Методы спектрального анализа сигналов. Учебное пособие

Рис. 2.7

Сравнение вышеприведенных алгоритмов позволяет выявить некоторые различия между ними. Во-первых, при прореживании по времени порядок следования входных отсчетов двоично-инверсный, а выходных – прямой, а при прореживании по частоте – наоборот. Очевидно, это отличие не принципиально. Во-вторых, для этих алгоритмов по-разному выполняются базовые операции (рис. 2.5, 2.7): при прореживании по частоте комплексное умножение выполняется после сложения-вычитания.

Основное достоинство алгоритмов БПФ состоит в том, что БПФ требует меньше операций, чем прямое вычисление ДПФ (при условии, что N равно степени 2). При прямом вычислении ДПФ число операций (комплексных умножений и сложений) равно N 2. При использовании алгоритма БПФ число операций равно N log2 N . Вычислительный

выигрыш алгоритмов БПФ зависит от числа N (таблица 2.2) и при значениях N 1024 превышает два порядка.

К настоящему времени известно большое количество модификаций алгоритма БПФ. Наиболее часто используются алгоритмы по ос-

21

22

нованию 4, 8, а также различные варианты гнездовых алгоритмов БПФ, построенных на основе алгоритма Винограда. Перечисленные алгоритмы в конкретных приложениях имеют дополнительные преимущества в вычислительной эффективности перед классическим алгоритмом БПФ.

В ряде задач спектральной обработки не требуется подробное спектральное разрешение, соответствующее расстоянию между частотными каналами БПФ. В этом случае более эффективным в вычислительном отношении может оказаться алгоритм ДПФ, вычисляемый для части спектральных отсчетов. ДПФ может выполняться как в прямой форме реализации, так и в форме алгоритма Герцеля.

3. Весовая обработка как метод ослабления эффекта Гиббса (просачивание спектральных составляющих)

Имеющуюся конечную запись данных или конечную корреляционную последовательность удобно рассматривать как некоторую часть соответствующей бесконечной последовательности, «видимую» через применяемое окно. Например, последовательность наблюдаемых данных x0n из N отсчетов математически можно записать как произведение прямоугольной функции единичной амплитуды

При этом принимается очевидное допущение о том, что все ненаблюдаемые отсчеты равны нулю независимо от того, так ли это на самом деле или нет. Дискретное преобразование Фурье взвешенной окном последовательности, выраженное через преобразование последовательности xn и прямоугольного окна rect(n), равно свертке этих преобразований

Функция DN(f), называется ядром Дирихле и представляет собой дискретное преобразование Фурье (ДПФ) прямоугольной функции. Преобразование наблюдаемой конечной последовательности является

22

23

искаженной версией преобразования бесконечной последовательности. Минимальная ширина спектральных пиков взвешенной окном последовательности ограничена шириной, определяемой главным лепестком преобразования этого окна, и не зависит от исходных данных. Боковые лепестки (БЛ) преобразования окна будут изменять амплитуды соседних пиков. Поскольку ДПФ – периодическая функция, то наложение боковых лепестков от соседних спектральных периодов может привести к дополнительному смещению. Увеличение частоты отсчетов позволяет ослабить эффекты наложения боковых лепестков. Аналогичные искажения будут наблюдаться и в случае несинусоидальных сигналов.

Из сигналов всех возможных частот только совпадающие с частотами базиса будут проецироваться на единственный базисный вектор, а все остальные частоты будут иметь нулевые проекции на любой из векторов базисного множества. Это явление, которое обычно называют размыванием или просачиванием спектральных составляющих, возникает из-за конечной длительности обрабатываемых записей. Хотя частота отсчетов и влияет на степень размывания, сама по себе дискретизация не является его причиной.

Просачивание приводит не только к появлению амплитудных ошибок в спектрах дискретных сигналов, но может также маскировать присутствие слабых сигналов и, следовательно, препятствовать их обнаружению.

Для понимания причины размывания (просачивания) спектральных составляющих, нужно заметить, что сигналы с частотами, отличными от базисных, непериодичны в окне наблюдения. Если естественный период сигнала несоизмерим с продолжительностью интервала наблюдения, периодическое продолжение сигнала будет иметь разрывы на границах интервала. Эти разрывы дают спектральные вклады на всех базисных частотах (т. е. происходит размывание). Виды возникающих разрывов иллюстрирует рис. 3.1.

23

24

Периодический сигнал с естественным периодом

Периодическое Наблюдаемый сигнал продолжение

Рис. 3.1

На рис. 3.2 приведена иллюстрация смещения ДПФ вследствие просачивания из-за взвешивания данных: а) исходная дискретновременная синусоидальная последовательность: б) модуль периодического ДПФ синусоидальной последовательности; в) взвешенная синусоидальная последовательность; г) модуль ДПФ взвешенной синусоидальной последовательности.

Окна представляют собой весовые функции, используемые для уменьшения размывания спектральных компонент, обусловленного конечностью интервалов наблюдения. (В дальнейшем дискретную весовую последовательность будем обозначать {wn}). Воздействие окна на массив данных (как мультипликативной весовой функции) состоит в уменьшении порядка разрыва на границе периодического продолжения. С другой стороны, можно считать, что окно мультипликативно воздействует на базисное множество таким образом, что сигнал произ-

24

25

вольной частоты имеет значительные проекции только на те базисные векторы, частоты которых близки к частоте сигнала. Просачивание приводит к смещению оценок амплитуд и положения гармонических составляющих сигнала. Даже для единственной вещественной гармоники (не совпадающей с частотой гармоники ДПФ) просачивание от ядра на оси отрицательных частот влияет на ядро на оси положительных частот. Это влияние наиболее сильно при обнаружении слабых сигналов в присутствии сильных помех, близких по частоте к сигналу. Для уменьшения последствий спектрального просачивания амплитуда боковых лепестков (БЛ) относительно главного центрального лепестка частотной характеристики окна должна быть малой, а переход от центрального лепестка к БЛ – очень быстрым.

Известен ряд функций окна, применение которых позволяет снизить уровень БЛ по сравнению с тем уровнем, который они имеют в случае прямоугольного окна. Снижение уровня БЛ будет уменьшать смещение. Однако при этом расширяется главный лепесток спектра окна, что, естественно, приводит к ухудшению разрешения. Поэтому форма окна должна выбираться исходя из компромисса между шириной главного лепестка и уровнем подавления БЛ.

3.1. Основные параметры временных и частотных весовых окон

Окна влияют на основные показатели цифровой спектральной обработки при использовании непараметрических методов, в том числе на обнаружение, разрешение и динамический диапазон сигналов, т.е. на степень достоверности получаемой информации. Для сравнения характеристик окон, необходимо выделить и проанализировать их наиболее существенные временные и частотные параметры.

Наиболее важные параметры весовых окон – максимальная величина БЛ, скорость спада БЛ и ширина главного лепестка амплитудночастотной характеристики (АЧХ) окна. Как правило, перечисленные параметры взаимозависимы. Например, снижение уровня БЛ АЧХ окна сопровождается расширением главного лепестка АЧХ. Поэтому выбор конкретного окна должен производиться с учетом компромисса между шириной главного лепестка и параметрами боковых лепестков и зависит от конкретного приложения.

Рассмотрим параметр, называемый эквивалентной шумовой полосой. Амплитуда гармонической компоненты на заданной частоте оказывается смещенной из-за наличия широкополосного шума, попадающего в полосу пропускания окна. Для обнаружения узкополосного

25

26

сигнала необходимо минимизировать накопленный шум, что достигается с помощью окна с узкой полосой пропускания АЧХ. Мерой ширины полосы пропускания АЧХ окна может служить эквивалентная шумовая полоса (ЭШП) – ширина полосы пропускания прямоугольного фильтра с тем же максимальным усилением по мощности, которое накапливает ту же мощность, что и данное окно (рис. 3.3).

Накопленная окном мощность шума определяется выражением

где N0 – мощность шума в единичной полосе частот, W( ) – спектральное преобразование окна. Согласно теореме Парсеваля, величину (3.1) можно вычислить следующим образом:

PN0 w2 .

шT n n

Максимальное усиление по мощности, соответствующее частоте=0, определяется выражением:

Таким образом, ЭШП окна, нормированная на величину мощности шума на бин (единичный временной интервал), может быть записана в виде

ДПФ можно рассматривать как результат пропускания сигнала через набор согласованных фильтров, каждый из которых настроен на

26

27

одну из гармоник комплексной синусоидальной последовательности базисного множества. С этой точки зрения можно рассматривать когерентное усиление или усиление преобразования, а также потери преобразования, вызванные тем, что весовое окно сглаживает, т.е. сводит к нулю, величины отсчетов, расположенные вблизи его границ. Когерентное усиление определяется как нормированная составляющая сигнала с частотой, равной центральной частоте настройки fk в спектре, вычисленном с помощью весового доплеровского фильтра:

w(nT )

Паразитная амплитудная модуляция спектра, зависящая от уровня пересечения АЧХ соседних доплеровских фильтров, является важным параметром, влияющим на обнаружение слабых сигналов. Она определяет энергетические потери при обработке сигнала, частота которого лежит между отсчетами спектра, называемых также выходными точками, частотами гармоник или бинами ДПФ: d/N, где d – частота дискретизации. Паразитная амплитудная модуляция спектра определяется как отношение когерентного усиления тона, равноудаленного от соседних бинов ДПФ (на частоте (k+1/2) d/N), к когерентному усилению тона, совпадающего с одним из бинов ДПФ:

n

Максимальные потери преобразования (МПП) определяются как сумма максимальных потерь из-за паразитной амплитудной модуляции спектра для данного окна и потерь преобразования, обусловленных формой этого окна. Данный параметр характеризует уменьшение выходного соотношения сигнал-шум в результате воздействия окна при наиболее неблагоприятном расположении частоты сигнала. Его величина влияет на минимальную энергию узкополосного сигнала, при которой он еще может быть обнаружен в широкополосном шуме. В подавляющем большинстве случаев уровень максимальных потерь лежит между 3,0 и 4,3 дБ. Окна, для которых данный параметр превышает 3,8 дБ, обычно не применяются практически.

27

28

3.2. Классические окна и их основные спектральновременные характеристики

Рассмотрим подробнее характеристики некоторых известных классических окон [8]. Для построения графиков будем использовать нормированные координаты с периодом дискретизации T=1, так, что будет иметь период 2 и в дальнейшем обозначаться как .

Прямоугольное окно Прямоугольное окно во всем интервале наблюдения равно едини-

це. Такое окно можно рассматривать как выделяющую, или стробирующую, функцию, воздействующую на входную последовательность для выделения из нее конечного участка. Данное окно для ДПФ определяется как

Преобразование этого окна представляет собой ядро Дирихле с шириной главного лепестка ДПФ (между пересечениями нуля) 2 бина и уровнем первых БЛ примерно на 30 дБ ниже пика главного лепестка. Скорость спада БЛ составляет 6 дБ/октава, что является приемлемым для весовой функции с разрывами. На рис. 3.4 представлен вид прямоугольного окна во временной области (рис. 3.4а) и его спектральное преобразование в логарифмическом масштабе (рис. 3.4б).

Треугольное окно Треугольное окно определяется формулой

28

29

а спектральное окно, соответствующее ДПФ-последовательности, можно записать в виде

Преобразование этого окна представляет собой квадрат ядра Дирихле. Ширина его главного лепестка (между пересечениями нуля) вдвое больше, чем у прямоугольного окна, а уровень БЛ равен примерно -26 дБ, т.е. примерно вдвое ниже, чем у прямоугольного окна. Уровень БЛ спадает примерно со скоростью 12 дБ/октава, поскольку разрывна не сама весовая функция, а только ее первая производная. Треугольник - это простейшее окно, имеющее неотрицательное преобразование. Таким свойством обладают все окна, полученные путем свертки любого окна (половинной протяженности) с самим собой. Преобразование такого окна равно квадрату преобразования исходного окна. На рис. 3.5 представлен вид треугольного окна во временной области (рис. 3.5а) и его спектральное преобразование в логарифмическом масштабе (рис. 3.5б).

Окно вида cos (x)

Фактически это целое семейство окон, зависящих от параметра , причем , как правило, целое число. Достоинство этого семейства окон определяется простотой вычислений значений отсчетов окна и анализа свойств преобразования косинусной функции. Эти преобразования особенно удобны для ДПФ. Данное окно во временной области определяется выражением

w(n) cos nπ / N ; n=[-N/2...N/2],

29

30

или

w(n) sin nπ/N ; n=[0....N-1],

В качестве чаще всего выбирают целые числа в диапазоне от 1 до 4. С ростом окна становятся более гладкими, что отражается и на спектральном преобразовании – уменьшается уровень БЛ и ускоряется их спад, но зато увеличивается ширина главного лепестка. Наиболее известно окно при =2 (окно Хэннинга), которое имеет непрерывную первую производную. Поскольку разрыв испытывает вторая произ-

водная, амплитуда преобразования спадает как 1/ 2 , или со скоростью -18 дБ/октава. Кроме того, это окно обладает свойством частичного подавления БЛ.

Дискретное окно Хэннинга может быть записано как сумма двух последовательностей, т.е.

wn 0,5 0,5cos 2πn / N , n=-N/2,…,N/2-1.

Поскольку ДПФ каждого слагаемого известно, можно вычислить ДПФ суммы:

W( )=0,5D( )+0,25[D( -2 /N) + D( +2 /N)],

где

sin(N / 2) D( ) exp( j / 2) sin( / 2) .

На рис. 3.6 представлен вид окна Хэннинга во временной области (рис. 3.6а) и его спектральное преобразование в логарифмическом масштабе (рис. 3.6б).

Рис. 3.6

Окно Хэмминга Окно Хэмминга можно рассматривать как модифицированное ок-

но Хэннинга. Для достижения требуемого уровня подавления БЛ нуж-

но подобрать параметр в следующем выражении: wn (1 ) cos 2πn / N .

30