, а невыполнение оставляет единственную возможность: реализуется событие Аn.

14

При многократных обращениях к программе, построенной по схеме рис. 1.3, в, будет воспроизводиться последовательность случайных событий. При этом события в последовательности будут независимыми, поскольку каждое из них получается на основе случайных чисел , независимость которых обеспечивается ГСЧ.

§ 1.4. Пример моделирования случайных событий

В результате контроля изделий, поступающих по конвейеру, они разделяются на три категории: 1 кондиционные, 2 исправимый брак и 3 неисправимый брак. Определим события так: А0 очередное изделие относится к категории 1, А1 к категории 2, А2 к категории 3. Соответствующие вероятности пусть известны и равны p0 0,95; p1 0,03; p2 0,02. Требуется определить путем моделирования процентное содержание k, l, m изделий этих категорий в партии из N изделий.

Полная блок-схема модели, основой которой является схема типа рис. 1.3, в, показана на рис. 1.4. Введены следующие обозначения переменных: kk число изделий категории 1, ll число изделий категории 2 и mm категории 3 в группе из N изделий.

Заметим, что блок-схема оказалась мало содержательной в информационном плане, так как результаты моделирования легко предсказать: k 95 %, l 3 %, m 2 %. Существенные отклонения от этих чисел могут появиться лишь при малых объемах N партии изделий*.

Однако, если включить обсуждаемую схему (или ей подобную) в состав другой модели, в которой события имеют более сложные последствия, то исследование последней может дать далеко не столь тривиальные результаты.

Например, можно немного изменить постановку задачи, считая, что изделия, имеющие исправимый брак, возвращаются на доработку. Тогда, в конце концов, вся партия разделится на изделия только 1-й и 3-й категорий, процентное содержание которых уже не так легко предсказать.

В заключение вернемся к вопросу о значении конечного числа разрядов в двоичном представлении случайных чисел. Как уже отмечалось в п. 1.2, все возможные числа отделяются друг от друга промежутками длины 2-m и никогда внутрь этих промежутков не попадают. Поэтому воспроизведение событий, имеющих малые, сравнимые с 2-m вероятности, по изложенным выше схемам невозможно без использования дополнительных приемов. Заметим, что и вообще область редких событий представляет определенные трудности для исследования.

* Если интересоваться именно этими отклонениями, то они и дадут некоторую дополнительную информацию о процессе.

15

Рис. 1.4. Блок-схема модели контроля изделий

§ 1.5. Моделирование дискретных случайных величин

Рассмотрим распределение случайной величины X, задаваемое ее возможными значениями x0, x1, …, xn и соответствующими вероятностями p0, p1, …, pn. Число n возможных значений будем считать конечным, что на деле не ограничивает общности рассуждений, тем более что при вычислениях на ЭВМ все числа, безусловно, ограничены.

Моделирование случайной величины X означает построение и использование программы, которая при обращении к ней возвращает одно из возможных значений x0, x1, …, xn с заданными вероятностями подобно тому, как это происходит c событиями согласно блок-схеме рис. 1.3, в. Более того, эта блоксхема может быть принята практически без изменений, поскольку условие (1.11) обеспечено в силу (А.17), а факт принятия при испытании случайной величиной X значения x0 можно трактовать как случайное событие «X x0», зна-

чения x1 как событие «X x1» и т. д.

Однако в схему на рис. 1.3, в стоит внести некоторые изменения, возможно, уместные и для случайных событий, но особенно полезные при большом числе значений X. Последовательность условных операторов, показанных на схеме рис. 1.3, в, целесообразно заменить одним оператором с условием, изменяющимся в зависимости от результата проверки. Это показано на блок-схеме рис. 1.5, которая дополнена также оператором ввода исходных данных.

16

Нетрудно убедиться, что условный оператор на этой схеме выполняет функции всех условных операторов схемы рис. 1.3, в, поскольку переменная q последовательно принимает значения p0, p0+p1, p0+p1+p2 …. и так до тех пор, пока не выполнится условие.

Ввод

x0, x1,… , xn ; p0, p1,… , pn

i = 0, q = p0

Обращение к ГСЧ:

Нет

i = i+1; q = q + pi

Рис. 1.5. Блок-схема моделирования дискретной случайной величины

Существенным неудобством рассматриваемой блок-схемы является необходимость ввода и хранения в памяти ЭВМ чисел x0, x1, …, xn и p0, p1, ..., pn, количество которых может оказаться очень большим. К сожалению, этого не избежать, когда возможные значения Х (или их вероятности) не связаны между собой видимой закономерностью, как может оказаться, например, при определении их из эксперимента.

Однако многие важные теоретические распределения оперируют целочисленными значениями дискретных случайных величин, вероятности которых вычисляются по известным формулам. Тогда можно обойтись без ввода и хранения больших массивов данных.

Рассмотрим, например, биномиальное распределение (А.18). Для него можно записать рекуррентную формулу, позволяющую последовательно вычислять вероятности pi, начиная с p0 = (1 – r)n,

17

Соответствующая блок-схема показана на рис. 1.6. Необходим ввод только n и r.

Нет

а

Рис. 1.6. Блок-схема моделирования случайной величины с биномиальным распределением

Рекуррентные формулы, подобные (1.12), можно построить для многих распределений (Пуассона, геометрического и др.). Поэтому схему рис. 1.6 можно использовать как стандартную, внося в нее лишь необходимые изменения, касающиеся вычисления переменной pi.

Существуют и нестандартные алгоритмы моделирования, ориентированные на конкретные виды распределений, например, на распределение Пуассона (А.19). Рассмотрим произведение нескольких случайных чисел i (i 0, 1, ..., n). При достаточно большом n для любого a из интервала 0 < a 1 непременно будет выполняться неравенство

n

i a.

i 0

Пусть случайное число N минимальное значение n, когда это неравенство выполняется. Доказано, что, если a e , то N подчиняется распределению Пуассона [3].

На этом основании можно предложить схему моделирования, показанную на рис. 1.7.

18

(x)

y

Рис. 1.8. К преобразованию (1.13)

Левой границей интервала является x 0, а правой координата x, которую можно найти по формуле

где функция, обратная . Эта функция в силу свойств существует, непрерывна и тоже строго монотонно возрастает. Ее значения принадлежат промежутку (0,1). Обратной по отношению к ней является снова . Согласно (А.63) и (1.2)

(y)

Заметим, что этот результат можно получить и без ссылки на формулу (А.63) из следующей цепочки равенств:

FY (y) P (Y< y) P ( ( ) < y) P ( < (y)) (y).

Первое равенство вытекает из определения FY (y), второе из формулы (1.13), третье из свойств , четвертое из свойства (1.7).

Таким образом, функция распределения величины Y является обратной по отношению к функции преобразования (1.13), и согласно (А.65)

20