Моделирование систем и процессов. Статистическое моделирование. Учебное пособие

ГЛАВА 2. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Здесь будут рассмотрены задачи статистического моделирования, в упрощенном виде представляющие некоторые из многих прикладных проблем и иллюстрирующие ряд общих положений, обсуждавшихся выше. В отличие от приведенных ранее примеров они описаны в относительно завершенном виде.

§ 2.1. Задача Бюффона

Задача была предложена Бюффоном еще в XVIII в. Она представляла собой пример статистического моделирования в пору, когда появления вычислительных машин предстояло ждать еще два столетия. Ее постановка такова.

На плоскость нанесена сетка параллельных прямых линий, равноотстоящих на расстояние L. Тонкий предмет длины l L случайным образом бросают на плоскость и подсчитывают события, когда происходит его пересечение с одной из линий. «Случайным образом» означает, что все положения предмета на плоскости равновозможные. Число пересечений, отнесенное к общему числу бросков, принимают в качестве оценки вероятности пересечения p. Автор задачи в качестве предмета предлагал иглу, из-за чего задачу называют также «игла Бюффона».

Вероятность пересечения можно рассчитать (это сделано, например, в книге [3]). Если исчислять l в долях L, то l 1, и

Опыты с иглой вряд ли позволят уточнить значение p, вычисленное по формуле (2.1), что понимал и Бюффон, зная эту формулу. Но он надеялся, подставляя в нее вместо вероятности p ее оценки, выявить возможность экспериментального определения числа . В его время это имело определенный смысл.

Физические опыты с иглой вполне можно заменить статистическим моделированием – вычислительными экспериментами, поставив их целью выяснить, насколько точно при этом воспроизводится результат (2.1).

Рассмотрим подробнее схему экспериментов. Нетрудно убедиться, что вместо сетки линий можно оставить только две из них*, расстояние между которыми считать равным 1, а иглу считать отрезком прямой. Впрочем, для удобства изложения называть его будем по-прежнему иглой. Положение иглы в направлении вдоль линий не влияет на возможность пересечения, поэтому можно считать, что ее центр во всех опытах располагается на одном отрезке, перпендикулярном к линиям и с концами на них (рис. 2.1). С прямыми связана перпендикулярная к ним ось x. Одна из прямых проходит через точку 0 оси,

* Можно обойтись даже одной прямой, но для наглядности лучше оставить две.

51

вторая – через точку 1. Упомянутый отрезок располагается между этими точками. Абсциссы концов иглы обозначены x1 (левого) и x2 (правого).

Рис. 2.1. Возможное положение иглы в системе двух линий

Равновозможные положения обеспечиваются за счет равномерного распределения координаты c центра иглы между прямыми и равномерного же распределения на интервале /2, /2 угла ее наклона к отрезку. То и

другое достигается путем применения генератора случайных чисел для определения cи в каждом опыте вычислений (при каждом «броске») с последующим преобразованием по формуле (1.21), чтобы получить равномерные на нужных интервалах распределения.

После накопления достаточного числа опытов N оценка p вероятности пересечения вычисляется как отношение числа пересечений к числу опытов («бросков»).

В табл. 2.1. представлены результаты нескольких попыток моделирования при длине иглы 1 для различного числа «бросков».

52

Т а б л и ц а 2.1. Задача Бюффона: результаты моделирования

Для последнего столбца находим: p 0,636 570 2. Если попытаться оценить число на основании этих опытов, то согласно (2.1) найдем

Обнаруживается совпадение до четырех знаков с «настоящим» значени-

ем.

§ 2.2. Оценка надежности изделия методом моделирования

Пусть изделие состоит из пяти элементов, соединенных по параллельнопоследовательной схеме (рис. 2.2).

1

3

2

4 5

Рис. 2.2. Параллельно-последовательное соединение элементов

Требуется определить среднюю наработку до отказа изделия (т. е. среднее время работы изделия до первого отказа) T, если известны Pi t вероятности безотказной работы до момента t для всех элементов (i 1, 2, …, 5).

В теории надежности под последовательным понимают такое соединение n элементов, при котором отказ изделия происходит при отказе любого из входящих в соединение элементов. Вероятность безотказной работы изделия находится как произведение вероятностей безотказной работы элементов:

53

Случайное время τ безотказной работы изделия равно в этом случае минимальному из случайных значений τi времени безотказной работы элементов

Под параллельным понимают такое соединение, при котором отказ изделия происходит только при отказе всех входящих в соединение элементов. Тогда вероятность безотказной работы изделия вычисляется по формуле

а время безотказной работы находится как максимальное из τi

При параллельно-последовательном соединении показатели P(t) или τ можно вычислить путем совместного применения формул (2.5), (2.7) или (2.6), (2.8). Так, для схемы рис. 2.2 получим

Р 1 (1 Р123 )(1 Р45),

где Р123 вероятность безотказной работы соединения элементов 1–3, Р45 элементов 4 и 5.

И далее, поскольку Р123 Р12·P3 (1 (1 Р1)(1 P2))P3, а P45 P4P5,то после раскрытия скобок и восстановления аргумента t в обозначениях

Р(t) P1(t)·P3(t)+P2(t)·P3(t)–P1(t)·P2(t)·P3(t)+

+P4(t)·P5(t) P1(t)·P3(t)·P4(t)·P5(t) (2.9)P2(t)·P3(t)·P4(t)·P5(t)+P1(t)·P2(t)·P3(t)·P4(t)·P5(t).

Средняя наработка на отказ T может быть вычислена затем по известной в теории надежности формуле

Формулы (2.9), (2.10) при известных вероятностях безотказной работы элементов в принципе дают возможность получения искомого значения T аналитическим путем. Вычисления по ним сравнительно легко выполняются, когда

54

распределение времени безотказной работы каждого элемента подчинено экспоненциальному закону вида (А.33):

Параметр i носит название интенсивности отказов i-го элемента.

При других законах трудности вычислений становятся значительными и сильно возрастают по мере усложнения схем по сравнению с рассматриваемым примером.

Формула (2.10) устанавливает связь между случайными значениями времени безотказной работы элементов и изделия в целом, но для непосредственного вычисления T не пригодна. Однако именно она является ключевой при статистическом моделировании. Заметим, что при моделировании вид закона распределения времени безотказной работы не влечет за собой трудностей такого масштаба, как при расчете. Это и составляет одно из преимуществ моделирования.

где N – число повторений опытов.

* Как только что отмечено, использование других законов распределения не представляло бы принципиальных трудностей при моделировании. Однако закон (2.12) выбран, чтобы в дальнейшем сравнить результаты моделирования с аналитическими.

55

По изложенному алгоритму была составлена программа, в которой предусмотрены следующие значения интенсивностей отказов элементов (исчисляются в 1/ч):

1 10 4 , 2 2 10 4 , 3 3 10 4 , 4 4 10 4 , 5 5 10 4.

Проведено сравнение расчетов по формулам (2.9), (2.10) и (2.13) с результатами моделирования по изложенному алгоритму при различных числах повторений опытов. Расчетная величина T 3128 ч. Остальные данные помеще-

ны в табл. 2.2.

Т а б л и ц а 2.2. Оценки T по результатам моделирования

Видно, что результаты, близкие к Τ , получаются для N порядка 105 и бо-

лее.

§ 2.3. Моделирование процесса электрофлокирования

Электрофлокирование – это часть технологического процесса получения искусственных ворсовых материалов (ковров, замши, вельвета и др.), заключающаяся в нанесении волокон на специально подготовленную поверхность (основу) с помощью установок, использующих электростатическое поле. Под действием поля волокна осаждаются на основе и закрепляются в нанесенном на нее клеевом слое, образуя ворсовый покров. Обычно стремятся получить покров с максимальной плотностью волокон и их расположением перпендикулярно поверхности основы.

Если каждое волокно имеет форму длинного кругового цилиндра с диаметром d , а при закреплении волокна образующая цилиндра перпендикулярна плоскости основы, то волокно займет на ее поверхности область (след) в форме круга того же диаметра. Теоретически возможно наиболее плотное расположение волокон, при котором каждое из них касается шести соседних. Несложные вычисления показывают, что при этом максимальное число волокон nmax , приходящееся на единицу площади поверхности основы равно

d 3

На практике такое положение никогда не достигается: между волокнами остаются промежутки, размеры которых не позволяют разместиться другим волокнам.

56

Получающееся в действительности число волокон n, приходящееся на единицу площади, по существу является случайной величиной, образующейся в результате наложения множества случайных событий, состоящих в попадании волокон в ту или иную часть поверхности основы. Таким образом, речь должна идти об оценке вероятностных характеристик величины n: математического ожидания Μn, дисперсии или, возможно, распределения. Получение таких оценок аналитическим путем представляет собой очень трудную задачу. Особенные сложности вызывает случай, когда волокна не перпендикулярны, а наклонены к основе под случайными углами.*

Пожалуй, единственным реальным средством определения n является, кроме натурного эксперимента, статистическое моделирование. Далее изложен алгоритм моделирования для простейшей постановки задачи**.

Предположим, что каждое волокно может равновероятно закрепиться в любой точке в границах поверхности основы, если этому не воспрепятствует расположение других уже закрепившихся волокон. Точкой закрепления считается точка поверхности, в которой оказывается центр круга, лежащего в основании цилиндрического волокна. Будем считать, что область, где могут располагаться точки закрепления, представляет собой квадрат со стороной А. Алгоритм моделирования предусматривает анализ «истории» каждого из N волокон

исодержит следующие процедуры.

1.Моделирование случайного вектора с компонентами x, y, представляющими собой координаты возможной точки закрепления очередного волокна в системе, связанной с квадратом (начало координат в левом нижнем углу квадрата, оси координат направлены по его сторонам). Равномерное распределение точек закрепления по области обеспечивается преобразованием, получающимся как частный случай (1.23):

где 1, 2 два случайных числа с равномерным на (0,1) распределением.

2. Проверка условий закрепления очередного волокна, формулируемых в

Символами xi ,yi обозначены координаты точек m волокон, считающихся закрепившимися.

*В теории вероятностей задачи рассматриваемого типа относят к разделу о так называемых «геометрических вероятностях».

**Более подробно о моделировании процесса электрофлокирования можно прочесть в

методических указаниях «Моделирование процесса электрофлокирования», составитель И. Н. Смирнов, СПГУТД, 1999. Там же имеются ссылки на специальную литературу.

57

Если хотя бы одно из неравенств (1.95) не выполняется, то волокно считается не закрепившимся, поскольку его след попадает на след какого-то из ранее закрепившихся волокон. Если все неравенства выполняются, волокно считается закрепившимся, число m увеличивается на 1, а координаты x,y заносятся в память как xm,ym.

Очевидно, что для самого первого волокна в проверке условия (1.95) нет необходимости: оно достоверно считается закрепившимся. По мере роста m вероятность закрепления уменьшается, и если выбрано достаточно большое значение N , возникает положение, при котором все последние волокна отсеиваются. Достигнутое на этот момент значение m после деления на площадь Α2 принимается в качестве реализации случайной величины n.

3. Многократное повторение процедур 1, 2 и получение оценки для Mn по обычной формуле среднего арифметического

k

nj

где nj значение n при j -м повторении; k число повторений.

В соответствии с изложенным алгоритмом была разработана программа, применение которой с последующей обработкой результатов по формуле (2.19) показало, что среднее число закрепившихся волокон составляет величину, близкую к 0,58nmax . Разброс отдельных значений n находится примерно в пределах 0,02nmax .

§2.4. Моделирование системы массового обслуживания (СМО)

спотерями требований

Системой массового обслуживания называют любую систему (техническое устройство, производственную структуру, транспортную линию, учреждение, военное подразделение и т. п.), предназначенную для выполнения определенных операций (обработки, обслуживания) над поступающими в эту систему в массовом количестве заявок (требований). Под массовым понимают такое достаточно большое количество, при котором представляет интерес не результат обслуживания отдельных требований, а некоторые средние показатели, относящиеся ко всем требованиям в целом.

Для уточнения понятия систем массового обслуживания укажем некоторые их характерные признаки:

1) наличие входящего потока требований, характеризуемого, в основном, моментами их поступления в систему, а также, возможно, некоторыми признаками, отличающими требования друг от друга;

58

2)наличие узла обслуживания , характеризуемого его пропускной способностью; она в свою очередь определяется числом каналов (приборов, линий)

вузле, способных одновременно обслуживать требования, и временем, затрачиваемым ими на это;

3)наличие определенных правил, согласно которым ведут себя требования, заставшие систему занятой, или по которым они отбираются узлом обслуживания из поступающего потока.

Эти признаки могут служить основой и для классификации СМО. Полной классификационной картины, охватывающей все разнообразные СМО, не существует. Рассмотрим далее только несколько наиболее часто упоминаемых категорий СМО.

В зависимости от того, как ведут себя обслуженные требования, различают разомкнутые и замкнутые СМО. Система, которую обслуженные требования покидают навсегда, называется разомкнутой. Обслуженные требования образуют выходящий поток, характеристики которого в принципе могут быть определены, но по большой части не представляют интереса для приложений.

Система, в которой уже обслуженные требования могут потребовать обслуживания во второй, третий и т. д. раз, называется замкнутой. Часто дело сводится к тому, что требования выдвигаются одним или многими источниками через некоторые (обычно случайные) промежутки времени после того, как обслужено предыдущее требование от источника.

Более формальным (и более точным) признаком отличия разомкнутых и замкнутых СМО является влияние числа находящихся в узле обслуживания требований на характеристики входящего потока. В разомкнутых системах ха-

рактеристики не зависят от этого числа, а в замкнутых зависят.

Взависимости от поведения требований, которые на момент своего появления застали узел обслуживания занятым и не могут быть обслужены немедленно, различают СМО с ожиданием (очередью) и отказами в обслуживании (c потерями требований).

Всистемах с ожиданием требования, заставшие узел занятым, ожидают его освобождения, в результате чего на входе может образовываться очередь требований.

Всистемах с потерями требование, заставшее узел занятым, покидает систему без обслуживания – теряется.

Основания для дальнейшей классификации СМО дает структура узла обслуживания. Система называется одноканальной, если в процессе обслуживания может находиться не больше одного требования. Система с несколькими параллельно работающими устройствами (каналами), способная принять на обслуживание более одного требования, называется многоканальной.

Узел обслуживания можно называть системой обслуживания в узком смысле или собственно системой обслуживания. Однако более правильно трактовать термин СМО в широком смысле, включая в это понятие и входящий и, возможно, выходящий поток (поток обслуженных требований).

59

Рассмотрим многоканальную (число каналов равно n) систему, в которую поступает простейший поток требований с параметром λ. Так называют входящий поток, в котором требования поступают по одному через случайные промежутки времени с одинаковой для них плотностью распределения

f (t) e t .

Примерами таких систем могут служить станки, на которые поступают детали, не допускающие ожидания обработки (нагретые, с быстросохнущим клеем и т. п.), устройства обработки сообщений, не имеющее буфера для их хранения, и др. Пусть время обслуживания в каждом канале тоже подчиняется экспоненциальному распределению и в среднем равно 1/µ, где – параметр распределения. Требуется определить Pпот – вероятность потери очередного требования в результате занятости системы в момент его поступления, а также среднее число свободных каналов обслуживания nсв . Вообще говоря, эти показатели могут зависеть от времени, но здесь имеются ввиду их постоянные значения, соответствующие стационарному, установившемуся режиму (его существование может быть подтверждено).

Эта задача имеет простое аналитическое решение, полученное еще основателем теории массового обслуживания А. Эрлангом:

Количество свободных каналов есть дискретная случайная величина, принимающая значение 0, 1, …, n с вероятностями P0, P1, …, Pn. Ее среднее значение (математическое ожидание) согласно (A.20) равно

Можно вычислить и среднее число занятых каналов nзан

60