Методы спектрального анализа сигналов. Учебное пособие

а результирующая СПЭ Прони – вид

В общем случае спектр S2 ( f ) будет иметь более острые пики,

чем спектр S1 ( f ) . Любое из приведенных определений спектра Прони

пригодно для отображения спектров как узкополосных, так и широкополосных сигналов. Ширина пиков спектра зависит от величины коэффициента затухания. Когда велико, получается спектр с широкими пиками, когда же мало, получаются спектры с узкими пиками.

Еще один возможный «спектр» Прони учитывает всю информацию, содержащуюся в полной последовательности отсчетов данных. Если вычисляются остаточные ошибки экспоненциальной аппроксимации

p

n xn hk zkn 1 k 1

то к ним применим стандартный периодограммный анализ, и спектр получаемой при этом периодограммы может комбинироваться с любым из рассмотренных спектров Прони.

4.5. Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии

Спектральная оценка минимальной дисперсии (МД) не является истинной функцией СПМ, поскольку в отличие от истинной СПМ площадь под графиком МД-оценки не характеризует полную мощность измеряемого процесса. Обратное преобразование Фурье, соответствующее МД-оценке, также не совпадает с автокорреляционной последовательностью. Этим она отличается от авторегрессионных оценок (АР-оценок), которые этим свойством обладают. МД-оценку можно считать спектральной оценкой в том смысле, что она описывает относительные интенсивности компонент частотного спектра, но не является истинной оценкой СПМ. К достоинствам МД-оценки можно отнести то, что она дает спектр, высоты пиков в котором линейно пропорциональны мощности синусоид, присутствующих в анализируемом процессе. Минимальная дисперсия - это характеристика, которая более информативна в начале координат оценки. Она получается посредством минимизации дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра, частотная характеристика которого адаптируется к спек-

51

52

тральным компонентам входного процесса на каждой анализируемой частоте.

Спектральная МД-оценка определяется следующим выражением:

где R p1 – матрица, обратная известной или оцененной автокорреляци-

онной матрице размером (p+1) (p+1), e( f ) 1 e j 2 fT e j2 fpT T

- вектор комплексных синусоид, T - интервал отсчетов, -1/2T f 1/2T. Однако спектральная МД-оценка не является истинной СПМ. Можно показать, что спектральная МД-оценка белого шума имеет вид

PМД ( f ) T ш , p 1

где p+1 – размер автокорреляционной матрицы, ш - дисперсия белого шума, в то время, как истинная СПМ равна T ш .

Можно показать, что комплексная экспонента в белом шуме с автокорреляцией

rk P exp( j2 f0kT ) ш k

имеет на частоте f=f0 следующую спектральную МД-оценку:

мощности синусоиды, помноженный на масштабирующий множитель T. Следовательно, при большом отношении сигнал/шум высоты пиков в спектральной МД-оценке будут приближенно пропорциональны мощности синусоид, а спектральные линии достаточно разнесены. Среднее значение и дисперсия МД-оценки СПМ ведут себя подобно усредненной периодограмме (т.е. дисперсия линейно уменьшается по мере увеличения числа усредняемых сегментов данных).

В том случае, когда автокорреляционная последовательность известна, спектральные МД и АР-оценки связаны соотношением:

где P(k,f) используется для обозначения СПМ порядка k на частоте f. Здесь использовано допущение, что a0=1 для всех значений порядка 0 k p. Таким образом, величина, обратная спектральной МД-оценке,

52

53

равна среднему значению по всем величинам, обратным авторегрессионным спектральным оценкам со значениями порядка от 0 до p. Поэтому наблюдаемое на практике более низкое по сравнению с АРоценкой разрешение спектральной МД-оценки обусловлено эффектом совместного усреднения АР-спектров низких порядков, обладающих наименьшим разрешением, и АР-спектров высоких порядков, обладающих наибольшим разрешением. Тем не менее, МД-оценки при достаточно больших отношениях сигнал/шум обеспечивают более высокое разрешение, чем классические оценки СПМ.

Соотношение между МД- и АР-оценками во временной области можно получить в следующем виде:

Коэффициенты МД [k] вычисляются как линейно взвешенные

(обработанные окном) корреляционные коэффициенты АРпараметров:

Количество вычислительных операций, требуемых для расчета необходимого набора коэффициентов МД [k] , пропорционально ве-

личине p2. Для расчета альтернативного представления (4.17) спектральной МД-оценки в требуемом диапазоне частот можно также применять БПФ. В вычислительном отношении такой подход эффективнее прямого вычисления спектральной МД-оценки по исходной формуле (4.14), которое требует p3 операций для обращения матрицы Rp и p2 операций для расчета значения этой оценки на каждой частоте.

Наиболее эффективная реализация метода спектральной МДоценки состоит из следующих этапов:

1)вычисление на основе данных последовательности оценок функции автокорреляции;

2)решение уравнения Юла-Уолкера для АР-параметров с помощью алгоритма Левинсона;

3)определение корреляции АР-параметров для получения

коэффициентов МД [k] ; используя выражение (4.17);

4)вычисление спектральной МД-оценки в требуемом час-

53

54

тотном диапазоне, используя выражение (4.16) и алгоритм БПФ.

Заключение

Таким образом, рассмотрен широкий круг вопросов, связанных с применением методов цифрового спектрального анализа в технике цифровой обработки сигналов. Особенностью изложенного материала является рассмотрение совокупности теоретических и прикладных вопросов. В частности представлены разделы аналого-цифрового преобразования и специфических эффектов, приводящих к погрешностям вычислений при спектральной обработке, теоретические вопросы спектрально-временных преобразований, моделирование на базе непараметрических и параметрических методов. Кроме того представлены программные и аппаратные инструментальные средства цифровой обработки сигналов.

Использование методов цифрового спектрального анализа при разработке систем радиолокации, радионавигации, связи, сейсмологии, астрономии, энергетики, медицины способно качественно изменить их характеристики.

Отметим, что рассмотрение перспективных методов спектрального анализа с использованием поразрядно-логических методов свертки и фильтрации, теоретико-числовых преобразований, а также неортогональных базисных функций (вейвлет) не входило в задачу авторов пособия.

Пособие адресовано студентам и аспирантам, обучающимся по направлению «Радиотехника» и может быть полезным специалистам в области цифровых технологий обработки сигналов.

54

56

12 Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. Демушкина С.П. –

2-е изд. –М.: Наука, 1982.– 269 с.

13 Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1989.– 448 с.

14. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и вузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.

56