Методы спектрального анализа сигналов. Учебное пособие

42

4.1. Свойства линейных моделей и их описание

Выбор одной из трех моделей исследуемого класса (АР, СС или АРСС) требует некоторых предварительных сведений о возможной форме спектральной оценки. На рис. 4.5 приведены типичные параметрические модели спектра: а) АР-спектр, р=4; б) СС-спектр, q=4; в) АРСС-спектр, p=q=4.

Рис. 4.3 Если необходимо сформировать спектры с острыми пиками (рис.

4.3а), но без глубоких впадин (нулей), то наиболее подходящей является АР-модель. Если, напротив, необходимо сформировать спектры с глубокими нулями, но без острых пиков (рис. 4.3б), то целесообразно использовать СС-модель. АРСС-модель может применяться в обоих этих предельных случаях (рис. 4.3в). В тех случаях, когда одинаково пригодна любая из трех моделей, следует использовать ту из них, которая имеет меньшее число параметров.

Однако вычислительные затраты для оценивания параметров АРмодели часто значительно меньше вычислительных затрат, требуемых для оценивания параметров СС- и АРСС-моделей, поэтому АР-модель временного ряда иногда выгодно применять даже тогда, когда она не является моделью с наименьшим числом параметров.

В общем виде АР-, СС- и АРСС-модели временных рядов описывают выход фильтра, выражаемый линейным разностным уравнением:

где yn - последовательность на выходе казуального фильтра, который формирует наблюдаемые данные, xn - входная возбуждающая последовательность. Для случая АР-модели коэффициенты bk полагаются равными нулю, а для СС-модели нулевыми являются коэффициенты ak, за исключением a0=1. Без потери общности можно положить b0=1, так

42

44

4.2. Оценка параметров и СПМ авторегрессионного процесса

Из всех моделей временных рядов наибольшее внимание в технических приложениях уделяется авторегрессионным (АР) спектральным оценкам. Это объясняется особенностью авторегрессионных спектров, имеющих острые пики, что связано с высоким спектральным разрешением, а также с тем, что оценки АР-параметров можно получить как решения линейных уравнений. В тоже время оценки СС- и АРССпараметров требуют решения нелинейных уравнений.

Если задана автокорреляционная последовательность rm для интервала отсчетов 0 m p, то АР-параметры можно найти в результате решения уравнения (4.3), которые называются нормальными уравнениями Юла-Уолкера для АР-процесса.

В матричной форме эта система линейных уравнений принимает

вид

Ra=e,

где R – (p+1) (p+1)-мерная корреляционная матрица исходного процесса, a – вектор параметров АР-модели [1, а1, …, ар], e=[1, 0,…, 0]T.

Искомый вектор авторегрессионных параметров можно выразить

как

a=R-1e.

Автокорреляционная матрица в последнем выражении является теплицевой и эрмитовой, поскольку r k rk* [12]. Поэтому для получения

решения можно использовать нетрадиционное обращение матрицы, а, например, быстрый алгоритм Левинсона [13] или метод исключения Гаусса [14].

Однако, с учетом вида вектора-столбца е, можно утверждать, что элементы вектора a равны соответствующим элементам первого столбца корреляционной матрицы R-1. Достоинство данного метода вычисления АР-параметров заключается в легкости моделирования на ЭВМ.

Вычисленные таким образом параметры авторегрессии могут быть использованы для реализации алгоритма моделирования иссле-

44

45

дуемого процесса в виде цифрового рекурсивного фильтра при q=0:

p

xn un ak xn k , k 1

где un – входной процесс, xn – выходной процесс цифрового фильтра. Для данного линейно-разностного уравнения передаточная харак-

теристика фильтра имеет вид:

СПМ процесса можно вычислить как квадрат АЧХ фильтра путем

замены переменной z ei T . Выражение для СПМ АР-процесса принимает вид:

Оценка дисперсии при выбранном порядке p вычисляется какp=1/a0, что необходимо для выполнения условия а0=1 (дисперсия возбуждающего шума единичная) при равенстве первого элемента вектора e единице. При этом все элементы вектора а делятся на а0.

4.3. Свойства СПМ авторегрессионного процесса

Наряду с выражением (4.4) СПМ авторегрессионного процесса имеет эквивалентное представление

PАР ( ) rk e j T . (4.5)

k

Для вычисления выражения (4.5) можно применить экстраполя-

p

цию rn= ak rn k , при n p, необходимую для расширения корреля-

k 1

ционной последовательности. Применением такой ненулевой экстраполяции автокорреляционной последовательности при вычислении СПМ АР-процесса объясняется то высокое разрешение, которое характерно для оценок АР СПМ. Здесь отсутствует обработка автокорреляционной последовательности с помощью окна, которая присуща классическим спектральным оценкам. Поэтому оценкам АР СПМ не свойственны те эффекты, которые обусловлены наличием боковых лепестков.

45

46

Авторегрессионый метод оценивания СПМ часто используется для того, чтобы выявить в данных наличие синусоидальных компонент. Мощность, соответствующую компонентам вектора а АР оценке СПМ, можно точно вычислить, интегрируя площадь под кривой этой оценки. Однако, вследствие того, что это связано с большими вычислительными затратами, были разработаны другие методы.

Рассмотрим АКП для одной комплексной синусоиды в белом шуме, которая будет определяться выражением

rk=Pexp(j kT)+ ш k.

Используя это выражение, можно показать, что АР СПМ m-го порядка для процесса, состоящего из одной синусоиды и белого шума, может быть представлен в следующем виде:

Функция PАР( ) достигает своего максимума при = 0 .

Метод оценки мощности нескольких действительных синусоид по пикам в АР-спектре был предложен Джонсоном и Андерсоном. Однако он дает хорошие результаты только в случае достаточно далеко разнесенных спектральных пиков синусоид с высоким отношением сигнал/шум. Если АР СПМ представить в виде z-преобразования

то мощность пика, наблюдаемого в АР-спектре на частоте k, будет оцениваться как мощность(fk)=2Re{вычет(S(z)/z), вычисленный при zk=exp(j kT)}. При использовании этого метода могут получаться отрицательные значения мощности в тех случаях, когда спектральные пики расположены очень близко друг к другу.

Все методы спектрального оценивания можно рассматривать как методы аппроксимации данных с помощью той или иной принятой модели. Главная причина появления многих альтернативных методов спектрального оценивания – неудовлетворительные характеристики классических методов спектрального оценивания, особенно в тех случаях, когда величина, обратная длине последовательности данных, имеет тот же порядок, что и требуемое разрешение. Но в тех случаях, когда объем данных достаточно велик, классические спектральные оценки будут наиболее структурно устойчивыми или наиболее робастными спектральными оценками. Классические методы дают наиболее

46

47

точно характеризуемые оценки из всех методов спектрального оценивания. Неклассические методы требуют принятия дополнительных допущений. Вариации характеристик различных методов спектрального оценивания нередко можно объяснить тем, насколько хорошо используемая модель согласуется с анализируемым процессом. Когда модель хорошо согласуется с данными, могут быть получены спектральные оценки, характеристики которых превосходят характеристики классических спектральных оценок. Различные модели могут давать сравнимые результаты, но одна модель может требовать меньше модельных параметров, а, следовательно, будет эффективней других моделей, используемых для представления анализируемого процесса.

4.4. Метод Прони

Метод Прони позволяет осуществлять аппроксимацию данных с использованием некоторой детерминированной экспоненциальной модели. Спектральную интерпретацию метода Прони можно получить, вычисляя спектральную плотность энергии (СПЭ) в случае детерминированной экспоненциальной модели.

Предположим, что имеется N комплексных отсчетов данных x1,...,xN. Тогда метод Прони позволяет оценить xn с помощью некоторой p-членной модели комплексных экспонент:

где 1 n N, T - интервал отсчетов в секундах, Ak и k - амплитуда и коэффициент затухания k-й комплексной экспоненты, fk и k - частота и начальная фаза k-й синусоиды. Значения этих параметров произвольны.

Метод Прони состоит из трех основных этапов. На первом этапе определяются параметры линейного предсказания, с помощью которых осуществляется подгонка имеющихся данных. На втором этапе из коэффициентов линейного предсказания формируется полином. Затем вычисляются его корни, которые будут определять оценки коэффициентов затухания и частот синусоид для каждого экспоненциального члена. На третьем этапе ищется решение второй системы линейных уравнений, которое дает оценки амплитуд экспонент и начальных фаз синусоид.

Функцию дискретного времени (4.6), состоящую из p экспонент, можно сжато представить в форме

47

48

необходимо одновременно минимизировать по параметрам hk, zk, и числу экспонент p. Это является трудной нелинейной задачей даже в том случае, если значение p известно.

Для минимизации величины (4.7) разработаны квазиоптимальные процедуры, получившие название метода наименьших квадратов Прони, в котором используются решения линейных уравнений. Метод Прони сводит нелинейные аспекты экспоненциальной модели к процедуре факторизации полиномов, для которых разработаны быстрые вычислительные алгоритмы. Рассмотрим исходный метод Прони.

Если число используемых отсчетов данных равно числу экспоненциальных параметров, то возможна точная подгонка экспонент под имеющиеся данные. Рассмотрим функцию дискретного времени, представляющую собой сумму p экспонент:

N

xn hk zkN 1 . (4.8)

k 1

Входящие в (4.8) p уравнений, где 1 n p, можно записать в матричной форме:

Уравнение (4.9) является решением некоторого однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Оп-

48