Методы спектрального анализа сигналов. Учебное пособие

2

УДК 621.372 (075)

Методы спектрального анализа сигналов: учеб. пособие / В.И. Кошелев; Рязан. гос. радиотехн. ун-т. - Рязань, 2017.– 60 с.

Изложены математические непараметрические и параметрические методы спектрального анализа радиотехнических сигналов, а также алгоритмы весовой обработки и быстрого преобразования Фурье.

Предназначено студентам, обучающимся по образовательной программе магистратуры направления 11.04.01 "Радиотехника", для изучения курса «Методы спектрального анализа сигналов», выполнения курсового проекта и студенческой НИР. Пособие будет полезно для студентов других форм и направлений подготовки, связанных со спектральной обработкой сигналов.

Табл. 4. Ил. 28, Библиогр.: 14 назв.

Цифровой спектральный анализ сигналов, быстрое преобразование Фурье, непараметрические и параметрические методы спектрального анализа, авторегрессия, скользящее среднее.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанской государственной радиотехнической академии.

Коррелограммный и периодограммный методы, быстрое преобразование Фурье, весовые функции, авторегрессия, скользящее среднее, метод Прони, метод минимума дисперсии.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра радиотехнических систем РГРТУ (зам. зав. кафедрой И.С. Холопов)

4

1. Введение

1.1. Краткая историческая справка

Методы цифрового спектрального анализа лежат в основе многих методов цифровой обработки сигналов, используемых для выделения информации. Спектральный анализ сигналов используется для решения задач радиолокации, радионавигации, связи, радиоэлектронной борьбы сейсмологии, астрономии. Обработка цифровых сигналов имеет ряд особенностей, требующих знания специфических эффектов, проявляющихся при спектрально-временных преобразованиях цифровых сигналов. Знание методов цифровой обработки сигналов необходимо для практической реализации цифровых технологий обработки радиолокационных и радионавигационных сигналов, средств постановки помех и средств помехозащиты.

Пособие состоит из восьми разделов. Первый раздел посвящен классическим методам цифровой обработки сигналов. Рассмотрены коррелограммные и периодограммные методы спектрального оценивания. Данные методы являются непараметрическими методам и применялись, как методы цифрового спектрального оценивания.

Второй раздел основан на ставшей классической обзорной статье Херриса и дополнен результатами анализа частотных свойств весовых (оконных) функций. Весовые функции используются для уменьшения эффекта Гиббса, заключающегося в просачивании спектральных составляющих по боковым лепесткам частотной характеристики. Рассмотрены варианты применения весовой обработки в задачах доплеровской фильтрации радиолокационных сигналов. Приведены критерии оптимизации весовых окон, методы их синтеза и анализа их свойств.

В третьем разделе представлены параметрические методы спектрального оценивания: авторегрессии, скользящего среднего и авторегрессии - скользящего среднего. Рассмотрены свойства и параметры линейных моделей.

1.2. Спектрально-временные модели цифровых сигналов

Создание модели исследуемого процесса является важным этапом разработки радиотехнической системы (РТС), влияющим на ее качественные характеристики. Использование моделей продуктивно в задачах радиотехники благодаря возможности не только качественно, но и количественно описать случайный процесс, представленный выборочными данными. Определяя параметры модели, можно формировать

4

5

стохастическую модель порождения наблюдаемых данных. Тем самым модели позволяют представлять данные в сжатом виде. В рассматриваемом круге радиотехнических задач типичны процессы с многомодовыми спектрами. Ниже в качестве примера приведены экспериментально полученные спектральные плотности мощности (СПМ) P(fT) радиолокационных эхо-сигналов (рис.1.1) и оптических локационных сигналов (рис.1.2) в зависимости от относительных частот fT.

В ряде случаев для описания СПМ можно использовать аддитивную функцию с компонентами в виде процессов с одномодовыми спектрами. Каждая из мод описывается её положением FjT и шириной моды dFjT. Кроме того, важными параметрами являются спектральный динамический диапазон λ СПМ и параметры формы отдельных мод.

Одной из наиболее простых и очевидных моделей дискретных радиосигналов xn, широко применявшихся в практических задачах мож-

5

6

но считать комбинацию действительных гармонических компонент:

M

xn= kisin(2 finT+ i),

i 1

где ki – весовой коэффициент, определяющий долю i-ой компоненты; fi

– центральная частота i-ой спектральной компоненты (моды); i – начальная фаза i-ой гармонической компоненты. Поскольку реально наблюдаемые выборочные данные носят случайный (стохастический) характер, то при их анализе необходимо применение статистических методов. Детерминизм гармонической модели с известными параметрами частично устранялся введением случайной начальной фазы компонент и добавлением аддитивной шумовой компоненты. Процесс с равномерно распределенной на периоде фазой имеет нулевое математическое ожидание и коэффициенты корреляции:

M

n2 ki cos(2πfinT ) . i 1

Вболее общем случае процесс, представленный суммой M комплексных экспонент вида: 21

M

xi= kiexp[i(2 finT+ i)], i 1

характеризуется коэффициентами корреляции

M

rn ki2 exp(i2πfinT ) . i 1

Начиная с 50-60-х годов и по настоящее время в теории обработки сигналов и, в частности, в радиолокации для моделирования радиоотражений широко использовались [1, 2] модели многомерных случайных нормальных процессов, плотность вероятностей которых

W (x) (4 ) N det 1 R exp{ xH R 1x / 2} ,

где x – выборочный n-мерный вектор процесса, R и R-1 – прямая и обратная корреляционные матрицы обрабатываемого процесса, а символ H обозначает транспонирование и комплексное сопряжение. Для модели белого гауссовского шума (БГШ) R=R-1=I – единичная матрица. Вторые моменты распределения (корреляционные моменты) полностью характеризуют статистические параметры исследуемого процесса. Методы спектрального анализа оперируют со СПМ, однозначно связанной со вторыми моментами распределения вероятностей и потому также содержат исчерпывающую информацию о статистике процесса с нормальным распределением. Таким образом, математическая

6

7

модель гауссовского случайного процесса требует описания либо корреляционных моментов либо СПМ. Одним из способов описания СПМ случайных процессов было представление ее в виде дробнорациональной функции:

P( f ) k /{1 [( f f0 ) / f ]2} ,

где k – нормирующий коэффициент, f – относительная частота, f0 – центральная частота, f – ширина спектра флуктуаций процесса, β – степень связности аппроксимирующего марковского процесса, определяющая параметр формы спектральной моды. Параметр β наблюдаемой последовательности, как правило, неизвестен, а его оценка затруднена. Параметр формы моды можно определять априорно, как, например, в модели Баттерворта или Фишбейна. Для учета параметра формы моды в работах многих авторов получила распространение упрощенная модель радиоотражений во временной области в виде весовой суммы односвязного ( =1) и бесконечносвязаного ( ) марковских процессов, а также белого гауссовского шума. В этом случае вариация весового множителя [0; 1], определяющего долю составляющей бесконечносвязаного марковского процесса, позволяет, при одинаковой относительной ширине dFT спектра флуктуаций моды, описать более широкий класс унимодальных радиоотражений с различными параметрами формы. Тогда нормированная корреляционная матрица эхо-сигналов представляется в виде весовой суммы:

R=( RГ+(1– )RР+ I) (1+ ),

где RГ – матрица корреляций при бесконечносвязаном марковском процессе, элементы которой RГmn=exp{–[ (m–n)dFT]2/2.8–j2 Tf0(m–n)}; RР – матрица корреляций при односвязном марковском процессе, элементы которой RРmn=exp{– m–n dFT–j2 Tf0(m–n)}; f0 – центральная частота моды; j – мнимая единица. В данном выражении использована широко применяющаяся модель аддитивного объединения двух разнородных математических функций (процессов), имеющая аналогию, например в виде модели засорений Хубера [3].

Принципиальным недостатком такой модели сигнала является одномодовый характер формы СПМ. Данная модель непригодна для описания многомодовых (в спектральной области) процессов с «негладким» спектром. Для такой модели спектральными параметрами сигнала должны быть положение, форма и ширина нескольких максимумов, а также соотношение мощностей всех компонент, включая шумовую компоненту.

Модель многомодового процесса можно представить в виде аддитивного Jc-компонентного процесса, со СПМ которого

7

8

где fi, βi – соответственно ширина спектра флуктуаций и степень связности i-ой компоненты аппроксимирующего марковского процесса. Упрощенным аналогом данной модели во временной области является модель, включающая весовую сумму марковских компонент:

где RГi, RРi – соответственно матрицы корреляций i-ой компоненты при и =1. Однако при большом числе мод возрастает трудоемкость операций при расчете такой модели и затруднен учет взаимовлияния компонент.

В практических задачах необходимо разрешить противоречие между адекватностью модели реальному процессу и ее аналитической и вычислительной сложностью.

Цифровая реализация алгоритмов обработки и оценивания сигналов открыла новые возможности и в направлении адаптивной обработки сигналов. Наибольшее распространение получили методы и аппаратные средства линейной цифровой фильтрации, которые реализуют векторные и матричные операции [4, 5]. Ряд практических приложений, связанных с обработкой локационных сигналов, характеризуется плохой обусловленностью корреляционных матриц процессов, жесткими ограничениями на разрядность и быстродействие цифровых устройств [6, 7].

Развитые в ряде работ алгоритмы, в том числе алгоритмы коррелограммного и периодограммного спектрального анализа, известные как классические, основаны на дискретном преобразовании Фурье (ДПФ) эмпирической корреляционной матрицы или непосредственно самих данных. Потенциально эффективные при неограниченной длине выборки, они оказываются малоэффективными при ее ограничении. Поэтому, несмотря на высокую вычислительную эффективность использования алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) со взвешиванием [8], данный метод имеет ограниченное применение в задачах анализа СПМ сигналов, представленных малым количеством отсчетов.

Два основных вида оценки СПМ P(f) определяются следующими выражениями:

8

9

где ri – коэффициенты автокорреляционной последовательности (АКП), xi – временные отсчеты процесса.

Данные выражения приводят к эквивалентному результату лишь при условии неограниченного увеличения объема выборки. В то же время, математические и имитационные модели данных при коротких выборках не обладают достаточной адекватностью наблюдаемому процессу и имеют низкую вычислительную эффективность. Методы цифрового спектрального анализа можно разделить на три основные группы [9]: методы фильтрации, непараметрические методы, в большинстве своем основанные на применении дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и параметрические методы, основанные на линейном моделировании. Использование метода цифровой фильтрации в реальном масштабе времени связано с большими вычислительными затратами. Кроме того, данному методу присущ ряд специфических недостатков. Наиболее важным из них является необходимость знания априорных сведений о спектральных составляющих. При отсутствии таких сведений анализируемый диапазон частот необходимо перекрыть N узкополосными фильтрами, где N= f/ fф, f – полоса анализируемых частот, fф – полоса пропускания одного фильтра. При малой полосе пропускания fф , что требуется для детального исследования структуры спектра, величина N становится достаточно большой. Таким образом, наибольший интерес представляют два последние два метода спектрального анализа.

2. Методы непараметрического спектрального оценивания

Задача современного спектрального анализа в некоторых практических случаях линейчатого спектра состоит в оценке положения спектральных линий. В результате понятие смещения и дисперсии, которое ранее относилось к оценке формы спектра, можно отнести к оценке частоты. Другой качественной характеристикой спектрального анализа является разрешающая способность по частоте, которая определяет детальность исследования спектра. В современной постановке разрешающая способность есть способность различать и идентифици-

9

10

ровать спектральные линии, которые расположены близко по частоте. Во многих случаях спектральный анализ приходится производить, имея в распоряжении короткие записи данных, но, тем не менее, необходимы оценки с высоким разрешением, малым смещением и дисперсией.

Как известно, разрешающая способность по частоте методов, основанных на преобразовании Фурье, обратно пропорциональна объему выборки. Поэтому для улучшения разрешающей способности необходимо ввести некоторые дополнительные ограничения (или априорную информацию), что сделано в параметрических методах, основанных на линейном моделировании.

В основе классических непараметрических методов оценки спектра лежит гармонический анализ, основанный на частотном представлении временного сигнала с помощью бесконечного ряда Фурье, вычисляемого при помощи преобразования Фурье от дискретной последовательности отсчетов входного сигнала (прямой метод периодограмм) или от автокорреляционной последовательности (косвенный коррелограммный метод).

2.1. Коррелограммный метод

Предположим, что исследуемый процесс xn является стационарным в широком смысле действительным дискретным стохастическим процессом с нулевым математическим ожиданием. Тогда спектральная плотность мощности представляет собой распределение мощности по частотам и определяется, согласно теореме Винера-Хинчина, как дискретное преобразование Фурье (ДПФ) от автокорреляционной функции:

P( ) rne j n , (2.1)

n

где rn – отсчеты автокорреляционной функции: rn xn xm n .

Коррелограммый метод спектрального оценивания заключается в расчете согласно выражению (2.1), но для конечной последовательности значений автокорреляции (АКП) вместо бесконечной последовательности неизвестных истинных значений автокорреляции:

Максимальный индекс временного сдвига L, как правило, значительно меньше числа отсчетов данных N, что обусловлено недостаточ-

10